Алогритмы задач, которые надо уметь решать:

Основные вопросы на доказательства  (1 семестр)  группы 142-1,2,3,4 

Алгебра:     

1. Доказать, что существует n! различных перестановок порядка n.

2. Доказать, что существует обратная матрица данная матрица невырожденная.

3. Доказать, что система ЛЗС  некоторый вектор этой системы является линейной комбинацией остальных векторов.

4. Доказать, что если подсистема ЛЗС то система также ЛЗС.

5. Доказать теорему Кронекера - Капелли о совместности систем линейных уравнений.

6. Доказать формулы Крамера.

7. Доказать, что для однородной системы при n=m существует нетривиальное решение  матрица вырождена.

8. Доказать, что линейная комбинация решений системы однородных уравнений также является решением.

9. Доказать, что сумма решений неоднородной системы и соотв. однородной является решением неоднородной системы.

10. Доказать, что всякий вектор из Rⁿ можно представить, причём единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов.

11. Доказать, что если вектор x состоит из координат вектора b в новом базисе, C – матрица перехода, то Cx=b.

12. Доказать, что если  - собственное число линейного оператора, то оно есть корень уравнения .

13. Доказать, что лин. комбинация собственных векторов, соответствующих , является собственным вектором, соответствующим .

14. Доказать, что если два вектора соответствуют различным , то они образуют ЛНС.

15. Доказать, что если систему из n собственных векторов - базис, то матрица оператора относительно этого базиса будет диагональной.

16. Доказать, что матрица оператора, обладающего свойством (Lx,y)=(x,Ly), симметрична.

17. Доказать, что собственные векторы симметрического оператора, соотв. различным , ортогональны.

Геометрия:    

18. Вывести формулу расстояния от точки до прямой в плоскости.  

19. Вывести формулу расстояния от точки до плоскости в пространстве.  

20. Вывести формулу расстояния от точки до прямой в пространстве.  

21. Вывести формулу расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Вывести формулу угла между плоскостью и прямой.

23. Вывести каноническое уравнение параболы из определения параболы.

Введение в мат. анализ:

24. Доказать, что если , и  то .

25. Доказать, что функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена в некоторой окрестности точки.

26. Доказать, что предел суммы функций равен сумме пределов.

27. Доказать 1-й замечательный предел.  

28. Доказать свойства эквивалентности бесконечно-малых.

29. Вывести уравнение касательной.

30. Доказать, что производная от x²  равна 2x.

Алогритмы задач, которые надо уметь решать:

1. Вычислить определитель  2. Найти обратную матрицу     3. Найти ранг матрицы 

4. Решить систему методом Гаусса. 5. Найти общее решение и ФСР однородной системы.

6.  Определить, ЛЗСили ЛНС система векторов. 7. Найти координаты вектора в новом базисе.

8. Вычислить скалярное, векторное или смешанное произведение.

9. Найти собственные числа и собственные векторы для линейного оператора.

10. Комплексные числа, их умножение и деление.

11. Построить уравнение прямой в плоскости по точке и нормали, или по точке и направляющему вектору.

12. Построить уравнение плоскости в пространстве по точке и нормали, или точке и двум направляющим векторам. 

13. Построить уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

14. Нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, угла между прямыми.

15. Нахождение пределов последовательностей и функций.

16. Нахождение главной части бесконечно-малой функции.

17. Поиск точек разыва функции.

18. Умение вычислять производные по таблице производных.