Простейшие уравнения с параметром.

Уравнения с параметром.

Линейное уравнение – это уравнение вида: ах = b, где a и b– некоторые постоянные.  При решении линейных уравнений, получаем различное  количество корней уравнения. Чтобы понять логику решения линейного уравнения с параметрами рассмотрим решение следующих  частных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение 3х = - 15 .

 Решение: Т.к. а = 3, а b = - 15, то х = - 15 : 3(деление возможно, 3≠0);

х = -5.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

 Проверка: 3 ( -5) = - 15 0; - 15 = - 15(верное), то -5 является корнем исходного уравнения                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Ответ: -5                                                                                                                                                                          

Пример 2. Решить уравнение 0х = 0

Решение: 0 = 0(верное при любом значении переменной х ), то корнем уравнения является любое число.

Ответ: х - любое число

Пример 3.Решить уравнение 0х= 7

Решение: 0 = 7 (не верно при любом значении х),  уравнение корней не имеет.

Ответ: хЄ

Вывод: 1)Если а≠0, то уравнение имеет единственный корень: х = ( ах = b; ах = b; х = b : а; х= )

  2) Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах= bявляется любое число.

  3) Если а = 0,b≠0, то уравнение ах= bне имеет корней, хЄ

Если а и b не принимать конкретными значениями, то, говорят, что  а и b – это параметры в уравнении ах=b, а само уравнение ах=b - уравнение с параметрами. Однако овладеть методикой решения уравнений с параметром мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на линейную зависимость, подробно анализируемую школьной программой.

Многие учащиеся воспринимают параметр, как «обычное» число. Действительно, в некоторых уравнениях параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать уравнение при всех возможных значениях этой постоянной.

С параметрами семиклассники встречаются уже при введении некоторых понятий. В качестве примеров рассмотрим следующие объекты:

- функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y переменные, k– параметр, k 0);

- линейная функция: y = kx+b (x и y – переменная, k и b – параметры);

- линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная, aи b – параметры, a 0).

К уравнениям с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.Этот  небольшой класс задач, конечно,  многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойную природу. С одной стороны, с параметром работаем как с числом, с другой – это неизвестное. Так, деление на выражение, содержащее параметр, без предварительных исследований невозможно. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Определение уравнения с параметром: «Пусть дано равенство с переменными х, а: f (x; а) = 0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f (х; а) = 0 называется уравнением с переменной х  и параметром а. Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющие этому уравнению». Назовем контрольными значения параметра те значения, при которых обращается в нуль коэффициент при х в линейном уравнении. Рассмотрим алгебраический способ решения линейного уравнения.

Простейшие уравнения с параметром.

1.Простейшие уравнения с параметром.

Рассмотрим решение линейных уравнений, если параметр является свободным членом.

Пример 4. Решить уравнение x – a = 0.

     Ответ: x = a,  при любом a

Пример 5. Решить уравнение 5x = a.Ответ: x = , при любомa.

1) = aОтвет: x = 2a, при любом a.

Вывод: если параметр является свободным членом в уравнении, то уравнение всегда имеет один корень.

Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений. Замечу, что даже такие, казалось бы, совершенно элементарные уравнения часто требуют от учителя подробных комментариев и терпеливых объяснений.

2. В качестве второго шага, рассмотрим уравнения с параметром, где выделим уравнения с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.

Пример 6.Решить уравнение0•х = а.

Ответ: при а  0, корней нет,

                     при а = 0, х – любое из множества R.

Пример 7. Решить уравнение. |x| = a. 

Ответ: при а  0, корней нет,

 при а = 0, х = 0,

при а  0, х = а.

3.Рассмотрим уравнения с параметром, где параметр – это коэффициент линейного уравнения, и,  он может имеет вид алгебраического выражения.

Пример 8.Решить уравнение ах = 1.

Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, а=0. Решение данного уравнения сведем к одному из случаев примеры 1-3.

1) Если а=0, то уравнение примет вид: 0х=1, а это уравнение не имеет корней.

2) Если а≠0, то деление на авозможно и   х =

Ответ: Ø  приа =0;  при  0.

