Завдання до захисту індивідуального завдання 4

ЧАСТИНА 2

ПРИНЦИПИ ПОШИРЕННЯ СПРЯМОВАНИХ

ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ

До частини 2 навчального посібника включено п'ять розділів 4 - 8, з них розділи 5, 6, 7, 8 пов'язані з поширенням електромагнітних хвиль у різних обмежених середовищах. Без ретельного опрацювання наданого матеріалу і без набуття практичних навичок у подальшому неможливе розв'язання задач узгодження і розробки найпростіших пристроїв, таких як мости, відгалужувачі, подільники потужності, фазообертачі, атенюатори тощо.

Розділ 4 містить необхідні відомості про граничні умови на пласкій межі поділу двох середовищ. Основну увагу приділено повній системі граничних умов, випадкам поділу двох діелектриків і поділу діелектрика та провідника.

У розділі 5 розглянуто хвильові явища на пласкій межі поділу двох середовищ - двох діелектриків і діелектрика та середовища з втратами. Виконання індивідуальних завдань потребують знання законів Снелліуса, коефіцієнтів Френеля, поляризації електромагнітних хвиль, поняття кута Брюстера та критичного кута падіння, особливостей поверхневого ефекту, причин виникнення спрямованих хвиль.  

Розділ 6 присвячений вивченню загальних властивостей спрямованих електромагнітних хвиль в регулярних однорідних лініях передачі. Надано фундаментальні визначення лінії предачі, видів спрямованих хвиль, критичної частоти (довжини хвилі), хвильового опору. У загальному вигляді розглянуто особливості дисперсних Н- і Е-хвиль та недисперсних Т-хвиль. Характерні залежності, наприклад, залежності від частоти характеристичного опору, фазової швидкості та швидкості поширення, з'ясовуються студентом під час виконання індивідуальних завдань.

У розділі 7 розглянуто найбільш поширені лінії передачі з біжучими хвилями основних типів: прямокутний, круглий та коаксіальний хвилеводи і приклад відкритої лінії - несиметрична стрічкова лінія. Індивідуальні завдання присвячені вибору розмірів поперечних перерізів ліній передачі для основних типів хвиль.

Розділ 8 містить аналіз характеристик навантажених ліній передачі. Індивідуаульні завдання є логічним продовженням багатьох задач розділу 7 і включають розрахунки комплексного коефіцієнта відбиття, коефіцієнта стоячої хвилі, падаючої, відбитої та прохідної потужності, вхідного опору.

ГРАНИЧНІ УМОВИ

& 4.1 Стислі теоретичні відомості

Тангенціальні та нормальні складові векторів. Граничними умовами називають систему рівнянь, яка виконується тільки на межі поділу двох середовищ.

На поверхні поділу електромагнітне поле частково відбиватиметься і частково проникатиме в інше середовище. Падаюча і відбита хвилі в одному середовищі та хвиля, що прийшла з іншого середовища, утворюють результуючу хвилю. Наприклад, вектор сумарного електричного поля в середовищі 1 за рис. 4.1

                                          (4.1)

де - вектор падаючої хвилі,  - вектор відбитої хвилі,  - вектор хвилі, яка прийшла з середовища 2 до середовища 1.

Розглянемо пласку межу поділу двох середовищ. В площині поділу всі чотири вектори поля розкладаються на дві складові, одна з яких паралельна межі поділу (тангенціальна складова), а інша - перпендикулярна (нормальна складова). На  

Рисунок 4.1 - Межа поділу рис. 4.1 вектор електричного поля

.                            (4.2)

   Аналогічно виділяють нормальні і тангенціальні складові усіх векторів у другому середовищі.

Повна система граничних умов. У скалярній формі повна система граничних умов має вигляд

(4.3)         (4.4)         (4.5)         (4.6)

   Тут r_s - поверхнева густина електричних зарядів, j_s - густина поверхневого струму. Параметри r_s, j_s у природі не існують і введені замість об'ємної густини електричних зарядів r з (3РМ) та густини струму провідності j з (8МР). На поверхні ідеального провідника r_s ¹ 0, j_s ¹ 0, у всіх інших випадках r_s = 0, j_s = 0.

З рівнянь (4.3), (4.4) видно, що на межі поділу тангенціальні складові вектора напруженості електричного поля і нормальні складові вектора напруженості магнітної індукції неперервні, тобто дорівнюють одна одній. Якщо різниця складових векторів не дорівнює нулю (див. рівняння (4.5), (4.6)), прийнято говорити, що ці складові на межі поділу зазнають стрибка.

Рівняння (4.3) - (4.6) записані в загальному вигляді і використовуються для одержання граничних умов для двох практичних варіантів: на поверхні поділу двох діелектриків і на поверхні поділу діелектрика з ідеальним провідником.

