Системы одновременных уравнений

Понятие эконометрики

Эконометрика (вместе с микро- и макроэкономикой) входит в число базовых дисциплин современного экономического образования.

Термин «эконометрика» введён в 1926 г. норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фришем. Буквальный перевод: «измерения в экономике».

Одним из определений эконометрики может быть следующее.

 Эконометрика – это самостоятельная научная дисциплина, объединившая совокупность теоретических результатов, приёмов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе:

Ø экономической теории,

Ø экономической статистики,

Ø математико-статистических методов -

придавать количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией.

Таким образом, можно сказать, что суть эконометрики – синтез экономики, экономической статистики и математики.

Можно дать более краткое определение.

Эконометрика – наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике методами математической статистики.

Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов.

Задачи эконометрики – построение экономических моделей и оценивание их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.

Эконометрический анализ служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия обоснованных экономических решений.

Предметы эконометрики и статистики очень близки. Эконометрика имеет дело с массовыми экономическими явлениями (массовыми, значит, повторяющимися в пространстве и времени). Статистика имеет дело с массовыми явлениями любой природы, в т.ч. и в экономике.

Специфика эконометрики в том, что она ставит своей задачей при помощи статистики выразить те закономерности, которые экономическая теория и математическая экономика определяют в общем, схематически. То есть они [экономическая теория и математическая экономика] формулируют гипотезы, которые, в сущности, являются качественными. Эконометрика имеет дело с конкретными экономическими данными и занимается количественным описанием конкретных взаимосвязей, т.е. заменяет коэффициенты, представленные в общем виде в этих взаимосвязях конкретными численными значениями.

Например, микроэкономическая теория утверждает, что снижение цены товара приводит к увеличению спроса на него (при неизменности всех прочих факторов), т.е. устанавливается связь между спросом и ценой на товар. Однако эта теория не даёт количественных оценок данной связи, т.е. – ответа на вопрос: на сколько изменится спрос на данный товар в результате изменения его цены на определённую величину. Расчёт количественных оценок суть задача эконометрики.  

Типы данных

При моделировании экономических процессов оперируют 2-мя типами данных: пространственными и временными. 

Пространственные данные (cross-sectional data) – это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные от разных однотипных объектов (фирм, регионов и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту времени (пространственный срез). Например, данные об объёме производства, количестве работников, доходе разных фирм в один и тот же месяц.

Временные данные (time-series data) – это данные, характеризующие один и тот же объект в различные моменты или периоды времени (временной срез). Например, ежеквартальные данные об инфляции, средней з/плате, данные о НД за последние годы.

Этот тип данных обычно представляют в виде временных рядов (ВР).

ВР – это числовая последовательность наблюдений, характеризующих изменение изучаемого показателя во времени.

Отличительная черта временных данных – их естественная упорядоченность во времени.

Любые экономические данные представляют собой характеристики какого-либо экономического объекта. Они формируются под воздействием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые (неучтённые) факторы обусловливают случайность данных, которые они определяют.

Поскольку экономические данные имеют статистическую природу, для их анализа и обработки необходимо применять специальные методы.   

Классы моделей

Можно выделить 3 основных класса моделей: модели временных рядов (ВР), регрессионные модели с одним уравнением и системы одновременных уравнений.

Модели временных рядов

В их числе выделяют: модели тренда, модели сезонности, модели тренда и сезонности.

Модели тренда

Тренд представляет собой устойчивое изменение уровня показателя в течение длительного времени.

  ,

где:

T(t) – ВР заданного параметрического вида (например, линейный тренд ),

ε_t  - случайная компонента.

Модели сезонности

Сезонность характеризует устойчивые внутригодовые колебания уровня показателя.

,

Модели тренда и сезонности

Аддитивная модель:

Мультипликативная модель:

Смешанная модель:

Кроме того, к этому классу относится множество более сложных моделей, таких, например, как модель адаптивного прогноза, модель авторегрессии.

Общей чертой моделей ВР является то, что они объясняют поведение ВР, исходя только из его предыдущих значений. Такие модели могут применяться, к примеру, для изучения и прогнозирования спроса и продаж тех или иных товаров, для краткосрочного прогнозирования.

 Регрессионные модели с одним уравнением

В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная ”y” представляется в виде функции от объясняющих переменных:

,

где x₁, x₂,…,x_n - независимые (объясняющие) переменные;

β₁, β₂, … β_p - параметры, которые необходимо оценить.

Пример: модель спроса на товар в зависимости от его цены и дохода.

В зависимости от вида функции  модели делятся на линейные и нелинейные. Есть эффективные методы оценки и анализа линейных регрессионных моделей. Анализ таких моделей является базовым в эконометрике.

