Семестр вопросы к экзамену (доказательства из конспекта лекций)

Доказать, что  ортогонален поверхности .	Теорема:  сходится  первообразная имеет конечный предел .
Вывести формулу вычисления производной функции по направлению вектора	Вывод формулы площади явно заданной поверхности: .
Вывести формулу касательной плоскости к поверхности.	Вывести формулы перехода к полярным координатам и вычислить их определитель Якоби.
Вывод формулы производной   для параметрически заданной кривой.	Вывести формулы перехода к цилиндрическим координатам и их определитель Якоби.
Вывод формулы производной для неявно заданной кривой:	Вывести формулы перехода к сферическим координатам.
Вывести формулу Тейлора для , , , .	Доказать, что поле F потенциально   симметрична производная матрица, состоящая из всех производных от P,Q,R по x,y,z.
Доказать формулу «интегрирования по частям»	Доказать, что криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути  циркуляция = 0.
Вывод формулы  для интегралов .	Доказать, что циркуляция = 0   криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути.
Обосновать действие замен для интегралов вида .	Доказать, что поле F потенциально  криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути.
Доказать, что замена замена  в интеграле  сводит к рациональной дроби от .	Доказать, что криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути  поле F потенциально.
Обосновать действие подстановок для  и	Доказать, что замена  сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Интегрирование выражений , , . Обосновать, как корень преобразуется в тригонометрическую функцию.	Обосновать метод сведения уравнения Бернулли к линейному уравнению с помощью замены
Доказать, что  является первообразной для .	Вывести и обосновать замену, доказать что . Доказать, что замена  понижает порядок уравнения, в котором отсутствует , то есть уравнения вида .
Доказать формулу Ньютона-Лейбница. .	Доказать, что  является решением линейного однородного дифференциального уравнения r есть характеристический корень.
Вывести формулу объёма тела вращения ,	Доказать, что линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.
Вывод формулы длины явно заданной кривой в декартовых координатах: .	Теорема о наложении решений. Если y1 - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью b1(x), а y2 - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью b2(x), то линейная комбинация Ay1 + By2  является решением уравнения с правой частью Ab1(x) + Bb2(x).
Вывод формулы коэффициента Фурье для произвольной ортогональной системы:  или	Доказать, что система функций линейно-зависима.
Доказать, что несобственный интеграл 1-го рода  сходится при , а несобственный интеграл 2-го рода  сходится при .	Если r=0 является характеристическим корнем кратности k линейного однородного дифференциального уравнения, то функции 1, x, x2, x3,...,xk-1 принадлежат ФСР однородного дифференциального уравнения.
	Доказать, что  явл. реш. лин. однородной системы дифф. ур  собст. вектор, собст число.

Примеры из лекций: Примечание. В билетах могут быть любые задачи, разбиравшиеся на занятиях в качестве примера, помечены в конспекте как «пример».

,   ,

 (понижение порядка)

, , . .

. . .

= . . = . .

= . Пример - Доказательство формулы

. . .

Пример: доказательство формулы объёма шара с помощью формулы объёма тел вращения.

Пример: разложить в ряд Фурье функцию

, . , , .

,

Смена порядка интегрирования: Пример: ,

Вычисление тройных интегралов. Примеры.

Пример. Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).

Вычислить интеграл  где D -  часть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

Пример: Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

Пример: доказать формулу объёма конуса

Вычислить определитель Якоби .

Пример: доказать формулу объёма шара с помощью тройного интеграла и сферических координат.

Пример Найти работу поля F = (xy,x+y) по участку кубической параболы от (0,0) до (1,1). Решение: Ответ 29/20.

Пример:  - тогда .

Пример. . Доказать, что поле потенциально, и найти потенциал.

Пример вычисления работы по единичной окружности от поля F = (-y,x) без формулы и по формуле Грина.

Пример. Доказать, что поле  потенциально и найти его потенциал.

Примеры:  ,  ,         Пример.  методом Лагранжа.

Пример.   

Пример:      Пример .    Примеры.  x,2x x,x².  

Пример . Пример .   Пример. .

Пример. .    Пример. Решение методом Лагранжа уравнения

Пример.  совпадает с корнем кратности 2, ответ

Пример. Однородная система . Отв. .

Пример. Неоднородная система.  отв .