 Граничні умови на поверхні поділу двох діелектриків. Обидва середовища на рис. 4.1 – діелектрики. На поверхні між двома діелектриками r_s = 0, j_s = 0 і рівняння (4.3) – (4.6) приймають вигляд  

(4.7)      (4.8)      (4.9)    (4.10)

З (4.7) – (4.10) видно, що тангенціальні складові напруженості електричного поля і напруженості магнітного поля, а також нормальні складові електричного зміщення і магнітної індукції на межі поділу двох діелектриків неперервні. При цьому тангенціальні складові електричного зміщення і нормальні складові напруженості електричного поля зазнають стрибка.

Граничні умови для змінного поля на поверхні поділу діелектрика та ідеального провідника. Припустимо, що на рис. 4.1 середовище 2 – ідеальний провідник, s₂ = ¥. В розділі 3, табл. 3.1 з'ясовано, що в ідеальному провіднику змінне електромагнітне поле існувати не може, тобто на межі поділу E₂ = H₂  = D₂ = B₂ =0. На поверхні ідеального провідника r_s ¹ 0, j_s ¹ 0. З (4.3) – (4.6) випливає

                                                                                                 (4.11)

                                                                                                           (4.12)

                                                                                       (4.13)                       (4.14)

Принципово важливо, що на поверхні ідеального провідника E_1t і H_1n дорівнюють нулю, а E_1n і H_1t відрізняються від нуля і мають скінченні значення.

Важливий фізичний зміст має векторний вигляд рівняння (4.14): поверхневий струм    спрямований під кутом 90° до вектора  тангенціальної складової напруженості магнітного  

Рисунок 4.2 - До умови (4.14)        поля, як зображено на рис. 4.2.

Граничні умови на поверхні поділу діелектрика і реального провідника. Реальні провідники мають скінченну провідність s₂ ¹ ¥. На відміну від умови на поверхні ідеального провідника (E_1t = 0), на межі поділу діелектрика з добрим провідником (металом) існує невелика за розміром тангенціальна складова напруженості електричного поля

 .                                (4.15)

Перехід до ідеального провідника при s₂ ® ¥ дає  що відповідає граничній умові (4.11).

При іншій формі поверхні поділу рівняння (4.15) можна застосовувати, якщо радіус кривизни поверхні більше скін-шару.

Рівняння (4.15) часто називають граничною умовою Щукіна-Ритова-Леонтовича за прізвищами вчених, які досліджували поверхневі ефекти на провідниках.

Ñ4.2 Ключові питання

1. Поняття тангенціальних та нормальних складових вектора на межі поділу двох середовищ.

2. Повна система граничних умов. Значення поверхневої густини електричних зарядів r_s і густини поверхневого струму j_s. Поняття неперервності та стрибка.

3. Граничні умови на поверхні поділу двох діелектриків.

4. Граничні умови для змінного поля на поверхні ідеального провідника.

5. Значення тангенціальної складової електричного поля і нормальної складової магнітного поля на поверхні ідеального провідника.

6. Фізичний зміст граничної умови для тангенціальної складової магнітного поля на поверхні ідеального провідника.

7. Гранична умова Щукіна-Ритова-Леонтовича.

4.3 Приклади розв'язання задач     

Приклад 4.1. На межу поділу повітря і діелектрика падає з повітря перпендикулярно поверхні розділу пласка поперечна хвиля. На площині поділу напруженість електричного поля падаючої хвилі 

                                   , мкВ/м,

а напруженість відбитої хвилі

, мкВ/м.

Знайти напруженість електричного поля на межі розподілу в обох середовищах.

nèЧерез те що поперечна хвиля падає перпендикулярно поверхні поділу, на межі будуть відсутні нормальні складові електромагнітного поля. Запишемо напруженість відбитої хвилі у вигляді . Тоді сумарне поле  Гранична умова на поверхні поділу двох діелектриків (4.7) дає відповідь

   E_2n = E_1n = 0. çn

Приклад 4.2. На межі поділу двох діелектриків з відносними діелектричними проникностями e₁ = 10,54, e₂ = 4,5 вектор електричного поля стоячої хвилі орієнтований під кутом 47° до поверхні поділу і на поверхні поділу в діелектрику 1 його амплітуда дорівнює 13 мкВ/м. Знайти амплітуду напруженості електричного поля в діелектрику 2. 

nèПозначимо E₁ = 13 мкВ/м, a = 47×p/180 рад. Тоді E_1t = E₁×cosa, E_1n = E₁×sina. З (4.7) знаходимо E_2t = E_1t, а з (4.9) - E_2n = (e₁/e₂)×E_1n. Амплітуда напруженості електричного поля в діелектрику 2 дорівнює  . Числові результати такі: E_1t = E_2t =  8,87 мкВ/м, E_1n = 9,51 мкВ/м, E_2n = 22,27 мкВ/м, E₂ = 23,97 мкВ/м. çn 

