Расчет внутригрупповых дисперсий

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Таблица определения варианта контрольной работы

ЗАДАНИЕ 1

Подготовить сообщение на тему «Статистическая оценка социальных процессов, регулируемых государством, в Новосибирской области: …(вариант)», соответствующую своему варианту.

1. Статистика населения

2. Статистика экономической активности населения

3. Статистика численности работников и использования рабочего времени

4. Статистическое изучение доходов населения

5. Статистическое изучение расходов и потребления населения

6. Статистика уровня жизни населения

7. Статистика образования населения

8. Статистика рынка жилья и жилищных условий населения

9. Статистика здоровья населения и здравоохранения

10. Статистика культуры и искусства

11. Статистика физической культуры и спорта

12. Статистика санаторно-курортного лечения, туризма и отдыха

13. Статистика науки и инноваций

14. Статистика государственных финансов

15. Статистика национального богатства

16. Система национальных счетов и обобщающих показателей социально-экономического развития   

Задание 2

Используя данные какого-либо статистического сборника, рассчитать следующие статистические показатели (цепные и базисные): абсолютный прирост, темп роста, темп прироста; абсолютное значение 1% прироста, а также средние характеристики (средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста) для характеристики динамики выбранного показателя за последние пять лет. Сделать выводы.

Исходную статистическую информацию, используемую для анализа динамических рядов, следует представить в таблице 1 и изобразить графически в виде линейной, столбиковой или других диаграмм, построенных с соблюдением всех правил. Все показатели, кроме средних характеристик, для каждого ряда динамики оформить в таблице 2, в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению таблиц. Если прослеживается тенденция развития, и если это возможно, провести экстраполяцию уровней ряда на ближайшие два года.

ПРИМЕР.

Имеются данные о численности студентов государственных и негосударственных высших учебных заведений по регионам Российской Федерации на начало года.

Таблица 1

Численность студентов государственных и негосударственных высших учебных заведений

в Центральном Федеральном округе на начало 1996/1997 – 2000/2001 учебного года, тыс. чел. ^*)

^*) Российский статистический ежегодник, 2001, с. 231.

Таблица 2

Показатели анализа динамики численности студентов в Центральном Федеральном округе 

на начало 1996/1997 – 2000/2001 учебного года

При цепной системе расчета (ц.с.) каждый уровень ряда (у_i) сопоставляется с предыдущим (у_i-1), при базисной системе (б.с.) каждый уровень ряда (у_i) сопоставляется с одним и тем же (чаще всего с начальным - у₁) уровнем.

Например, для 2000/2001 учебного года:

Dу (ц.с.) = 1489,9 – 1268,5 = 221,4 (тыс.чел.);

Dу (б.с.) = 1489,9 – 1268,5 = 221,4 (тыс.чел.);

(%);

(%);

Т_пр (ц.с.) = 117,5 – 100 = 17,5 (%) или (%);

Т_пр (б.с.) = 157,5 – 100 = 57,5 (%) или (%);

½1%½= 1268,5 : 100 = 12,685 (тыс.чел.).

За весь анализируемый период рассчитываются следующие средние показатели: среднегодовой абсолютный прирост ( ), среднегодовой темп роста ( ), среднегодовой темп прироста ( ), средний уровень ряда ( ):

(тыс. чел.) или

(тыс. чел.);

(%) или

(%);

(%).

Среднегодовая численность студентов ( ) определяется по формуле средней хронологической, так как данный ряд является моментным с равноотстоящими датами (на начало учебного года):

1161,2 (тыс.чел.)

Вывод. За анализируемые годы численность студентов государственных и негосударственных высших учебных заведений в Центральном федеральном округе возросла на 543,7 тыс.чел. (графа 3) или на 57,5% (графа 7). В среднем ежегодно она увеличивалась на 139,5 тыс.чел. или на 12%.

Если эта тенденция развития сохранится, то можно провести экстраполяцию численности студентов на следующие два года с помощью среднегодового абсолютного прироста или среднегодового коэффициента роста ( ):

(тыс. чел.)

(тыс. чел.)

(тыс. чел.)

(тыс. чел.)

Построим линейную диаграмму для численности студентов в Центральном Федеральном округе (табл. 1). На горизонтальной оси (ось абсцисс) откладываем периоды времени (годы), на вертикальной оси (ось ординат) – уровни (численность студентов). Масштаб выбирают таким образом, чтобы графический образ (ломаная линия) находился во всем поле графика. Ось ординат в этом случае прерывают волнистой линией, первое значение численности студентов должно быть равно минимальному значению уровня или чуть меньше его, а последнее значение – либо равно максимальному уровню, либо чуть больше его.

