Теория общего равновесия в XX в.: вклад А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хш К. Эрроу и Ж. Дебре

В экономике существуют два товара, которые создаются в ходе двух производственных процессов и полностью в них потребляются (отсутствует конечное потребление). Каждый производственных процесс характеризуется определенным уровнем интенсивно коэффициенты затрат и выпуска соответствуют единичному уровню его интенсивности.

Условия сбалансированности задаются следующим образом.

Для каждого товара агрегированный выпуск должен быть не меньше, чем затраты, необходимые, чтобы процесс продолжался в следующем периоде в расширенном масштабе:

(I)

b₁₁X₁ + b₁₂X₂ ³(1+g)(a₁₁X₁+a₁₂X₂),

 b₂₁X₁+b₂₂X₂³ (l+g)(a₂₁X₁+a₂₂X₂ ),

 где a_ij - затраты i-го товара в процессе j на единицу выпуска, b_ij - выпуск товара i в процессе. j на единицу затрат, X_j – интенсивноcть процесса j, g - темпы роста, r - процент.

Для каждого производственного процесса издержки с учете цента должны быть не меньше, чем получаемый доход, так какв противном случае соответствующий процесс расширяется, вызывая изменение структуры цен

(II)

(1 + r)(a₁₁p₁ + a₂₁p₂) ³ b₁₁p₁ + b₂₁р_2,

 (1 + r)(а₁₂p₁ + a₂₂p₂) ³ b₁₂p₁ + b₂₂p₂.

Вопрос в том, существуют ли интенсивность производственных процессов, уровень цен, процента и темп роста, удовлетворяющие двум группам условий, и каково их экономическое содержание?

 Нейман доказал, что при некоторых условиях решение существует причем максимально возможный темп роста равен минимально допустимому проценту, т.е. max g = min r.

Это означает, что если выбран некий g, и для некоторых товаров условия (I) нарушаются, то требуется уменьшать g до тех пор, пока для всех товаров эти условия не будут выполняться, причем для какого-то (одного или нескольких товаров) как равенство. Этот товар (или несколько товаров) и будет экономическим, т.е. иметь положительную цену. Темп роста производства будет в этом случае максимальным из возможных.

Если r зафиксирован на очень низком уровне, многие процессы оказываются прибыльными - условия (II) нарушаются. Повышая r, можно добиться ситуации, когда для всех процессов условия будут выполняться, причем по крайней мере для одного процесса - как равенство. Определенный в этом равенстве r и будет минимальным из допустимых.

Нейман показал, что модель расширяющейся экономики может трактоваться как игра двух участников с нулевой суммой, один из участников которой максимизирует выигрыш - темп роста экономики при ограничениях на предложение, а другой - минимизирует проигрыш - процент при ограничениях на прибыль. Он доказал, что при некоторых условиях существует седловая точка (решение) такой игры, характеризующаяся равенством значений обеих целевых функций - темпа роста и процента. Это и есть точка равновесия, задающая траекторию сбалансированного роста.

Полученный фон Нейманом результат позволяет осознать важный аспект равновесия, который не был выявлен в модели Вальраса, а именно: равновесие - это максимум выпуска в денежном выражении и минимум доходов факторов. Этот вывод представляет собой выраженное другим языком утверждение Смита о равенстве стоимости произведенной продукции и суммы доходов в экономике.

Теория игр открыла новые способы доказательства существования равновесия в моделях типа Вальраса и анализа ситуаций, которые традиционный равновесный подход исключал из рассмотрения. Начав с простого случая так называемых антагонистических игр с Двумя участниками, когда проигрыш одного является выигрышем Другого, теория игр постепенно перешла к анализу более сложных ситуаций - неантагонистических игр с п участниками. Применительно к миру экономики это, в частности, означает отказ от идеи, согласно которой цены на рынке не зависят от поведенияотдельногоучастника. Иными словами, игровой подход позволяет перейти мира атомизированных и не влияющих на рынок индивидом реалистичной ситуации, когда от каждого участника зависит рыночная ситуация, например, как в случае олигополии.

Важную роль в совершенствовании методов доказательств существования равновесия сыграла теорема Какутани о неподвижна (1941), которая, в частности, позволила предложить элегантна иллюстрацию процесса «tatonnement» на языке современной математики[188].

 В середине 50-х годов, основываясь на этой теореме, а также используя достижения в области линейного программирования, ученых и прежде всего нобелевские лауреаты К. Эрроу (1972) и Ж. Дебре (1983) предложили более простые и общие, чем у Вальда, теоремы существования единственного и экономически значимого решения модели Вальраса. Модель Эрроу-Дебре (1954) является классической в области современной теории общего равновесия[189]. Она представляет собой модифицированный вариант модели Вальрас в которую включено множество производственных возможностей то фиксированных производственных коэффициентов, а вместо функций полезности, обладающих хорошими свойствами, введены функции предпочтения.

В модели Эрроу-Дебре фирмы трансформируют затрат» пуск, причем кривые трансформации выпуклы, отсутствуете экономия на масштабах; домашние хозяйства предлагают труд и  потребляют положительное количество товаров; их выбор определен функцией полезности, у которых кривые безразличия выпуклы; у домашниххозяйств есть положительное количество каждого товара и они претендуют на некоторую долю прибыли.