Приклад 4.3. На межу поділу діелектрика й ідеального провідника падає під кутом 43° до поверхні пласка паралельно поляризована поперечна хвиля (рис. 5.1) з

Рисунок 4.3 - Векторні діаграми до прикладу 4.3

амплітудою вектора електричного поля 14 мкВ/м. Знайти значення амплітуд тангенціальної і нормальноїскладової результуючого електричного поля на поверхні поділу.

nè На рис. 4.3 показаний кут 43° між вектором Пойнтинга та межею поділу. Вектор електричного поля падаючої хвилі і вектор Пойнтинга, як видно з рис. 5.1 для паралельно поляризованої хвилі, взаємоперпендикулярні. Тому кут нахилу вектора електричного поля до площини поділу складає 180° - 43° - 90° = 47°. Розкладемо вектор падаючої хвилі на нормальну і тангенційну складові. Щоб результуюча тангенціальна складова за (4.11) дорівнювала нулю, необхідно, щоб тангенціальна складова відбитої хвилі була спрямована в протилежний напрямок. При цьому однакові нормальні складові падаючої і відбитої хвилі спрямовані в одному напрямку. Далі усе очевидно:

Відповідь: E_1t = 0, E_1n = 20,48 мкВ/м. çn

Приклад 4.4. Вважаючи стінки П-хвилеводу ідеально провідними, записати граничні умови на межах поділу області  для складових електромагнітного поля: H_z, H_x, E_y, наданих у прямокутній системі координат за рис. 4.4 (x, y - поперечні координати, z - поздовжня вісь).     

nè Почнемо зі складової E_y. Вона паралельна до стінок b, t і перпендикулярна до стінок a, c. Тому 

Зазначимо, що перші три рівняння належать до граничних умов на поверхні ідеального провідника, з них перші два відповідають (4.11), а третє - (4.13). Четверте рівняння належить до граничних умов на межі поділу двох діелектриків.   

Компонента H_x паралельна до стінок a,c і перпендикулярна до стінок b, t . Тому на a,c збуджуватимуться струми, а на b, t значення H_x буде нульовим. 

Рисунок 4.4 - Розміри П-хвилеводу           

З урахуванням (4.12), (4.14) отримуємо систему рівнянь, де для наочності введено індекси "a", "c" , які показують стінку, а індекс "z" вказує на напрямок поздовжнього струму; останнє рівняння відповідає (4.8) - умові для нормальних складових на поверхні поділу двох діелектриків: 

   .

Поздовжня складова H_z на всіх межах поділу буде тангенційною і буде джерелом поперечних струмів на стінках, а на межі з областю ‚ дорівнюватиме поздовжній складовій в цій області. З урахуванням (4.14), (4.10)

 В цих записах індекси "x", "y" указують на напрямок струму - поперечний. çn

Приклад 4.5. На пласку мідну поверхню перпендикулярно падає з повітря пласка поперечна хвиля з амплітудою електричного поля 377 мВ/м. Знайти на частоті 7,5 ГГц значення амплітуди тангенціальної складової електричного поля на межі поділу.

 nè Це завдання на використання граничних умов Щукіна-Ритова-Леонтовича на поверхні реального провідника (4.15). Спочатку знайдемо характеристичний опір. З табл. 3.2 провідність міді s₂ = 5,81×10⁷ См/м.   

Для провідника (див. табл. 3.1)              

Тепер знайдемо тангенціальну складову магнітного поля. У падаючої хвилі амплітуда  H₀ = E₀ / 120p = 1 мА/м.  Хвиля падає перпендикулярно межі поділу, тому 

H_{t пад} = H₀ = 1 мА/м. Тангенціальна складова електричного поля E_1t » 0 (див. приклад 4.3 і рис. 4.3). З рис. 4.5                                                                                        H_t1 = 2H_{t пад} = 2 мА/м. Тоді рівняння (4.15) дає E_t1 = 31,93×2 = 63,85 мкВ/м.

Рисунок 4.5 - Орієнтація векторів                        Принципово, що значення E_t1 мале   

                                                                  і в нашому випадку E₀/E_t1 » 5900. çn

Індивідуальне завдання 4

Тут і далі N – номер варіанта, який дорівнює двом останнім цифрам

залікової книжки студента. У всіх випадках вважається пласка площина поділу двох середовищ.

№ 4.1. На межу поділу повітря і діелектрика з e₂ = (N+50)/(N+1) падає перпендикулярно поверхні пласка поперечна хвиля. На площині поділу напруженість електричного поля падаючої хвилі 

, мкВ/м,

а напруженість відбитої хвилі

, мкВ/м.

Знайти напруженість електричного поля на межі поділу в обох середовищах.

