Задачи по теории вероятности

11.Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна 7;

в) сумма выпавших очков равна 8, а разность - 4;

с) сумма выпавших очков равна 5, а произведение – 4.

12. Куб все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней:

а) одну;

в) две;

с) три.

13. Набирая номер телефона, абонент забыл последнее три цифры и, помня лишь , что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что были набраны нужные цифры.

14. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность того, что в мишень попал первый стрелок, равна 0,7, а второй стрелок - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

15. В данной местности среднее число дождливых дней в августе равно 10. Найти вероятность того, что в первые два дня августа не будет дождя.

16.На протяжении ряда лет наблюдения показали, что из 10000 детей, достигших 10-летнего возраста, до 40 лет доживают 9150 человек, а до 60 лет – 4680. Найдите вероятность дожить до 60 лет человеку 40-летнего возраста.

17.Аудиторская фирма размещает рекламу в журнале “Коммерсант”. По оценкам фирмы 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, являющихся потенциальными клиентами фирмы и могущих вспомнить ее рекламу?

18. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будут заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя их того, что допустимый уровень ошибок 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок?

19. В урне содержится 10 шаров, из которых 4 – белых, 6 – черных. Наудачу извлечены 4 шара. Найти вероятность того, что хотя бы один из шаров – белый?

20. Игральная кость бросается дважды. Определить вероятность того, что по крайней мере один раз появится 6 очков?

21. Из группы студентов, в которой 18 юношей и 12 девушек, в совет факультета избираются два человека. Какова вероятность того, что среди избранных окажется хотя бы один юноша?

22. В лотерее 2000 билетов; из них на 4 билета падают выигрыши по 250 рублей, на 10 билетов – по 100 рублей, на 20 билетов – по 50 рублей, на 50 билетов – 10 рублей. Остальные билеты без выигрыша. Какова вероятность выиграть не менее 50 рублей, если куплен один билет?

23. В автопробеге участвуют 3 автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,15; второй – с вероятностью 0,05, а третий – с вероятностью 0,1. Определите вероятность того, что к финишу прибудут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по крайней мере два автомобиля.

24. При страховании жизни для расчетов употребляют таблицы, которые дают среднее распределение по годам смертных случаев некоторой совокупности лиц одинакового возраста:

(из 1000 детей, достигших 10-летнего возраста, до 90 лет доживают 13).

Пусть в данный момент в некоторой семье мужу 30 лет, а жене – 20. Найти вероятность того, что: а) оба будут живы через 50 лет; б) хотя бы один из них будет жив через 50 лет.

25. Издательство разослало рекламные материалы на новый учебник по бухгалтерскому учету, которые получили 80% профессоров, читающих этот курс в различных высших учебных заведениях. Отобрали эту книгу и приняли ее для преподавания 30% профессоров, получивших рекламные материалы и 10% не получивших их.

 Чему равна вероятность того, что случайно выбранный профессор вуза принял этот учебник для преподавания?

Какова вероятность того, что профессор, принявший учебник для преподаваний, получил рекламные проспекты?

26. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях из первой группы выделено четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятности попадания для студента каждой группы в сборную университета соответственно равны 0,5; 0,4 и 0,3. Какова вероятность того, что наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную?

27. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях из первой группы выделено четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятности попадания для студента каждой группы в сборную университета соответственно равны 0,5; 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную (событие  произошло). К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

28. Из ящика, содержащего 9 пар обуви, из которых две пары мужской, две пары женской и пять пар детской, перекладывается наудачу 1 пара обуви в другой ящик, содержащий одну пару мужской обуви, четыре пары женской обуви и две пары детской обуви. (Предполагается, что каждая пара обуви находится в закрытой коробке, а все коробки одинаковые). Какова вероятность того, что случайно выбранная коробка из второго ящика после перекладывания содержит детскую пару обуви?

29. Из ящика, содержащего 9 пар обуви, из которых две пары мужской, две пары женской и пять пар детской, перекладывается наудачу 1 пара обуви в другой ящик, содержащий одну пару мужской обуви, четыре пары женской обуви и две пары детской обуви. (Предполагается, что каждая пара обуви находится в закрытой коробке, а все коробки одинаковые). В случайно выбранной коробке из второго ящика (после перекладывания) оказалась детская пара обуви. Какова вероятность того, что из I ящика во II была переложена пара с детской обувью?

30. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0.04 и 0.13 – в период экономического кризиса. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0.65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

31. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высока конкуренция, то важно чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0.92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью – 0.75. если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0.23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

32. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнил мужчина?

33. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом, вторым автоматом.

34. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались фамилии 2 женщин и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?

35. Билет на право разового участия в азартной игре стоит  долларов. Игрок выбрасывает две игральные кости и получает выигрыш 100 долларов, если выпали две шестерки, 10 долларов – при выпадении только одной шестерки и проигрывает, если ни одной шестерки не появилось. Какова должна быть стоимость  билета, чтобы игра принесла доход ее устроителям?