» 100 (тыс.чел.)

Если значения уровней рядов не сильно отличаются, то можно показать их динамику на одном графике, обозначив разным цветом уровни каждого ряда.

Проанализировав исчисленные показатели, следует сделать выводы о характере динамики изучаемого явления (в нашем примере численности студентов по регионам Российской Федерации).

Рис. 1. Численность студентов государственных и негосударственных высших учебных заведений в Центральном федеральном округе на начало 1996/1997 – 2000/2001 учебного года.

Задание 3

Работа выполняется каждым студентом по соответствующему варианту. Таблицы исходных данных находятся в Приложении.

1) Группировка.

Прежде всего, необходимо выделить факторный признак. Затем по его вариантам вычислить число групп и интервал группировки, провести отграничение групп, оформить разработочную таблицу, подсчитать в ней итоговые показатели по группам и в целом (факторному, результативному признакам и число единиц). Далее перенести итоговые показатели по группам и в целом в аналитическую групповую таблицу, в которой подсчитать средние значения всех признаков, относительные характеристики для результативного признака.

В заключение следует сделать выводы о наличии (отсутствии) зависимости и ее направлении.

2) Корреляционно-регрессионный анализ.

На основе имеющихся данных графически установить форму зависимости, определить уравнение регрессии, измерить тесноту связи между варьирующими признаками.

3) Дисперсионный анализ.

Степень зависимости подтвердить расчетом эмпирического корреляционного отношения. С этой целью для результативного признака вычислить дисперсии:

ü общую, используя индивидуальные значения по каждой из тридцати единиц;

ü межгрупповую – по средним групповым показателям конечной аналитической таблицы;

ü внутригрупповые – по индивидуальным и среднему значению в каждой группе (разработочная таблица);

ü среднюю внутригрупповую из внутригрупповых дисперсий.

 Проверить правильность расчетов по правилу сложения дисперсий.

ПРИМЕР.

Исследуем зависимость товарооборота от размера торговой площади по данным, приведенным в таблице 3.

Группировка

На первом этапе группировки выбирают группировочный признак. При этом выполняют важнейшее требование теории группировок - глубокий теоретический анализ изучаемой совокупности, опирающийся на знание экономических законов развития общества, с целью выделить признаки факторные (влияющие на другие) и результативные (зависящие от изменения факторных). Из множества факторных признаков отбирают основные. По одному или нескольким из них осуществляют группировку.

Для решения задачи (табл. 3) в качестве группировочного признака взята торговая площадь магазинов, т.к. именно данный показатель является факторным.

Таблица 3

Товарооборот и торговая площадь 20 магазинов

По характеру группировочного признака и степени вариации его в изучаемой совокупности определяют количество групп, размер ин­тервала и границы каждой группы.

Признаки могут быть количественными (выражаются числом) и атрибутивными (выражаются словами). Среди количественных признаков различают дискретные (принимающие только целые значения) и непрерывные (принимающие любые значения, даже дробные).

Выбор некоторых атрибутивных признаков в качестве группировочных предопределяет число групп. Например, группировка населения по полу приводит к образованию двух групп: мужчины и женщины.

Если число групп, на которые должна быть разбита совокупность, не оговорено заранее, рекомендуется использовать формулу Стэрджесса:

,

где п – число групп в группировке;

N – число единиц в совокупности.

Если в основание группировки положен дискретный признак, имеющий множество записей, или непрерывный количественный, то число групп оп­ределяют одновременно с размером интервала.

Интервал очерчивает количественные границы групп. Как правило, он представляет собой разницу между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

В зависимости от характера распределения совокупности интервалы устанавливаются равными(когда разность между максимальным и минимальным значениями в каждом из интервалов одинакова) или неравными(когда ширина интервала постепенно увеличивается).

Помимо этого интервалы могут быть открытыми(имеется либо верхняя, либо нижняя граница)или закрытыми(имеются и нижняя, и верхняя границы).

Когда совокупность единиц более или менее однородна (вариация по группировочному признаку мала), прибегают к равным интервалам, размер которых ус­танавливают по формуле:

,

где d – размер интервала;

х_max (х_min) – максимальное (минимальное) значение группиро­вочного признака в совокупности.

По условию задачи (табл. 1.1) необходимо расчленить совокупность магазинов на пять групп. Следовательно, размер интервала будет равен:

(кв. м).

