Вопросы к экзамену по Элементарной математике и ПРЗ

1. Равенства. Тождества. Уравнение, корни уравнения, равносильность уравнений. Уравнения – следствия. Теоремы о равносильности уравнений. Целые рациональные уравнения, методы их решения (решение целых рациональных уравнений по старшему коэффициенту и свободному члену, методом разложения на множители, решение уравнений вида , симметрических, однородных уравнений).

2. Неравенство с переменной. Определение решения неравенства. Равносильность неравенств на множестве. Рациональные неравенства. Метод интервалов при решении рациональных неравенств.

3. Модуль числа. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

4. Иррациональные уравнения. Основные способы их решения.

5. Иррациональные неравенства. Основные методы их решения.

6. Системы и совокупности уравнений. Область определения систем и совокупностей. Определения решения системы и совокупности уравнений. Равносильность систем и совокупностей уравнений. Основные методы решения систем рациональных уравнений.

7. Системы и совокупности неравенств. Область определения систем и совокупностей. Определения решения системы и совокупности неравенств. Равносильность систем и совокупностей неравенств. Основные методы решения систем рациональных неравенств.

8. Показательные уравнения и неравенства. Основные методы решения показательных уравнений и неравенств.

9. Логарифмические уравнения и неравенства. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

10. Тригонометрическая окружность. Определение синуса угла. Функция , ее свойства и график.

11. Тригонометрическая окружность. Определение косинуса угла. Функция , ее свойства и график.

12. Тригонометрическая окружность. Определение тангенса угла. Функция , ее свойства и график. Определение котангенса угла. Функция , ее свойства и график.

13. Обратные тригонометрические функции. Функция , ее свойства и график.

14. Обратные тригонометрические функции. Функция , ее свойства и график.

15. Обратные тригонометрические функции. Функция , ее свойства и график.

16. Обратные тригонометрические функции. Функция , ее свойства и график.

17. Решение простейших тригонометрических уравнений. Особенности решения тригонометрических уравнений путем разложения на множители.

18. Тригонометрические уравнения, которые сводятся к квадратным. Однородные тригонометрические уравнения.

19. Решение уравнений вида  с помощью введения вспомогательного аргумента и методом универсальной подстановки.

20. Решение простейших тригонометрических неравенств, систем и совокупностей простейших тригонометрических неравенств.

21. График функции. Построение графиков функций элементарными средствами (геометрические преобразования графиков функций). Построение графиков функций и уравнений, выражение которых содержит знак модуля, арифметические действия с графиками, построение графиков сложных функций.

22. Использование свойств функций при решении уравнений, неравенств и их систем. Теоретическое обоснование использования ограниченности, четности, нечетности функций,  монотонности функций.

23. Решение логарифмических и показательных неравенств методом рационализации (теоремы с доказательством).

24. Понятие задачи с параметром. Решение уравнений первой степени и их систем с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами

25. Понятие задачи с параметром. Решение линейных неравенств с параметрами. Квадратный трехчлен в задачах с параметрами.

Планиметрия

1.  Методы решения планиметрических задач.

2. Свойства хорд, секущих и касательных окружности. Измерение углов, связанных с окружностью.

3. Инварианты. Степень точки относительно окружности.

4. Треугольники, вписанные в окружность, описанные около окружности. Вневписанные окружности.

5. Замечательные точки треугольника. Существование центра тяжести и его основное свойство.

6. Замечательные точки треугольника. Теорема о существовании ортоцентра остроугольного треугольника, следствия из нее.

7. Замечательные точки треугольника. Теорема о существовании ортоцентра тупоугольного треугольника, следствия из нее.

8. Теорема о прямой Эйлера.

9. Теорема об окружности Эйлера.

10. Теорема о центре окружности Эйлера.

11. Понятие многоугольника. Теоремы об углах выпуклых многоугольников, о числе диагоналей п-угольника.

12. Классификация четырехугольников. Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата, трапеции.

13. Вписанные четырехугольники и многоугольники.

14. Описанные четырехугольники и многоугольники.

15. Правильные многоугольники.

Стереометрия

1. Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур.

2. Свойства параллельного проектирования. Изображение пространственных фигур.

3. Построение сечений многогранников. Аксиоматические методы.

4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми.

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

6. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Двугранный угол. Угол между плоскостями.

7. Понятие расстояния в пространстве, расстояние  от точки до прямой, от точки до плоскости, между параллельными прямыми, между прямой и параллельной ей плоскостью, между параллельными плоскостями. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

8. Основные способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми в курсе стереометрии.

9. Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространстве.

10. Метод ортогонального проектирования вычисления угла и расстояния между скрещивающимися прямыми.