Принятие решений. Условия и критерии принятия решений

12.1. Постановка задачи. Любая сфера человеческой деятельности, особенно экономика и бизнес, связана с принятием решений ЛПР в условиях неполноты информации. Источники неопределенности могут быть самыми разными: нестабильность экономической и политической ситуации, неопределенность действий партнеров по бизнесу, другие случайные факторы – то есть большое число обстоятельств, учесть которые не представляется возможным (погодные условия, неопределенность спроса на товары, неабсолютная надежность процессов производства, неточность информации и т.д.).

Неопределенность –это отсутствие (неполнота, недостаточность) информации об объекте (процессе, явлении) или неуверенность в достоверности имеющейся информации. Существует множество источников неопределенности для различных реальных объектов.

Экономические решения с учетом перечисленных и множества других неопределенных факторов принимаются в рамках теории принятия решений – аналитического подхода к выбору наилучшего действия (альтернативы) или последовательности действий. В зависимости от степени определенности возможных исходов или последствий различных действий, с которыми сталкивается ЛПР, рассматриваются три типа моделей:

- выбор решений в условиях определенности, если относительно каждого действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу;

- выбор решения при риске, если каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеет вычисляемую или экспертно оцениваемую вероятность появления. Предполагается, что ЛПР эти вероятности известны или их можно определить путем экспертных оценок;

- выбор решений при неопределенности, когда то или иное действие (несколько действий) имеют своим следствием множество частных исходов, но их вероятности совершенно неизвестны или не имеют смысла.

Пусть в условиях определенностидоход  от изделия j считается фиксированной величиной. Если  – выбранное значение переменной, определяющей уровень выпуска изделия j, то общий вклад в доход от изделия j равен  и является также фиксированной величиной при заданном значении .

В условиях рискадоход  не является фиксированным, это случайная величина, значение которой неизвестно, но описывается с помощью функции распределения . Величина  связана с вероятностями, с которыми она принимает то или иное значение. Прибыль  также случайная величина, точное значение которой неизвестно, даже если значение  задано.

В условиях неопределенности функция распределения  либо неизвестна, либо не может быть определена. Неопределенность не означает полного отсутствия информации о задаче. Например, можно располагать сведениями, что  принимает одно из трех значений , , . Пока неизвестны вероятности этих значений, ситуация рассматривается как принятие решений в условиях неопределенности.

Степень неинформируемости о данных непосредственно определяет, каким образом задача формализуется и решается. Например, в задаче выбора ассортимента, когда общее число изделий n, в условиях полной определенности имеет смысл использовать в качестве критерия, подлежащего максимизации при надлежащих ограничениях, . В условиях риска тот же критерий будет малозначимым без некоторых вероятностных предположений, так как z в действительности является случайной величиной. Указанный критерий становится совершенно неадекватным в условиях неопределенности, так как значения  неизвестны. Отсюда видно, что неполнота данных усложняет задачу принятия решений и приводит к менее удовлетворительным результатам.

12.2. Принятие решений в условиях полной определенности. Методы выбора решений в условиях определенности обычно используется в замкнутых моделях, где все альтернативы и их последствия считаются известными. Принятие решений в условиях определенности характеризуется однозначной (детерминированной) связью между принятым решением и его результатом. Главная трудность здесь – наличие нескольких критериев, по которым следует сравнивать результаты.

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования системы, вычисленные для каждой из сравниваемых стратегий при строго заданных внешних условиях. Для рассматриваемых условий принятия решений может производиться по одному или нескольким критериям.

12.3. Принятие решений в условиях риска.Неопределенность обуславливает появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решения). Среди различных видов ситуаций, с которыми в процессе производства сталкиваются предприятия, особое место занимают ситуации риска.

Под ситуацией риска следует понимать сочетание, совокупность различных обстоятельств и условий, создающих обстановку того или иного вида деятельности. Ей сопутствуют тип условия:

- наличие неопределенности;

- необходимость выбора альтернативы (отказ от выбора таковых является разновидностью альтернативы);

- возможность оценить вероятность осуществления выбираемых альтернатив.