№ 4.2.На межі поділу двох діелектриків з відносними діелектричними проникностями  вектор електричного поля в діелектрику 1 орієнтований під кутом (60-N)° до поверхні поділу і на поверхні поділу його амплітуда дорівнює N мкВ/м. Знайти амплітуду напруженості електричного поля в діелектрику 2. 

№ 4.3. Виконати розрахунки амплітуди напруженості магнітного поля в діелектрику 2 за умовою попередньої задачі для випадку, коли вектор магнітного поля орієнтований під кутом (60-N)° до поверхні поділу і на поверхні поділу його амплітуда дорівнює 0,1N мкА /м.

№ 4.4. На межу поділу діелектрика й ідеального провідника падає під кутом (N+30)° до поверхні пласка паралельно поляризована поперечна хвиля з амплітудою вектора електричного поля N+1 мкВ/м. Знайти значення амплітуд тангенціальної і нормальної складової результуючого електричного поля на поверхні поділу.   

№ 4.5. На межі поділу діелектрика й ідеального провідника вектор магнітного поля падаючої пласкої нормально поляризованої хвилі з амплітудою 0,01×N мА/м орієнтований під кутом (60-N)° до поверхні. Знайти значення амплітуд тангенціальної і нормальної складової результуючого магнітного поля.

№ 4.6. Вважаючи стінки П-хвилеводу ідеально провідними, записати граничні умови на межах поділу області ‚ для непарних N і області ƒ для парних N для складових електромагнітного поля: H_z, H_x, E_y, наданих у прямокутній системі координат за рис. 4.4 (x, y - поперечні координати, z - поздовжня вісь).

№ 4.7. У прямокутному хвилеводі (див. розділ 7) поширюється електромагнітна хвиля, компоненти електромагнітного поля якої для декартової системи координат за рис. 7.1 надані в табл. 4.1. Вважаючи стінки хвилеводу ідеально провідними, записати граничні умови на внутрішніх поверхнях усіх стінок.

№ 4.8. Перпендикулярно металевій поверхні падає із повітря пласка поперечна хвиля з амплітудою електричного поля 377 мВ/м. Знайти на частоті (N+2)/2 ГГц значення тангенціальної складової електричного поля на межі поділу при заданому матеріалі металу: а) ідеальний провідник; б) срібло; в) тантал; г) ніхром. Скористатись даними табл. 3.2.

Результати розрахунків звести в таблицю з такими назвами стовпців: буква пункту, матеріал, значення s, значення E_1t, відношення амплітуди падаючої хвилі до тангенціальної складової електричного поля.      

Таблиця 4.1 - Складові векторів електромагнітного поля спрямованої хвилі 

                      в прямокутному хвилеводі (дані до № 4.7)

№ 4.9. Індивідуальне завдання підвищеної складності. З необмеженого немагнітного середовища без втрат, у якого e = (N+50)/(N+1), на частоті (N+2)/2 ГГц падають перпендикулярно алюмінієвій поверхні дві пласкі однорідні хвилі з початковими значеннями амплітуд електричного поля N мВ/м і 2N мВ/м. Початкові зсуви фаз паралельних електричних складових цих хвиль p /(N+2) рад і pN/(N+5) рад. Визначити втрати потужності P_В на площадці N x N м², а також втрати в децибелах L = 10 lg (P_пад/P_В), де P_пад - падаюча потужність в діелектрику, яка перетинає таку саму площадку.

Завдання до захисту індивідуального завдання 4

1. Пояснити хід розв'язання № 4.1. Вказати складові знайдених амплітуд.

2. Записати граничні умови, використані в № 4.2. Виділити складові, які неперервні і навпаки, зазнають стрибка.

3. Повторити питання 2 відносно № 4.3.

4. Обгрунтувати здвоєння нормальної складової електричного поля стоячої хвилі в завданні № 4.4. 

5. Обгрунтувати здвоєння тангенційної складової магнітного поля стоячої хвилі в завданні № 4.5. 

6. Пояснити причину виникнення на стінках хвилеводу поздовжніх і поперечних поверхневих струмів (№ 4.6). Вказати варіант, коли на відповідній стінці буде тільки поперечний струм.

7. Провести фізичний аналіз результатів розрахунків в № 4.7.

8. Записати і прокоментувати граничні умови, використані під час розв'язання задач з № 4.1-№ 4.3, № 4.4-№ 4.6, № 4.7.

9. Назвати фізичний зміст r_s, j_s і навести значення цих параметрів для випадків № 4.1 – № 4.3, № 4.4 – № 4.6.

10. Розказати порядок розв'язку № 4.8.

    11. Зобразити графіки залежності потужності втрат в № 4.7від: а) питомої провідності ; б) частоти. Прокоментувати хід кривих з фізичної точки зору.