Например, можно исследовать спрос на мороженое как функцию от времени, температуры, среднего уровня доходов и т.п. Или: зависимость зар.платы от возраста, стажа работы, пола, образования и т.п.

Область применения таких моделей значительно шире, чем моделей ВР. Этот вид моделей наиболее часто используется на практике.

Вопросы отбора значимых переменных, оценивания параметров, верификации таких моделей являются основными в курсе эконометрики.

Системы одновременных уравнений

Эти модели описываются системами уравнений. Системы могут объединять тождества и регрессионные уравнения. Каждое из них может включать помимо независимых (объясняющих) переменных ещё и зависимые (объясняемые) переменные (из других уравнений системы).

Мы имеем в этом случае набор зависимых (объясняемых) переменных, связанных через уравнения системы.

Пример: модель спроса и предложения.

Здесь:

-спрос на товар в момент времени t;

- предложение товара в момент времени t;

P_t   - цена товара в момент времени t;

Y_t – доход в момент времени t;

u_t и ε_t  - случайные компоненты.

В данном случае доход Y_t и значение цены в предыдущий момент времени P_t-1 являются предопределёнными переменными.

Цена товара P_t и спрос на товар Q_t =  =  определяются из уравнений модели. (Данная модель объясняет 2 результативные переменные: Q_t – объём спроса, равный объёму предложения в момент времени t; P_t - цену товара в момент времени t).

Следует отметить, что для построения таких моделей требуется более сложный математический аппарат.

Все три класса моделей могут использоваться при моделировании экономических процессов (в т.ч. на уровне экономики страны).

Обычно предполагают, что все факторы, не учтённые явно в экономической модели, оказывают на объект некое результирующее воздействие, величина которого задается случайной компонентой. Введение случайной компоненты в экономическую модель делает её доступной для эмпирической проверки на основе статистических данных. 

Виды переменных

Обычно исходная информация представляет собой набор признаков, характеризующих объект исследования. Признаки, как правило, взаимосвязаны и могут выступать в двух ролях:

1) в роли результативного признака (традиционно обозначается “y”);

2) в роли факторного признака, значения которого определяют значение результативного признака (обозначение “x”).

В эконометрике принято результативный признак называть объясняемой переменной, а факторный признак – объясняющей переменной.

Переменные, участвующие в эконометрической модели любого типа, разделяются на:

Экзогенные (независимые) – значения которых задаются извне, автономно, в определённой степени они являются управляемыми (планируемыми) (“x”);

Эндогенные (зависимые) – значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые (“y”);

Лаговые – экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Например: y_t – текущая эндогенная переменная, y_t-1 – лаговая эндогенная переменная, y_t-2 – тоже лаговая эндогенная переменная;

Предопределённые переменные (объясняющие переменные). К ним относятся лаговые и текущие экзогенные переменные (x_t, x_t-1), а также лаговые эндогенные переменные (y_t-1).

Любая эконометрическая модель предназначена для объяснения значений текущих эндогенных переменных (одной или нескольких) в зависимости от значений предопределённых переменных.

Оценивание моделей

После того как экономическая модель сформулирована, необходимо проверить совместимость модели с реальными экономическими данными. При этом следует различать 2 уровня анализа: теоретический и эмпирический.

На теоретическом уровне предполагаем, что известны все возможные реализации экономических показателей (генеральная совокупность).

Зная или предполагая статистические свойства генеральной совокупности, можно теоретически определить параметры моделей.

На практике множество возможных исходов неизвестно, можно наблюдать только случайно выбранные значения интересующих показателей.

На эмпирическом уровне, располагая лишь выборочными значениями экономических показателей (выборочная совокупность), можно оценить, а не определить точно значения параметров модели. Эти оценки являются случайными.

Цель оценивания – получение как можно более точных значений неизвестных параметров генеральной совокупности.

Типы зависимостей

В экономических исследованиях одной из основных задач является анализ зависимостей между переменными. Зависимость может быть:

v функциональной;

v статистической.

Функциональная зависимость задаётся в виде точной формулы, в которой каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой (каждому значению аргумента (одной переменной) ставится в соответствие строго определённое значение функции (другой переменной)); воздействием случайных факторов при этом пренебрегают.

В экономике функциональная зависимость между переменными проявляется редко.

Статистической зависимостью называется связь переменных, при которой учитывается воздействие случайных факторов. При этом изменение одной переменной приводит к изменению математического ожидания другой переменной, т.е. говорят, что они [эти переменные] коррелированы.

Уравнение регрессии – это аналитическая формула (уравнение) статистической связи между переменными. Если эта формула линейна, то имеем линейную регрессию. В ином случае – нелинейная.

Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных – множественной регрессией.