Для отграничения групп в случае закрытых интервалов нижние границы последующих интервалов следует увеличить на 1 или 0,1.

Определим границы групп. Нижняя граница первой группы рав­на минимальному значению факторного признака в совокупности – 350 (x_min). Верхняя граница первой группы будет равна 550 (x_min + d = 350 + 200 = 550); второй группы соответственно – 750 (550 + 200 = 750), третьей – 950 (750 + 200 = 950), четвертой – 1150 (950 + 200 = 1150), пятой – 1350 (1150 + 200 = 1350).

Отграничим каждую группу магазинов по размеру торговой площади, обозначив ниж­нюю границу каждого следующего интервала числом на единицу большим верхней границы предшествующего интервала. Каждой группе зададим шифр (табл. 4).

Таблица 4

Интервалы группировки магазинов по размеру торговой площади

В соответствии с шифрами перенесем сведения о каждом магазине по группам в разработочную таблицу 5, где отведем графы: номер группы, группы магазинов по размеру торговой площади, номер магазина по порядку (из табл. 3), торговая площадь, товарооборот. Содержание и количество граф определяются по показателям исходной таблицы 3.

В разработочную таблицу сначала вписывают данные первой группы с шифром А. В нее войдут магазины с размером торговой площади от 350 до 550 кв. м. За­тем вводят итоговую строку, в которой по графе «Номер по порядку» подсчитывают число магазинов первой группы, по следующим графам – общий размер торговой площади и общий товарооборот магазинов первой груп­пы. Остальные группы магазинов по размеру торговой площади (кв. м) – 551-750, 751-950, 951-1150, 1151 и выше – в разработочной таблице формируют ана­логично первой, подводя по каждой из них итоги.

Таблица 5

Разработочная таблица для группировки магазинов по размеру торговой площади

Итоговые данные по каждой группе из таблицы 5  переносим в итоговую групповую таблицу 6, графы 1, 2, 4.

Дополнительно рассчитываем для каждой группы необходимые относительные и средние показатели. Так, средняя торговая площадь одного магазина в первой группе равна частному от деления общей торговой площади в целом по группе на число магазинов в ней  — 428,33 кв. м, средний товарооборот соответственно  — 42,67 млн р. Товарооборот на 1 кв. м торговой площади в первой группе может быть рассчитан путем деления общего товарооборота по группе на общую торговую площадь в ней, либо делением среднего товарооборота по группе на среднюю торговую площадь одного магазина в ней  — 0,0988 млн р./ кв.м (98,8 тыс р./ кв.м).

Расчет по итоговой строке производится аналогичным образом. Так, средняя торговая площадь одного магазина по всей совокупности равна частному от деления общей торговой площади в целом на число всех магазинов — 852,55 кв. м, средний товарооборот соответственно — 84,15 млн р., а товарооборот на 1 кв.м торговой площади — 0,0987 млн р./кв.м.

Таким образом, данные таблицы 6 представляют искомую аналитическую группировку.

По ней можно сделать выводы: с ростом размера торговой площади увеличивается товарооборот в среднем на один магазин. Если в первой группе магазинов с размером торговой площади 350-550 кв. м товарооборот в среднем составлял 42,67 млн р., то в пятой –  с размером торговой площади 1151 кв. м и выше – 160,67 млн р. Следовательно, группировка показала наличие прямой зависимости товарооборота от размера торговой площади и ее направление: с ростом значений факторного признака растут значения результативного признака.

Таблица 6

Группировка магазинов по размеру торговой площади

Корреляционный анализ

При рассмотрении вопросов подбора формы связи особое внимание уделяется глубокому теоретическому анализу изучаемого процесса, установлению причинно-следственных связей. Наиболее распространенным приемом выявления формы связи является графическое изображение. При этом по оси X откладывается одна переменная, по оси Y другая. Каждому объекту на графике соответствует точка, координаты которой равняются значениям пары выбранных для анализа переменных.

Графический анализ исходных данных (рис. 2) показывает, корреляционное облако вытянуто по диагонали от левого нижнего угла к правому верхнему, т.е. с увеличением торговой площади растет, как правило, и товарооборот.

Рис. 2. Зависимость товарооборота от торговой площади

После того как установлено, что зависимость между признаками есть, нужно установить теоретическую форму связи, т.е. вид математической функции , которая наилучшим образом описывает поведение изучаемого признака.

Форма корреляционного облака допускает, что между рассматриваемыми показателями существует прямолинейная связь.