Таким образом, если существует возможность количественно или качественно определить степень вероятности того или иного варианта, то это и будет ситуация риска.

Исследование риска целесообразно проводить в следующей последовательности:

- выявление объективных и субъективных факторов, влияющих на конкретный вид риска;

- анализ выявленных факторов;

- оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющая либо финансовую состоятельность проекта, либо его экономическую целесообразность;

- установка допустимого уровня риска;

- анализ отдельных операций по выбранному уровню риска;

- разработка мероприятий по снижению риска.

Мерой риска коммерческого (финансового) решения или операции можно считать:

- СКО значения показателя эффективности этого решения или операции – поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения (операции) и, чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, то есть тем меньше риск (если дисперсия равна нулю, считается, что риск отсутствует). Чаще всего показателем эффективности финансового решения (операции) служит прибыль;

- произведение вероятности p(X) события X, связанного с рисковой ситуацией, на «цену» этого события A(X), выраженную в денежных или других условных единицах (баллах, процентах и т.п.), то есть RS(X) = p(X) A(X).

12.4. Критерии оценки риска. Основными практическими критериями оценки принимаемых решений в условиях риска являются:

- ожидаемое значение результата;

- ожидаемое значение результата в сочетании с минимизацией его дисперсии;

- известный предельный уровень результата;

- наиболее вероятное событие (исход) в будущем.

Критерий ожидаемого значения используется в случаях, когда требуется определить экстремальное значение (MAX или MIN) результативного показателя (прибыль, расходы, экономические потери и т.д.). Критерий ожидаемого значения позволяет получить достоверные оценки в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз, так как замена математического ожидания выборочными данными правомерна лишь при большом объеме выборки.

12.5. Принятие решений в условиях неопределенности. Неопределенность является характеристикой внешней среды (природы), в которой принимается управленческое решение о развитии (или функционировании) экономического объекта. Здесь будет рассматриваться неопределенность «природы», вызванную отсутствием, недостатком информации о действительных условиях (факторах), при которых развивается объект управления. Внешняя среда («природа») может находиться в одном из множества возможных состояний. Это множество может быть конечным и бесконечным. Будем считать, что множество состояний конечно или по крайней мере количество состояний можно пронумеровать.

Пусть  – состояние «природы», при этом , где n –число возможных состояний. Все возможные состояния известны, неизвестно только, какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация принимаемого управленческого решения. Будем считать, что множество управленческих решений (планов)  также конечно и равно m. Реализация  плана в условиях, когда «природа» находится в  состоянии, приводит к определенному результату, который можно оценить, введя количественную меру. В качестве этой меры могут служить выигрыши от принимаемого решения (плана); потери от принимаемого решения, а также полезность, риск и другие количественные критерии. Данные, необходимые для принятия решения в условиях неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям (управленческим решениям) , а столбцы – возможным состояниям «природы» .

Допустим, каждому -му действию и каждому возможному -му состоянию «природы» соответствует результат (исход), определяющий результат (выигрыш, полезность) при выборе j-го действия и реализации i-го состояния, – .

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
	…	…	…	…	…	…
			…		…

Следовательно, математическая модель задачи принятия решения определяется множеством состояний { }, множеством планов (стратегий) { } и матрицей возможных результатов || ||. В качестве результатов в отдельных задачах рассматривается матрица рисков || ||.

Непосредственный анализ матриц выигрышей || || или рисков || || не позволяет в общем случае принять решение по выбору оптимальной стратегии (плана), за исключением тривиального случая, когда выигрыши при одной стратегии выше, чем при любой другой для каждого состояния "природы" (элементы матрицы выигрышей в некоторой строке больше, чем в любой из других). Другими словами, имеется в наличии "доминирующая" стратегия.

В настоящее время накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду, что все они носят рекомендательный характер и выбор окончательного решения всегда остается за человеком (ЛПР).

Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд критериев. Рассмотрим некоторые из них.

К классическим относят: минимаксный критерий, критерий Лапласа, критерий Байеса-Лапласа, критерий Сэвиджа.

К производным: критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лемана, критерий Гермейера, BL(MM) – критерий, критерий произведений.

12.4.1. Критерии принятия решений в условиях неопределенности. Минимаксный (максиминный) критерий Вальда.КритерийПрименение данного критерия не требует знания вероятностей состояний . Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудшей стратегий .

Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием можно интерпретировать следующим образом:

1. Если в исходной матрице (по условию задачи) результат  представляет потери ЛПР, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии  необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент , а затем выбрать действие  (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов – то есть действие, определяющее результат, равный .

2. Если в исходной матрице по условию задачи результат  представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий. Для определения оптимальной стратегии  в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент , а затем выбирается действие  (строка j), которому будут соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, то есть действие, определяющее результат, равный .

Выбранные варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных.

Применение минимаксного критерия может быть оправдано в следующих ситуациях:

- если о возможности появления внешних состояний  ничего не известно;

- если приходится считаться с появлением различных внешних состояний ;

- если решение реализуется только один раз;

- если необходимо исключить какой бы то ни было риск в принципе.

12.4.2. Критерий Лапласа. Этот критерий опирается на принцип «недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» ,  полагаются равновероятными.

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:

1. В соответствии с принципом «недостаточного основания» каждому состоянию  ставится вероятность , определяемая по формуле . При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие , дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каждого действия  вычисляют среднее арифметическое значение выигрыша . Среди  выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии . Другими словами, находится действие , соответствующее .

2. Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков || ||, то критерий Лапласа принимает вид .

12.4.3. Критерий Байеса-Лапласа. Обозначим через  вероятность появления внешнего состояния .Соответствующее правило выбора можно интерпретировать так:

1. Матрица решений  дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк.

2. Выбираются варианты, в строках которых стоит наибольшее значение  этого столбца.

При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

- вероятности появления состояния  известны и не зависят от времени;

- решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

- для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом числе реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключен. Таким образом, критерий Байеса-Лапласа (BL-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

12.4.4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе стратегии, не допускающеей чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (предприятие), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшую стратегию.

Критерий использует матрицу рисков || ||, элементы которой можно определить по формуле:

Это означает, что  есть разница между наилучшим значением в столбце i и значениями  при том же i. Таким образом, риск – это разность между результатом, который можно получить, если знать действительное состояние «природы», и результатом, который будет получен при j-ой стратегии. Матрица рисков дает более наглядную картину неопределенной ситуации, чем матрица выигрышей (полезностей).

Отметим, что независимо от того, является ли  доходом (выигрышем) или потерями (затратами),  в обоих случаях определяет величину потерь ЛПР. Следовательно, можно применять к  только минимаксный критерий.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора реализуется следующим образом:

1. Составить матрицу рисков || ||;

2. Выбирать стратегию , при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к минимаксному критерию.

12.4.5. Критерий Гурвица. Этот критерий основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью  и в самом выгодном состоянии с вероятностью , где  – коэффициент доверия.

Правило выбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом:

1. если результат  - прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так: ;

2. если  представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее .

Если , получаем отсюда пессимистичный критерий Вальда. Если , то приходим к решающему правилу вида  или к так называемой стратегии «здорового оптимизма», то есть критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов проведения соответствующими весами и , где  . Значение  от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности ЛПР к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности  = 0,5 представляется наиболее разумной.

Критерий Гурвица применяется в случаях, когда:

- о вероятностях появления состояния  ничего не известно;

- с появлением состояния  необходимо считаться;

- реализуется только малое количество решений;

- допускается некоторый риск.

