Расстояние от точки до плоскости

 и точка M(x0, y0, z0).

Прямая в пространстве.

1) общее уравнение прямой – линия пересечения двух непараллельных плоскостей:

2) -каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀, y₀, z₀) параллельно направляющему вектору q(l, m, n).

3)

 - параметрическое уравнение прямой.

Взаимное располож.прямых в пространстве:

Тогда прямые L₁ и L₂:

1) скрещиваются, если

2) пересекаются, если и вектор q₁ не коллинеарен вектору q₂.

3) параллельны, если  и точка

4) совпадают, если  и точка

Угол между прямыми в пространстве:

Пусть заданы прямые  где  и  - направляющие векторы прямых. Тогда Расстояние от точки до прямой в пространстве:

Прямая  и точка M(x₀, y₀, z₀). Тогда расстояние от точки M до прямой L: , где M₀ – точка, принадлежащая прямой L, q – направляющий вектор прямой L.

Расстояние между скрещивающимися прямыми:Пусть заданы прямые  где  и  - направляющие векторы прямых. Также Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми:

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве:

,задана прямая  и точка , где  - направляющий вектор прямой,  - вектор нормали плоскости.

1) Прямая лежит в плоскости, тогда , т.е. и иточка .

2) Прямая параллельна плоскости, тогда , т.е. и точка .

3) Прямая пересекает плоскость, тогда , т.е.

Угол между прямой и плоскостью:

,задана прямая, где  - направляющий вектор прямой,  - вектор нормали плоскости.

Эллипс, гипербола и парабола.

Эллипс

 где a – большая полуось, b –малая полуось.

Параметры:

 - вершины эллипса. - центр эллипса.

OX, OY – оси симметрии.

- расстояние от центра до фокуса.  - фокусы.

 - эксцентриситет.

 - директрисы эллипса.

M – произвольная точка, лежащая на эллипсе.

Фокальное свойство.

-сумма расстояний от любой точки М, лежащей на эллипсе, до фокусов есть величина постоянная и равна 2а.

Директориальное свойство.

Оптическое свойство.

Луч света, пущенный из одного фокуса, отражаясь от зеркальной поверхности эллипса, попадает в другой фокус.

Гипербола.

, где a –действительная полуось, b – мнимая полуось.

Параметры:

-вершины гиперболы.

-центр гиперболы.

OX, OY – оси симметрии.

-асимптоты.

-расстояние от центра до фокуса. -фокусы гиперболы.

-эксцентриситет.

-директрисы гиперболы.

M – произвольная точка, лежащая на гиперболе.

Фокальное свойство:

Директориальное св-во:

Оптическое св-во:

Луч света, пущенный из одного фокуса, отражается от ее зеркальной поверхности так, как будто он пущен из другого.

Парабола:

p – параметр параболы.

 - вершина.

OX – ось симметрии.

-фокус. E=1 – эксцентриситет

.  - директриса

M – произвольная точка, лежащая на параболе.

Директориальное св-во:

Оптическое свойство:

Луч света, пущенный из фокуса парабола, отражается от ее зеркальной поверхности параллельным пучком.

Поверхности 2-го порядка:

Эллипсоид -

Однополостный гиперболоид -

Двуполостный гиперболоид -

Конус второго порядка -

Эллиптический параболоид -

Гиперболический параболоид -

Эллиптический цилиндр 2-го порядка -

Гиперболический цилиндр 2-го порядка -

Параболический цилиндр 2-го порядка -

11. Матрицы.Матрицей размером m×n называется совокупность m•n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

Сложение матриц.Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.

Св-ва операций слож матриц и умнож на число:

1)А+В=В+А

2)(А+В)+С=А+(В+С)

3)сущ 0 принадл матриц раз-ра mxn(R):А+0=А

4)для любого А сущ(-А) принадл матриц раз-ра mxn(R):А+(-А)=0

5) (А+В)= А+ В

6)( + )А= А+ А

7) ( А)= ( )А

8)1*А=А

Умножение матриц.Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. Если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Св-ва умнож матриц:

1) АВ=ВА 2)А(ВС)=(АВ)С 3)(А+В)С=АС+ВС 4)А0=0А=0

5)АЕ=ЕА=А 6) (АВ)=( А)В=А В

Обратная матрица.

Квадратная матрица явл-ся обр-ой к квад-ой матрице А,если А* = *А=Е,где Е-единич матрица,т е матрица у котор на главной диагонали 1,а все остальные 0.

Св-ва обр матрицы:

1)

2)

3)

4)det А*det =1

Подстановки.

3 способа подсчета четности подстановки:

1) Инверсия – перестановка двух соседних номеров.

2) Транспозиция – перестановка двух произвольных номеров.

3) Беспорядок - числа k_i и k_j образуют в перестановке беспорядок, если при i<j  

имеет место k_i>k_j .