Построение графиков функций заданных неявно

Лабораторная работа №6(2 MT)

Построение кривых в полярной системе координат и графиков функций заданных неявно

Цели:

• Построение кривых в полярной системе координат и графиков функций заданных неявно с помощью системы Mathematica;
• Демонстрация построения кривых на плоскости, изучаемых в геометрии (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

Вы уже знаете, как используется команда Plot при построении графиков функций в декартовой системе координат и кривых заданных параметрически. Теперь рассмотрим случай построения кривых в полярной системе координат и графиков функций заданных неявно.

Построение кривых в полярной системе координат

Для построения кривых в полярной системе координат необходимо подгрузить пакет-приложение Graphics следующим образом:
<<Graphics`Graphics` и нажать Shift+Enter. Теперь используем функцию:

PolarPlot[f(t),{t,t_min,t_max}] - строит график функции от t на интервале от t_min до t_max

Рассмотрим примеры применения данной команды.

рис.1

На рис.1 изображена известная вам кардиоида. Сравните способы ее построения в полярной системе координат и в параметрической форме (л.1).

На рис.2 приведен пример построения четырехлепестковой розы r=sin(2t).

рис.2

Задание 1: Постройте кривые, заданные в полярных координатах:
1). Трехлепестковую розу r=2sin(t);
2). Циссоиду r=tg(t)sin(t);
3). Гиперболическую спираль r=2/t.

Для построения совокупности кривых в полярной системе координат используют команду:

PolarPlot[{f₁(t),f₂(t),...},{t,t_min,t_max}] - где f₁(t),f₂(t),... - функции, заданные в полярной системе координат

На рис.3 изображена строфоида r=(1 sin(t))/cos(t) - кривая представленная совокупностью двух функций.

рис.3

На рис.4 изображена лемниската Бернулли, которая задается уравнением r²=cos(t).

рис.4

Вспомните какие известные вам кривые в полярных координатах можно представить как совокупность иных кривых в тех же координатах и попытайтесь их построить.

Построение графиков функций заданных неявно

Для построения графиков функций заданных неявно - f(x,y) необходимо подгрузить пакет-приложение:
<<Graphics`ImplicitPlot` и нажать Shift+Enter. Теперь используем команду:

ImplicitPlot[f(x,y),{x,x_min,x_max}] - строит график функции f(x,y) при значениях x от x_min до x_max

Рассмотрим как строятся известные из аналитической геометрии кривые: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Для начала вспомним их канонические уравнения.

• Окружность (x-x₀)²+(y-y₀)²=R², где (x₀,y₀) - координаты центра, R - ее радиус.
• Эллипс x²/a²+y²/b²=1, где a и b - полуоси.
• Гипербола x²/a²-y²/b²=1, где a и b - полуоси.
• Парабола (y-y₀)²=2p(x-x₀)², где (x₀,y₀) - координаты центра.

При построении в конкретных случаях числам a, b, x₀, y₀ надо предавать конкретные значения.

На рис.5 построен эллипс с полуосями 5 и 3 с центром в начале координат.

рис.5

Задание 2: Постройте окружность с центром в точке (1,1) и радиусом 2.

На рис.6 изображена гипербола при a=5 и b=3 с центром в начале координат.

рис.6

Задание 3: Постройте параболу с центром в точке (-2,1), рассмотрите всевозможные варианты ее расположения.

На рис.7 изображена петлевая парабола.

рис.7

Для построения нескольких графиков функций заданных неявно используют команду:

ImplicitPlot[{f₁(t),f₂(t),...},{x,x_min,x_max}] - где f₁(t),f₂(t),... - функции заданные неявно

Задание 4:

Постройте:
1). Полукубическую параболу y³=4x²;
2). Астроиду x^2/3+y^2/3=3^2/3;
3). Декартов лист x³+y³-3xy=0.