36. В результате многолетних наблюдений установлено, что из каждой сотни книг, выпускаемой типографией, 90 книг не имеют дефектов. Составить распределение числа книг, выпущенных без дефектов, из 8 взятых наудачу.

37. Проверкой установлено, что на складе с пшеницей в зерне находится 0,45% семян сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 2000 семян обнаружится 8 семян сорняков?

38. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются 3. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди купленных наудачу 4 билетов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

39. Число телефонных звонков, поступающих в справочное бюро от абонентов между полуднем и часом дня в любой день недели, есть случайная величина , заданная таблицей

	0	1	2	3	4	5
	0,3	0,2	0,2	0,1	0,1	0,1

a) убедитесь, что задан ряд распределения.

b) найдите функцию распределения случайной величины .

c) используя , определите вероятность того, что между 12 час. 34 мин. и 12 час. 35 мин. в справочное бюро поступит больше двух звонков

40. Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина , заданная следующим образом:

	0	1	2	3	4	5	6
	0,01	0,09	0,30	0,20	0,20	0,10	0,10

a) убедитесь, что задан ряд распределения.

b) найдите функцию распределения случайной величины .

c) используя , определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу.

d) определите вероятность того, что ею будет сделано не более 4 ошибок на страницу.

41. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 условных единиц. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета – 3 условные единицы. Убедитесь в справедливости свойства о математическом ожидании суммы случайных величин.

42. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того, как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная таблицей:

	0	10	20	30	40	50
	0,10	0,20	0,35	0,20	0,10	0,05

a) убедитесь, что задан ряд распределения.

b) найдите функцию распределения.

c) определите вероятность того, что более 20% людей откликнутся на рекламу.

43. Подбрасываются 2 игральные кости. Случайная величина - сумма выпавших очков на верхних гранях этих костей.

a) составьте закон распределения .

b) найдите функцию распределения.

c) чему равна наиболее вероятная сумма выпавших очков.

44. Число яхт, сходящих со стапелей маленькой верфи, - случайная величина, заданная следующим рядом распределения:

	2	3	4	5	6	7	8
	0,20	0,20	0,30	0,10	0,10	0,05	0,05

a) чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находится в пределах между 4 и 7 (включая оба обозначения)?

b) найдите функцию распределения.

c) используя функцию распределения, оцените вероятность того, что число яхт, построенных в течение месяца, будет не более 6.

d) вычислите вероятность того, что число яхт будет более 3, но не более 6.

45. Подбрасываются две игральные кости. Пусть  - произведение очков, выпадающих на их верхних гранях. Составьте закон распределения СВ .

46. В урне содержится два черных шара и один красный. Из нее дважды извлекается шар, и после извлечения обратно возвращается в урну. Число извлеченных черных шаров может быть: = 0; = 1; = 2. Постройте ряд и многоугольник распределения числа появления черных шаров.

47. При подбрасывании двух игральных костей игрок  выигрывает 2 рубля, если сумма открывшихся очков равна 2 или 3, и выигрывает 4 рубля, если эта сумма равна 4. Во всех остальных случаях он проигрывает 1 рубль. Найдите математическое ожидание выигрыша . Выгодна ли для  эта игра?

48. Два строительных контракта случайным образом распределяются среди трех фирм I, II, III. Любая фирма может получить или один, или оба контракта. С каждого полученного контракта прибыль фирмы составит 90000 условных денежных единиц.

a) найдите ожидаемую прибыль фирмы I.

b) если фирмы I и II принадлежат одному владельцу, то какова ожидаемая общая прибыль владельца?

49. Средний годовой возврат (процент доходности) некоторой акции составляет 8.3%. Дисперсия этого возврата равна 2,3. Для другого типа акций средняя доходность составляет 8,4% в год, а дисперсия равна 6,4. Покупка какой акции более рискованная? Почему?

50. Доход некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 условных денежных единиц и задается рядом распределения:

	-2000	-1000	0	1000	2000	3000
	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

Замечание: -2000 и -1000 означают убыток.

a) какой наиболее вероятный денежный доход рискованного бизнеса?

b) является ли этот риск вероятностно успешным? Объясните.

c) чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса?

d) какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.

51. Представитель фирмы, торгующей оборудованием для тяжелой промышленности, ежедневно встречается с 1 или 2 покупателями с вероятностями 1/3 и 2/3. В результате каждой встречи продавец может реализовать оборудование на 50000 условных денежных единиц с вероятностью 0,9. Составьте распределение ежедневных продаж. Найдите математическое ожидание и дисперсию стоимости продаж.

52. Приблизительно 10% бутылок бракуются на линии разлива пива из-за серьезных трещин в стекле. Если 2 бутылки отобраны случайно, найдите среднюю и дисперсию числа бутылок, имеющих серьезные дефекты.

53.Согласно статистическим данным вероятность того, что 25-летний человек проживет еще один год, равна 0,998. Страховая компания предлагает 25-летнему человеку застраховаться на сумму 1000000 руб. Страховой взнос равен 3000 руб. Какую прибыль ожидает получить компания при страховании одного 25-летнего человека?