Уравнение линейной связи в общем виде можно записать так:

.

Это уравнение, выражающее зависимость У от X, называется уравнением регрессии.

Найти уравнение регрессии означает определить параметры а и b. Их оценивают при помощи метода наименьших квадратов, который дает следующую систему нормальных уравнений:

где х – значения факторного признака, в нашем примере размер торговой площади (табл. 1.1, гр. 1);

у – значения результативного признака – суммы товарооборота (табл. 1.1, гр. 2);

n – число парных значений факторного и результативного при-
знаков.

Для решения системы линейных уравнений, т.е. определения параметров а и b обычно рекомендуется применять формулы:

и .

Приступая к расчетам åх, åу, åх², åху, исходные данные предварительно ранжируем (располагаем по возрастанию значений факторного признака – товарооборота) и заполняем таблицу 7.

Таблица 7

Расчетная таблица параметров уравнения регрессии

Номер предприятия	Торговая площадь, кв. м (х)	Товарооборот, млн р. (y)	х2	ху		у2
А	1	2	3	4	5	6
1	1350	189	1822500	255150	145,5014	35721
2	709	71	502681	50339	66,4457	5041
3	565	56	319225	31640	48,6859	3136
4	1130	101	1276900	114130	118,3684	10201
5	1017	109	1034289	110853	104,4319	11881
6	844	51	712336	43044	83,0955	2601
7	715	69	511225	49335	67,1857	4761
8	525	43	275625	22575	43,7527	1849
9	1097	97	1203409	106409	114,2985	9409
10	724	67	524176	48508	68,2957	4489
11	1000	65	1000000	65000	102,3353	4225
12	350	27	122500	9450	22,1696	729
13	1300	172	1690000	223600	139,3348	29584
14	420	58	176400	24360	30,8028	3364
15	1087	99	1181569	107613	113,0651	9801
16	825	75	680625	61875	80,7522	5625
17	843	83	710649	69969	82,9722	6889
18	590	53	348100	31270	51,7692	2809
19	1200	121	1440000	145200	127,0016	14641
20	760	77	577600	58520	72,7356	5929
Итого	17051	1683	16109809	1628840	1683	172685

В гр.3 таблицы 7 вносим квадраты переменных х² (1350², 709², 565² и т.д.), в гр.4 – произведение Х на У (1350×189; 709×71; и т.д.).

Итоговые показатели граф (1–4) подставляем в систему нормальных уравнений:

Каждый член первого уравнения умножаем на 852,55 и из второго вычитаем первое:

Параметр b = . Подставим его значение в первое уравнение и найдем параметр а:

20а + 0,1233´17051 = 1683

20а + 2102,9308 = 1683

а = .

Уравнение регрессии примет вид:  = -20,9965 + 0,1233х.

Подставляя в него значения х, найдем выровненные или теоретические значения .

Так, при торговой площади 1350 кв.м. (х₁) теоретическое значение суммы товарооборота составит: = -20,9965 + 0,1233×1350 = 145,5014. При торговой площади 709 кв.м = -20,9965+ 0,1233×709 = 66,4457 и т.д.

Теоретические значения помещены в таблице 7, гр.5. Сумма выровненных значений должна быть равна сумме фактических значений результативного признака ( ); 1683 = 1683. Если такого равенства нет, то следует проверить правильность всех предшествующих расчетов.

Экономический смысл имеет параметр а – коэффициент регрессии, показывающий на сколько в среднем изменится У при увеличении или уменьшении X на единицу. В рассмотренном примере увеличение торговой площади на 1 кв.м ведет в среднем к росту товарообращения на 0,1233 млн р.

В случае установления линейной зависимости между факторным (x) и результативным (y) признаками для оценки тесноты связи между ними рассчитывают линейный коэффициент корреляции:

.

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения от –1 до +1. Чем ближе значение этого коэффициента по модулю к 1, тем более тесная связь предполагается между признаками Х и У. Если r_ху = 0, то это не всегда говорит об отсутствии связи вообще – часто это означает отсутствие линейной связи. В таком случае нужно использовать нелинейные зависимости (уравнение гиперболы, уравнение логарифмической кривой, экспоненциальную зависимость и др.).

Для качественной оценки тесноты связи между признаками используется шкала Чэддока (табл. 8).

