Восстановление сигналов по дискретным отсчетам  котельникова

Методические указания

к лабораторной работе по дисциплине

"Основы радиоэлектроники и связи"

Рыбинск

2004

Цель работы – изучение возможности синтезирования сигналов по дискретным отсчетам в соответствии с теоремой Котельникова, исследование влияния частоты выборок и характеристик фильтров нижних частот на качество синтезирования.

3.1 Краткие теоретические сведения

В соответствии с теоремой Котельникова сигнал , не содержащий частот выше , полностью определяется своими мгновенными значениями , отсчитанными через интервалы времени :

 ,                                                (3.1)

где  – наивысшая круговая частота в спектре сигнала.

Отсчеты сигнала  в моменты времени  являются коэффициентами Фурье  разложения сигнала  по ортогональной системе функций отсчетов:

.

Спектральное пояснение теоремы Котельникова дает рисунок 3.1, на котором изображены исходный сигнал , его спектр , дискретизированный сигнал

                                                          (3.2)

и его спектр

                                                          (3.3)

для различных частот дискретизации .

Спектр дискретизированного сигнала представляет собой сумму копий спектра сигнала  с центральными частотами 0;  и т.д. Если , т.е. , то можно восстановить исходный сигнал , пропустив дискретизированный сигнал (3.2) через идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотным коэффициентом передачи

.                                                                 (3.4)

Импульсная характеристика такого фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией отсчетов :

 .                                                                      (3.5)

Если же , т.е. , то соседние копии спектра перекрываются и восстановление сигнала  невозможно. Таким образом, максимальный интервал (период) выборок , что и утверждается в теореме Котельникова.

При практическом использовании теоремы Котельникова для восстановления сигналов по отсчетам необходимо учитывать неизбежно возникающие погрешности. Причины для этого следующие.

1. Сигналы с ограниченным спектром бесконечны во времени и поэтому восстановление мгновенного значения  принципиально требует учета значений бесчисленного множества дискретных отсчетов. Использование отсчетов, взятых в ограниченном интервале , означает переход к конечным пределам  в ряде (3.1) и вызывает появление ошибки восстановления.

2. Сигналы конечной длительности имеют бесконечные частотные спектры. В этом случае  обычно выбирают так, чтобы в диапазоне частот от нуля до  была сосредоточена заданная часть энергии сигнала. Очевидно, что погрешность восстановления тем больше, чем медленнее убывает спектр сигнала за пределами выбранной полосы от 0 до .

3. Отклонение характеристик реальных фильтров нижних частот от идеальных (3.4) и (3.5) приводит к появлению дополнительных погрешностей восстановления сигнала  по отсчетам Котельникова.

 .                                                              (3.6)

На практике часто используют фильтры нижних частот с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой

,                                                                     (3.7)

где – нормированная частота;

– частота среза фильтра, определяемая по уровню  (-3 дБ);

– порядок фильтра.

Такие фильтры называют фильтрами Баттерворта. Схемы активных фильтров Баттерворта приведены на рисунке 3.2.

Частота среза фильтра Баттерворта первого порядка зависит от значений сопротивления  и емкости :

.                                                                                    (3.8)

Для построения фильтров более высоких порядков обычно используют фильтры второго и третьего порядков. При этом параметр компонентов одного типа (сопротивлений) берется равным параметру компонента фильтра первого порядка, а параметры компонентов другого типа рассчитываются в соответствии с таблицей 3.1.

Таблица 3.1

Параметры компонентов активных фильтров Баттерворта

Порядок фильтра
2	1,414		0,7071
3	3,546		1,392		0,2024
4	1,082	0,9241
	2,613	0,3825
5	1,753		1,354		0,4214
	3,235		0,3090
6	1,035		0,966
	1,414		0,7071
	3,863		0,2588

3.2 Домашнее задание

1. Изучите указанную литературу.

2. Постройте графики исследуемых сигналов:

– прямоугольного видеоимпульса;

– симметричного треугольного видеоимпульса;

– косинусоидального видеоимпульса;

Амплитуды сигналов равны 1 В, длительности – 1 мс.

3. Найдите амплитудные спектры перечисленных выше сигналов и постройте их графики.

4. Для каждого сигнала определите верхнюю частоту в спектре, приняв ее равной ширине главного лепестка. Рассчитайте максимальный интервал дискретизации и минимальное число отсчетов сигнала по Котельникову.

