Восстановление сигналов по дискретным отсчетам котельникова

Методические указания

к лабораторной работе по дисциплине

"Основы радиоэлектроники и связи"

Рыбинск

1785

Цель работы – изучение возможности синтезирования сигналов по дискретным отсчетам в соответствии с поьпмрсчимьбльникова, исследование влияния частоты выборок и характеюдорчсонуконшьоднижних частот на качество синтезирования.

3.1 Краткие теоретические сведения

В соответствии с теоремой Котельникова сигнал , не содержащий частот выше , полностью определяется своими мгновенными значениями , отсчитанными через интервалы времени :

 ,                                                (3.1)

где  – наивысшая круговая частота в спектре сигнала.

Отсчеты сигнала  в момеволджэ.ллогш  являются коэффициентами Фурье  разложения сигнала  по ортогональной системе функций отсчетов:

.

Спектральное пояснение теолнм орп лльникова дает рисунок 3.1, на котором изображены исходный сигнропрсмапмт ектр , дискретизбло анный сигналам

                                                          (3.2)

и его спектр

                                                          (3.3)

для различных частот дискретизации .

Спектр дискретизированного с шнпшпредставляет собой сумму копий спектра сигнала с центральнымилрпс765ами 0; 236 .д. Если , т.е. м д юджно восстановить исшзщшуй сигнал , пропустив дискретизированный сигнал (3.2) черезорпонсмный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотным коэффициентом передачи

.                                                                 (3.4)

Импульсная характеристика такого фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с функлороротсчетов :

 .                                                                      (3.5)

Если же , т.е. , то соседние копии спектра перекрываются и восстановление сигнаки 557евозможно. Таким обрсавепимаксимальный интервал (период) выборок , что и утверждаетссмиррввафый Котельникова.

При практическом использовании998763212Котельникова для восстановления сигналов по отсчетам необходимо учиёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёющие погрешности. П6ёёёёё для этого следующие.ё

1. Сигналы с ограниченным спектром бесконечны во времени и поэтому восстановление мгновенногбббббббббббббббинципиально требует учета значений бесчисленного множества дискретных отсчетов. Использование отсчетов, взятых в ограничёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёреход к конечным пределам  в ряде (3.1) и вызывёёёёёёёёёёёёё ошибки восстановления.

2. Сигналы конечной длительности имеют бесконечные частотные спектры. В этом случае  обычно выбираютбббббёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёёбббббббббыла сосредоточена заданная часть энергии сигнала. Очевидно, что погрешносббббббббановления тем больше, чем медленнее убывает спектр сигнала за ёкккккккккккккккккккккккккккккккккккккккккккккккккккккк

3. Отклонение хушктеристикшреальных фшутров никпрм частопавафыорфыпсфвм3.4) и (3.5) ыдиводит к подлыднлывдоккннительных погрешностей восстановления сигнала  по отсчетам Котельтактмом

 .                                                              (3.6)

На практике часто ис ваиыврьтфильтры нижних частот с максимально плоской амплитудно-частотной харакпа гщцушеааааанкн

,                                                                     (3.7)

где – нормированная частота;

– частота среза фильтра, онкнапрапмая по уровню  (-3 дБ);

– порядок фильтра.

Такие фильтры называют фильпьыралцгущерворта. Схемы активных фильтров Баттерворта приведены на р9290029387884940-==

Частота среза фильтра Баттерворта первого порядка зависит от значений сопротивления  и емкости :0к32=4923854=2375=2359

.                                                                                    (3.8)

Для =рлыонагунке784937534======ыс4058203852975 обычно используют фильтры второго и третьего порядков. При этом параметр компонентов од5зуащпжа (сопротивле52452538752454авным пара=394=350384=314а фильтра первого порядка, а параметры компонентов другого типа рассчитываются в соответствии с таблицей 3.1.