Пример 9. Решить уравнение (а-3)х=1.

Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х,т.е. а-3=0, то а=3.Решение данного уравнения сведем к одному из трех случаев. (примеры 1-3).

1)Если а=3, то а-3=0, и уравнение (а-3)х=1примет вид 0х=1, а это уравнение корней не имеет.

2)Если а ≠3, то то деление на авозможно и х=

Ответ: Ø,приа =3; ,при а ≠3.

Рассмотрим уравнения с параметром, где коэффициент линейного уравнения и свободный член содержат параметр.

Пример 10. Решить уравнение (а-2)х=а-2.

Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х , т.е.а-2=0, тоа =2.

1) Если а=2, то а-2=0, и уравнение (а -2)х=а -2примет вид 0х=0, х – любое число.

2) Если а≠2, то  деление наавозможнох= =1

Ответ: любое число, при а=2; 1, при а≠2

Пример 11. Решить уравнение b х + 1=2b + х.

 Решение: Приведем данное уравнение b х + 1=2b + х к виду ах =b.

b х – x=2b - 1

               (b – 1)х=2b - 1

Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х,

b – 1=0, b=1. 

Если b=1,то b – 1=0, то уравнение (b – 1)х=2b - 1 примет вид 0х=1, корней нет

1) Если b≠1, тоb – 1≠0 деление возможно наb – 1 и  х=

Ответ: Ø, при b=1; , при b≠1.                    

Пример 12. Решить уравнение ( )х=  – 1.

Решение: ( )х=  – 1

Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, т.е.

=0, b(b-1)=0,  b=0 или b=1

1)Если b=1,то =0, уравнение( )х=  – 1 примет вид 0х=0, то х – любое.

2)Если b=0,то =0, уравнение примет вид 0х= - 1, корней нет

3)Если b≠1 и b≠0, то деление наb(b-1) возможно и  х= =

Ответ: любое число, при b=1;

, при b=0;

, при b≠1 и b≠0.

Пример 13. Решить уравнение х=а(х+2) – 2

   Решение:Приведем данное уравнение х=а(х+2) – 2 к виду ах =b.

х=а(х+2) – 2

х=ах+2а-2

х-ах=2а-2

                      ( -а)х=2а-2

Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х,

-а=0,    а(а-1)=0,  а=0 или а=1

1) Если а=0, то -а=0, и уравнение ( -а)х=2а-2примет вид ох= - 2, корней нет

2) Если а=1, то -а=0, и уравнение примет вид 0х=0, х – любое число

3) Если а≠0 и а≠1, то х= =

Ответ: , при а=0;

       любое число, при а=1;

, при а≠0 и а≠1.

Данные выше примеры позволили увидеть, как изменяется вид рассматриваемого линейного уравнения с изменением значения параметра и влияние параметра как переменной на значение корней и их количество. 

Графический способ решения линейного уравнения с параметром.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения линейного уравнения с параметрами kx+b=0. Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический. Количество корней линейного уравнения kx+b=0 зависит от расположения прямых у= kx+b и у=0, но второе уравнение можно записать в виде у= 0x+0, где k=0, b=0. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться (только в одной точке), либо быть параллельными, либо совпадать, а соответственно уравнение kx+b=0 может иметь 1 корень, не иметь корней, или иметь бесчисленное множество корней. 

Решением уравнения kx+b=0 являются абсциссы точек пересечения прямых, заданных уравнениями у= kx+b и у= 0x+0.

Рассмотрим эти случаи расположения прямых, и подтвердим, от чего зависит решение уравнения.

1 случай:

Пусть в уравнении у= kx+b, параметр b – некоторое фиксированное число, k – любое, k≠0. Это уравнение на плоскости задает множество прямых, проходящих через точку (0; b). k – угловой коэффициент прямой и он один и тот же для данного множество прямых. Т.к. k≠0, то прямые, заданные уравнениями у= kx+b и у= 0x+0, пересекаются.

 Вывод: уравнение kx+b=0 при k≠0 имеет один корень. ( рис.1)                               

Рис.1

b