 

Таблица 8

Оценка тесноты связи по шкале Чэддока

Значения показателей тесноты связи	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика тесноты связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Весьма высокая

 

Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает направление связи: «+» – прямая связь; «–» – обратная связь.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции для рассмотренного примера, для этого воспользуемся данными итоговой строки таблицы 7:

            

Средние квадратические отклонения по признакам Х и У найдем по формулам:

       .

Среднюю величину из квадратов переменных Х рассчитываем, подставив в формулы итоги гр.3,6 таблицы 7:

              

Следовательно, средние квадратические отклонения будут равны:

Линейный коэффициент корреляции составит:

Согласно таблице Чэддока, при  r = 0,8777 зависимость результативного признака от факторного высокая. Следовательно, найденное уравнение регрессии  = -20,9965 + 0,1233х можно использовать для прогноза суммы товарооборота при наличии данных об изменении размера торговой площади.

 

Дисперсионный анализ

На основе данных аналитической группировки можно оценить степень корреляционной связи с помощью эмпирического корреляционного отношения:

,

где  - общая дисперсия;

 - межгрупповая дисперсия.

Расчет дисперсий производится по признаку, который рассматривается в качестве результативного. В данном случае это товарооборот.

Межгрупповую дисперсию рассчитывают по данным аналитической группировки, используя формулу:

где  - средние групповые значения результативного признака;

 - общая средняя для всех групп;

f_i - число единиц (в нашем примере предприятий) в группе.

Из табл. 6 выпишем данные в расчетную таблицу межгрупповой дисперсии (табл. 9, гр.1,2).

Данные гр. 1 табл. 9 представляют f_i (частота), гр. 2 –  (средний товарооборот в каждой группе). Общий средний товарооборот для всех групп  равен 84,15 млн р. (итоговая строка гр.2, табл. 3.1).

Согласно формуле расчета межгрупповой дисперсии находим частное от деления суммы произведений  на сумму частот : .

Это и есть межгрупповая дисперсия.

 

Таблица 9

Расчетная таблица межгрупповой дисперсии

Группы магазинов по размеру торговой площади, кв. м х	Число магазинов в группе  fi	Средний товарооборот, млн р.
А	1	2	3	4	5
350-550	3	42,67	-41,48	1720,5904	5161,7712
551-750	5	63,20	-20,95	438,9025	2194,5125
751-950	4	71,50	-12,65	160,0225	640,0900
951-1150	5	94,20	10,05	101,0025	505,0125
1151 и выше	3	160,67	76,52	5855,3104	17565,931
Итого	20	84,15	-	-	26072,3174

 

Далее рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

,

где - дисперсия признака в i - группе, ;

- среднее значение признака в группе i,

f_i - число единиц совокупности, попавших в группу i.

Внутригрупповая дисперсия определяется отдельно для каждой группы. Для расчета внутригрупповых дисперсий выпишем данные из табл.5. (табл.10, гр.А, 1).

Таблица 10

Расчет внутригрупповых дисперсий

Предприятие, номер по порядку	Товарооборот,      млн р. (уi)	уi -	(уi - )2
А	1	2	3
1. Расчет внутригрупповой дисперсии по I-й группе
8	43	0,3333	0,1111
12	27	-15,6667	245,4444
14	58	15,3333	235,1111
Итого	128	-	480,6667
2. Расчет внутригрупповой дисперсии по II-й группе
2	71	7,8	60,84
3	56	-7,2	51,84
7	69	5,8	33,64
10	67	3,8	14,44
18	53	-10,2	104,04
Итого	316	-	264,8
3. Расчет внутригрупповой дисперсии по III-й группе
6	51	-20,5	420,25
16	75	3,5	12,25
17	83	11,5	132,25
20	77	5,5	30,25
Итого	286	-	595
4. Расчет внутригрупповой дисперсии по IV-й группе
4	101	6,8	46,24
5	109	14,8	219,04
9	97	2,8	7,84
11	65	-29,2	852,64
15	99	4,8	23,04
Итого	471	-	1148,8
5. Расчет внутригрупповой дисперсии по V-й группе
1	189	28,3333	802,7778
13	172	11,3333	128,4444
19	121	-39,6667	1573,4444
Итого	482	-	2504,6667

 

Тогда, внутригрупповая дисперсия по I-й группе определяется как . Результат заносится в графу 1, табл.3.3. Внутригрупповые дисперсии по остальным группам предприятий рассчитываются аналогично первой.

Из всех внутригрупповых дисперсий определяется средняя внутригрупповая дисперсия. На основании данных табл. 11 она будет равна:

.

 

Таблица 11

12Следующая ⇒