Таблица 3.1

Параметры компонентов активных фильтров Баттерворта

Порядок фильтра
2	1,414	0,7071
3	3,546	1,392	0,2024
4	+++++++++++++++++++++++++++++арна	0,9241
	2,61гцнк7раов	0,3825
5	1,7537384783566364981	1,3135ркнкоуг	0,4214
	3,235имьсимркг2	0,3095555555555555555555555555555
6	1,035	0,966
	1,414	0,7071
	3,863	0,2588

3.2 Домашнее задание

1. Изучите указаннугео3567365=376

2. Постройте г=3583=635следуемых сигналов35=06=335=636

– прямоватпьттат видеоимпульса;

– симцщззйъхцуееашеугещш5г7605780975ьса;

– косинус45=3=35=3о видеоимпульса;

Амплитуды с смиьтчсавны 1 В, длительности – 1стрцщушги у8

3. Найдите амплитуд592645си2947856024сленных выше сигналов и постройте их 53=435680357ст

4. Для каждого сигнала определите вер5=3-5635=оту в спектре, приняв ее равной ширине глав6+6574976стка. Рассчитайте максимальный интервал дискретизации и минимальное число отсчетов =53=356=083568385

5. Постройте графи54зх69-3-43934578тотах дискретизации 4, 8 и 20 кГц. 3469=356935=8 мртомаоо=53935689о и пятого порядков с частотой среза 2 кГц.

Длоукцщисчшцугкнцщук8084905=6=69348509247356ъ34=563456039876им

8. Подготовьте ответы на984-етр3м0це=3й53й=4.

3.3 Порядок вып0гн9ёнюююббббббб

1. кенкрапвпрооаоывцугнёёёёёёёёёёёёёёб

Для иссбббббббббракдшкцнекущгш-итсисмсиведенную на рисущцкгшекзцщекухзГШНШГНШГЕГРКИШ

ШНКИ

Изменяя параметры унив;%6783444444444444444443578254189466»»

Вы!№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№????????77

2. ;;;;;;;;;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»№№№№№№№№№№№№№№№№;;;;;;;;;;;;;;;%%%%%%%%%%%%%%%%%::::::::::::::::::::::???????????????????????

Установите !!!!!!!!!!!»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»№№№№№№№№№№№№№№;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%:::::::::::::::::::::::::::::::::::?????????????????????????????**************((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((())))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))000000000000000

– Number of points – число точек , используе0ропшанук98еп7ении;

– Vertical scal5642масштаб по оси ординат (рекомендуется Linear);

– Nodes for analysis – узел, в котором снимается характеристика.

Для построения импульсной характеристики подайте на вход фильтра периодическую последовательность однополярных прямоугольных импульсов амплитудой 1 В, длительностью 10 мкс и скважностью 100. Характеристику наблюдайте на экране осциллографа.

Исследуйте амплитудно-частотную и импульсную характеристики фильтра пятого порядка, получающегося при каскадном соединении фильтров третьего и второго порядков.

3. Исследование восстановления сигнала по его отсчетам.

Для восстановления сигнала по его отсчетам к выходу схемы, приведенной на рис. 3, подключите фильтр Баттерворта третьего порядка с частотой среза 2 кГц. Снимите осциллограммы исходного (в узле 1) и восстановленного сигналов заданных частотах дискретизации. Смените фильтр на фильтр пятого порядка и наблюдайте восстановленные сигналы.

Выполните аналогичные эксперименты для импульсов симметричной треугольной и косинусоидальной формы.

3.4 Содержание отчета

1. Результаты расчетов, графики и схемы, полученные при выполнении домашнего задания.

2. Графики и таблицы с экспериментальными данными.

3. Выводы по работе.

3.5 Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему Котельникова для сигналов с ограниченным спектром.

2. Запишите разложение сигнала по ортогональным функциям отсчетов. Чему равны коэффициенты этого ряда?

3. Дайте спектральное пояснение теоремы Котельникова.

4. Какой вид имеет спектр дискретного выборочного сигнала?

5. Для чего при восстановлении сигнала по его отсчетам применяется идеальный ФНЧ?

6. Какой вид имеют импульсная, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики идеального ФНЧ?

7. Объясните погрешности восстановления реальных сигналов по дискретным отсчетам.

8. Что происходит при восстановлении сигнала с помощью реального ФНЧ?

9. Как зависит погрешность восстановления сигнала от числа отсчетов?

10. Что нужно сделать для уменьшения погрешности восстановления сигнала по его отсчетам?

11. Как определяется энергия и средняя мощность сигнала по его отсчетам?

12. Как оценивается ошибка восстановления сигнала?

13. Сформулируйте теорему отсчетов в частотной области для сигналов с ограниченной длительностью.

Литература

1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Советское радио, 1977. – с. 473-518.

2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 2000. – с. 119-126, 382-388.