54. В налоговую инспекцию поступила информация, что в фирме “А” 20% списочного состава – “мертвые души”. Проверяющий инспектор отбирает случайным образом 4 наряда на выполнение работы и ищет работников, на которых они были выписаны. Какова вероятность, что среди 4-х случайно выбранных нарядов не будет ни одного фиктивного? Будет хотя бы один фиктивный?

55. Число опечаток, которые делает некоторая машинистка, подчиняется закону Пуассона со средним значением 4 опечатки на страницу. Если машинистка делает более чем 4 опечатки, то она обязана перепечатать всю страницу. Чему равна вероятность того, что определенная страница будет перепечатана?

56. 3000 пакетов денежных знаков отправили в банк. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0002. Какова вероятность того, что при проверке будет обнаружено 5 ошибочно укомплектованных пакетов?

57. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 1000 человек 20-летнего возраста. Страховой взнос каждого составляет 12 у.е. В случае смерти застрахованного выплачивается наследникам 1000 у.е. Какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке?

58. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 1000 человек 20-летнего возраста, Страховой взнос каждого составляет 15 у.е. В случае смерти застрахованного выплачивается наследникам 1200 у.е. Какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке?

59. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 15000 человек 20-летнего возраста. Страховой взнос каждого составляет 20 у.е. Какую максимальную выплату наследникам следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховая компания окажется в убытке была не больше 0,0228?

60. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 10000 человек 20-летнего возраста. В случае смерти застрахованного страховая компания выплачивает наследникам 500 у.е. Какой  минимальный страховой взнос надо установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховая компания окажется в убытке была не больше 0,1?

61. Трое студентов пришли сдавать коллоквиум по теории вероятностей. Вероятность сдачи коллоквиума для каждого студента одинакова и равна 0,6. Составьте закон распределения числа студентов, сдавших коллоквиум.

62. Известно, что из числа телезрителей, которые смотрят определенную программу, 70% смотрят и рекламную передачу. Группы, состоящие из троих наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламной передачи. Подсчитайте вероятности числа лиц и наивероятнейшее число лиц в группе, которые смотрят рекламную передачу.

63. У дежурной гостиницы в кармане 8 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, она пробует открыть дверь ближайшей комнаты. Сколько раз (в среднем) ей придется открывать дверь в эту комнату, если

а) проверенный ключ кладется обратно в карман;

в) проверенный ключ не кладется обратно в карман?

64. В корзине 3 белых и 4 черных шара. Наугад достают два шара и выбрасывают их, после чего в корзину добавляют 4 черных шара. Затем наугад достают из корзины шар. Он оказывается белым. Найти вероятность того, что оба выброшенных шара были черными.

65.Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с математическим ожиданием равным 0 и среднеквадратическим отклонением равным 20. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4.

66. В каждой из 1000 колод 36 карт. Из каждой колоды достают наугад две карты. Чему равна вероятность того, что число пар хотя бы с одним тузом заключено между 100 и 200.

67. Стрелки стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попасть в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего- 0, 8. Стрелки делали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы один раз.

68. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга брошены три точки. Найти вероятность того, что все три точки попадут внутрь треугольника.

69. Найти вероятность того, что 2 точки, брошенные в круг радиуса  R, попадут внутрь

а) вписанного в круг правильного треугольника;

в) вписанного в круг квадрата;  

с) вписанного в круг правильного шестиугольника.

70. На склад поступает продукция трех фабрик, причем изделия первой фабрики составляют 30%, второй 32%, третьей 38%. В продукции первой фабрики 60% изделий высшего сорта, второй 25%, третьей, 50%. Найти вероятность того, что среди 300 наугад взятых со склада изделий число изделий высшего сорта заключено между 130 и 170.

71.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать закон распределения СВ  – выпадения четного числа очков на двух игральных костях.

72.После ответа студента на вопросы экзаменационного билета преподаватель задает студены дополнительные вопросы до тех пор, пока студент обнаруживает незнание вопроса. Найти закон распределения СВ Х – числа заданных дополнительных вопросов, если вероятность того, что студент ответит на любой дополнительный вопрос равна 0,9.

73. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется. Найти закон распределения СВ  – числа патронов, выданных стрелку.

75. Автобусы идут строго о расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир подошедший к остановке, будет ждать менее трех минут.

77. СВ  распределена нормально, причем = 0 – математическое ожидание и = 1 – среднее квадратическое отклонение. Найти , при котором  будет наибольшим.

78.Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 часов. Клиент, прождав до 14 часов, отлучился на один час. Найти вероятность того, что мастер (его приход обязателен) не застанет его дома.

79. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание телевизионного рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с  = 0,25 суток. Найти вероятность того, что зрители способны вспомнить рекламу через неделю.

80. Авиакомпания знает, что 5% людей, делающих предварительный заказ билетов на определенный рейс, позже отказываются от них. Авиакомпания приняла заказ на 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест. Найти вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь. 

Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?