12.4.6. Критерий Ходжа-Лемана. Этот критерий опирается одновременно на минимаксный критерий и критерий Байеса-Лапласа. С помощью параметра  выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей. Если доверие велико, то доминирует критерий Байеса-Лапласа, в противном случае – минимаксный критерий, то есть мы ищем , . Правило выбора, соответствующее критерию Ходжа-Лемана формируется следующим образом:

1. Матрица решений  дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с весом ) математических ожиданий и наименьшего результата каждой строки.

2. Выбирается вариант решения, в строках которого стоит набольшее значение этого столбца.

При  = 1 критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при  = 0 становится минимаксным.

Выбор  субъективен, так как степень достоверности какой-либо функции распределения не всегда можно определиться достаточной долей достоверности.

Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которой принимается решение, удовлетворяла свойствам:

- вероятности появления состояния  неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

- принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

- при малых числах реализации допускается некоторый риск.

12.4.7. Критерий Гермейера. Этот критерий ориентирован на величину потерь, то есть на отрицательные значения всех . При этом . Так как в экономических задачах обычно имеют дело с ценами и затратами, условие  здесь выполняется. В случае же, когда среди величин  встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования  при подходящем образом подобранном a > 0. В этом чслучае оптимальный вариант решения зависит от а.

Правило выбора по критерию Гермейера формулируется следующим образом:

1. Матрица решений  дополняется ещё одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния .

2. Выбираются те варианты, в строках которых находится наибольшее значение  этого столбца.

Условия его применимости таковы:

- вероятности появления состояния  неизвестны;

- с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться;

- допускается некоторый риск;

- решение может реализоваться один или несколько раз.

Если функция распределения известна не очень надежно, а числа реализации малы, то, следуя критерию Гермейера, получаем неоправданно большой риск.

12.4.8. BL (MM) критерий. Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев. В качестве примера рассмотрим критерий, полученный путем объединения критериев Байеса-Лапласа и минимакса.

Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом:

1. Матрица решений  дополняется еще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором - разность между опорным значением  и наименьшим значением  соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением  каждой строки и наибольшим значением  той строки, в которой находится значение .

2. Выбираются варианты, строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение  из второго столбца должно быть меньше или равно некоторому заранее заданному уровню риска . Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение:

- вероятности появления состояний  неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;

- необходимо считаться с появлением различных состояний как по отдельности, так и в комплексе;

- допускается ограниченный риск;

- принятое решение реализуется один раз или многократно.

BL(MM)-критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным. Однако заданные границы риска  и, соответственно, оценок риска  не учитывает ни число применения решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.

Условие  существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих условиях недостаточно ориентироваться на риск, связанный только с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализаций это условие перестает быть определяющее важным и допускает разумные альтернативы. Однако нет четких количественных указаний, в каких случаях это условие следует опускать.

12.4.9. Критерий произведений. Правило выбора в этом случае реализуется так:

1. Матрица решений  дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки.

2. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца:   .

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

- вероятности появления состояния  неизвестны;

- с появлением каждого из состояний  по отдельности необходимо считаться;

- критерий применим и при малом числе реализаций решения;

- некоторый риск допускается.

Критерий произведений ориентирован на случай, когда все  положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнить сдвиг  с помощью константы  – результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего . Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений неприменим.

12.5. Выбор критерия принятия решений. Здесь не существует каких-либо общих рекомендаций. Выбор критерия должен производить ЛПР на самом высоком уровне иерархии и в максимальной степени согласовывать его со спецификой конкретной задачи и своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

Например, если принимается очень ответственное решение и даже минимальный риск недопустим, следует использовать критерий Вальда (гарантированного результата). Напротив, если известный риск допустим и руководство фирмы (заказчик) готово вложить в намечаемую операцию столько средств, сколько нужно, чтобы потом не сожалеть об утраченной выгоде, выбирают критерий Сэвиджа.

При отсутствии достаточной информации для выбора того или иного критерия возможен альтернативный подход, связанный с вычислением вероятностей (шансов) успеха и неудачи на основе прошлого опыта.