Прогноз спроса на две недели вперед.

Задача 2.6.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 тыс.долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси». Анализируются акции «Дикси-Е» и «Дикси-В». Цены на акции: «Дикси-Е» - 5долл. за акцию; «Дикси-В» - 3долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси-Е» - 1,1долл.; «Дикси-В» - 0,9долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

1). Для решения задачи приведем все вышеперечисленные величины в таблицу:

2). Математическая формация задачи.

Пусть х₁- кол-во акций «Дикси-Е»

      х₂- кол-во акций «Дикси-В»

С учетом этих обозначений ЭММ рассматриваемой задачи имеет вид:

F=5х₁ + 3х₂ – целевая функция.

F=1,1х₁ + 0,9х₂ => max

Ограничения:

5х₁ + 3х₂ < 25 000

х₁ + х₂ < 6 000

х₁ < 5 000

      х₂ < 5 000

х₁, х₂ > 0

3). Определим множество решений первого неравенство. Оно состоит из решения и строгого неравенства. Решением служат точки прямой  5х₁ + 3х₂ - 25 000 = 0 Построим прямую по двум точкам (5 000;0) и (0;8333,3), полученные в результате последовательного обнуления одной из переменных.

Построим прямые ограничения:

5х₁ + 3х₂ = 25 000

(5 000; 8333,3)

х₁ + х₂ = 6 000

(3500; 2500)

х₁ = 5 000

(5 000; 0)

х₂ = 5 000

(0; 5 000)

и линию уровня:

maxf(x) = 1,1х₁ + 0,9х₂

(0;0);(4,5;-5,5)

При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку С, это и есть точка максимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.

5х₁ + 3х₂ = 25 000

х₁ + х₂ = 6 000

5х₁ + 3х₂ = 25 000

х₁ = 6 000 – х₂

30 000 – 5х₂ + 3х₂ = 25 000

х₁ = 6 000 – х₂

-2х₂ = -5 000

х₁ = 6 000 – х₂

х₂ = 2 500

х₁= 3 500

Значение целевой функции в точке С (2500; 3500) равно:

max f(x) = 1,1 × 3500 + 0,9 × 2500 = 3850 + 2250 = 6100 долл.

Вывод: Чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить: акций «Дикси-Е» - 3500 шт, и акций «Дикси-В» - 2500 шт., при этом прибыль от двух видов купленных акций составит – 6100 долл.; если задачу решать на min, то min F(x) = 0 и достигается при х₁ = 0; х₂ = 0.

Графический метод решения задачи.

Задача 3.6.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже.

Требуется :

1) Проверить наличие аномальных наблюдений;

2) Построить линейную модель Y(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7);

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70 %);

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1)      Проверяем наличие аномальных наблюдений.

Наличие аномальных точек определим пометоду Ирвина, для чего определим значения расчетного значения λ_i и среднеквадратическое отклонение S_y с помощью Excel:

В результате получаем следующую таблицу:

Аномальных наблюдений во временном ряду нет, так как расчетные значения λ _t меньше табличного λ _t < 1,6 .

Выравнивание тренда или тенденции находим при F-критерия Фишера «двухвыборочный F-тест для дисперсии»:

Вводим данные переменных:

F_{расчетная} - F_{критическая} – тренда скорее всего нет.

Затем при помощи анализа данных находим «двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями»:

Вводим данные переменных:

F_{расчетная} - F_{критическая} – тренда скорее всего нет.

2) Построим линейную модель вида Yр(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить М Н К (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда);

По методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:

Известно, что

Построим следующую таблицу, используя MS Excel.

Таким образом, получаем следующие данные:

Уравнение регрессии зависимости Y_t  от t_t имеет вид:

Y(t) = 10,30555556 + 1,85t

Также, для получения коэффициентов регрессии можно использовать настройку MS Excel «Анализ данных».  Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Затем, используя пункт  Регрессия  настройки - «Анализ данных» оцениваем параметры модели.

Результат регрессионного анализа представлен в таблице:

Таким образом, средствами MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀ = 10,30555556, а₁ = 1,85, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

  Уравнение регрессии зависимости Y_t от t_t  имеет вид:

 Y(t) = 10,30555556 + 1,85t

3) Оценим адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7);

С помощью  MS Excel для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

e_t =0,значит модель адекватна.

В нашем примере общее число поворотных точек 6. Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 имеет вид:

6 > 2

Неравенство выполняется, следовательно, критерий случайности ряда остатков выполнен.

Условие наличие (отсутствия) автокорреляции можно проверить по критерию Дарбина Уотсона в основе которого лежит расчетная формула:

d^/ = 4 – 2,03 = 1,97

Критические значения статистики: d_1kp=1,08 и d_2kp=1,36;

d и d^/ > 1,36 поэтому уровни остатков не зависимы

Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения проведен по RS - критерию:

1,27

(2,7;3,7), т.е. 3,03 (2,7;3,7), значит модель адекватна.

4) Оценим точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации:

Рассчитанной по формуле:

Ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.

5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%);

Строим прогноз по построенным моделям:

Точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста - экстраполяция на kшагов вперед имеет вид:

Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:

Y_n+1=10,30555556+1,85×(9+1)=28,80555556

Y_n+2=10,30555556+1,85×(9+2)= 30,65555556

Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7

Доверительный интервал:

Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119

S_y= =

S_y=1,356056374

U₁₀=1,356056374×1,119× =1,875856792

U₁₁=1,356056374×1,119× =1,985220227

Интервальный прогноз равен U₁₀ = 28,80555556 ± 1,875856792

                                              U₁₁= 30,65555556 ± 1,985220227

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Для этого составим таблицу:

Прогноз спроса на две недели вперед.

Задача 4.6.

Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 тыс.руб. интенсивность производства составляет 100 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты на осуществление заказа равны 1500 руб. затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 20 руб. в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 30 тыс. шт. в год.

Предполагая, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие (в месяце 22 рабочих дня). Построить график общих годовых затрат.