5. Постройте графики дискретизированных и восстановленных сигналов при частотах дискретизации 4, 8 и 20 кГц.

6. Рассчитайте фильтры нижних частот Баттерворта третьего и пятого порядков с частотой среза 2 кГц.

7. Ознакомьтесь с порядком проведения работы.

8. Подготовьте ответы на контрольные вопросы.

3.3 Порядок выполнения работы

1. Исследование спектров исходного и дискретизированного сигналов.

Для исследования используйте схему, приведенную на рисунке 3.3.

Изменяя параметры универсального генератора, добейтесь появления в узле 1 периодической последовательности импульсов прямоугольной формы амплитудой 1 В, длительностью 1 мс и скважностью 10. Для дискретизации используете периодическую последовательность импульсов длительностью 10 мкс, следующих с частотой дискретизации. Дискретизированный импульс наблюдайте в узле 2. Постройте спектры исходного и дискретизированного сигналов при заданных частотах дискретизации. При построении спектров используйте опцию Analysis/Fourier.

Выполните аналогичные эксперименты для импульсов симметричной треугольной и косинусоидальной формы.

2. Исследование частотных и временных характеристик фильтра Баттероворта.

Для исследования характеристик фильтра третьего порядка используйте схему, приведенную на рисунке 3.4.

Установите параметры элементов цепи, полученные при выполнении домашнего задания. Для построения амплитудно-частотной характеристики фильтра подайте на вход фильтра гармонический сигнал амплитудой 1 В и воспользуйтесь опцией Analysis/AC Frequency. В открывшемся окне, приведенном на рисунке 4.5, задайте следующие параметры:

– FSTART (FSTOP) – нижняя (верхняя) частота диапазона;

– Sweep type – масштаб по оси абсцисс (рекомендуется Linear);

– Number of points – число точек , используемых при построении;

– Vertical scale – масштаб по оси ординат (рекомендуется Linear);

– Nodes for analysis – узел, в котором снимается характеристика.

Для построения импульсной характеристики подайте на вход фильтра периодическую последовательность однополярных прямоугольных импульсов амплитудой 1 В, длительностью 10 мкс и скважностью 100. Характеристику наблюдайте на экране осциллографа.

Исследуйте амплитудно-частотную и импульсную характеристики фильтра пятого порядка, получающегося при каскадном соединении фильтров третьего и второго порядков.

3. Исследование восстановления сигнала по его отсчетам.

Для восстановления сигнала по его отсчетам к выходу схемы, приведенной на рис. 3, подключите фильтр Баттерворта третьего порядка с частотой среза 2 кГц. Снимите осциллограммы исходного (в узле 1) и восстановленного сигналов заданных частотах дискретизации. Смените фильтр на фильтр пятого порядка и наблюдайте восстановленные сигналы.

Выполните аналогичные эксперименты для импульсов симметричной треугольной и косинусоидальной формы.

3.4 Содержание отчета

1. Результаты расчетов, графики и схемы, полученные при выполнении домашнего задания.

2. Графики и таблицы с экспериментальными данными.

3. Выводы по работе.

3.5 Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему Котельникова для сигналов с ограниченным спектром.

2. Запишите разложение сигнала по ортогональным функциям отсчетов. Чему равны коэффициенты этого ряда?

3. Дайте спектральное пояснение теоремы Котельникова.

4. Какой вид имеет спектр дискретного выборочного сигнала?

5. Для чего при восстановлении сигнала по его отсчетам применяется идеальный ФНЧ?

6. Какой вид имеют импульсная, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики идеального ФНЧ?

7. Объясните погрешности восстановления реальных сигналов по дискретным отсчетам.

8. Что происходит при восстановлении сигнала с помощью реального ФНЧ?

9. Как зависит погрешность восстановления сигнала от числа отсчетов?

10. Что нужно сделать для уменьшения погрешности восстановления сигнала по его отсчетам?

11. Как определяется энергия и средняя мощность сигнала по его отсчетам?

12. Как оценивается ошибка восстановления сигнала?

13. Сформулируйте теорему отсчетов в частотной области для сигналов с ограниченной длительностью.

Литература

1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Советское радио, 1977. – с. 473-518.

2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 2000. – с. 119-126, 382-388.