При этих предпосылках они доказали, что существует конкурентное равновесие, которое они определили следующим образом:

 максимум прибыли при заданных ценах;

 максимум полезности при заданных ценах и долях в прибылях;

 цены неотрицательны;

 если существует избыточное предложение товара, его цена нулю.

Пои доказательстве теоремы Эрроу и Дебре использовали теорему Нэша о решении игры с п участниками и показали эквивалент-ость понятий конкурентного равновесия и равновесия игры с п участниками.

Существовали и несколько иные подходы к доказательству равновесия в модели Вальраса. Так,Л. Маккензи использовал при доказательстве теоремы Эрроу-Дебре теорему о неподвижной точке и, что особенно важно, предложил достаточно простую интерпретацию процесса поиска равновесия, использовав идею единичного симплекса как пространства допустимых векторов цен[190]. Процесс поиска равновесных цен он трактовал как отображение множества цен в себя, причем процесс отображения проходит промежуточную стадию отображения цен в количества. Таким образом, процедура отображения становится интерпретацией процесса «tatonnement», неподвижная точка - точкой равновесия, а ее координаты - ценами равновесия.

История проблемы существования равновесия достигла своей кульминации, когда в 1959 г. Ж, Дебре опубликовал итоговую работу «Теория стоимости»[191], где с учетом всего сделанного ранее не только была изложена аксиоматика системы общего равновесия и было предложено доказательство существования равновесия, но и были представлены доказанные в 1951 г. Дебре и Эрроу теоремы благосостояния, устанавливающие (однозначное) соответствие между конкурентным равновесием и оптимумом по Парето. Последние выводят проблему равновесия в новое измерение, затрагивающее этические основы теории равновесия (см. гл. 14).

Наряду и порой параллельно с исследованием проблемы существования и сопряженного с ней широкого круга проблем развивался и анализ проблемы устойчивости. Существование равновесия ничего не говорит о поведении системы, т.е. о ее динамических свойствах. Поэтому проблема устойчивости неотделима от проблемы динамики. В самом общем виде устойчивость ассоциируется с «притяжением» системы к некоторому состоянию или траектории. Самое общее математическое определение устойчивости гласит: «Линия поведения системы называется устойчивой, если, начавшись внутри этой области, она никогда ее не покидает». Очевидно, что конкретизация этого определения может быть различной.

Дж. Хикс, П. Самуэльсон, К. Эрроу, Ф; Хан, Т Негиши, Л. Маккензи, X. Узава - вот неполный перечень тех, кто в разное время следовал проблему устойчивости равновесия. Но начало положили в 30-е годы Дж. Хикс и П. Самуэльсон[192].

Хикс предложил критерий устойчивости, представлявши существу, попытку формально выразить соображения, котором высказывались в связи с процессом «tatonnement», а именно что увеличение цены данного товара должно вызывать уменьшение избыточного спроса на него, причем этот прямой эффект сильнее возможного вторичного эффекта, связанного с косвенным влиянием цен других товаров, изменение которых было порождено изменением спроса на них в результате изменения цены исходного товара. Хикс сосредоточил внимание на матрице, составленной из частных производных функций избыточного спроса, и пришел к выводу, что главные миноры этой матрицы должны иметь меняющиеся знаки, причем первый минор должен быть отрицательным.

Позже Самуэльсон показал, что критерий Хикса в общем случае не является ни необходимым, ни достаточным. Он подвергнут критике  хиксианское представление об устойчивости на том основана оно определено по аналогии со случаем одного рынка, и пред собственный подход к анализу устойчивости. Самуэльсон исход представления об устойчивости как о «притяжении» к некоторой точке, т.е. понимал ее как свойство системы возвращаться к равновесной траектории после изменения исходных условий. Он обрат динамическим характеристикам процесса «tatonnement», а именно к зависимости, связывающей скорость изменения цены товара и. чины избыточного спроса на него. Для наиболее простого случая -когда эта зависимость линейна, т.е. может быть представлен dp/dt == с (А + Вр), где А и В - матрицы коэффициентов, р - вектор цен, он показал, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является то, что действительные части характеристических чисел матрицы В отрицательны[193]. Для случая одного рынка это условие эквивалентно условию Хикса.

В конце 50-х годов, используя иные методы анализа, Эрроу другие экономисты-математики сформулировали следующие альтернативные достаточные условия устойчивости: все товары - субституты; рынки удовлетворяют слабой аксиоме о выявленных предпочтениях; якобиан (т.е. определитель матрицы, составленной из частных производных функций избыточного спроса) имеет доминантную диагональ элементы которой отрицательны. Последнее условие, очевидно, не что иное, как утверждение о том, что увеличение цены данного товара ведет к уменьшению спроса на него, независимо от воздействия других цен.

Дискуссии, о которых шла речь выше, строго говоря, касались математической стороны теории общего равновесия, экономическая интерпретация полученных результатов часто оказывалась достаточно затруднительной. В этом смысле более экономически содержательными были исследования в рамках того направления, которое выше было обозначено как макроэкономическое.