Методические указания к выполнению расчётно–графической работы.

Задача 1.1.

Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1. на обеих монетах появится «герб»,

2. хотя бы на одной монете появится «герб»,

3. ни на одной монете не появится «герб»,

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

4. на всех монетах появится «герб»,

5. хотя бы на одной монете появится «герб»,

6. только на двух монетах появится «герб»,

7. только на одной монете появится «герб»,

8. ни на одной монете не появится «герб»,

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

9. на всех монетах появится «герб»,

10. хотя бы на одной монете появится «герб»,

11. только на одной монете появится «герб»,

12. только на двух монетах появится «герб»,

13. только на трех монетах появится «герб»,

14. ни на одной монете не появится «герб»,

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:

15. четное число очков;

16. «1» или «6».

Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся очки:

17. только четные;

18. одно четное, другое нечетное;

19. сумма которых четна;

20. сумма которых нечетна;

21. сумма которых больше, чем их произведение;

22. сумма которых меньше шести;

23. сумма которых больше восьми.

Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:

24. только четные;

25. одно четное, остальные нечетные;

26. сумма которых четна;

27. сумма которых нечетна;

28. которые все одинаковы;

29. которые все различны;

30. сумма которых делится на четыре.

Пример 1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся число очков, сумма которых делится на 5.

Решение. Событие А – сумма очков делится на 5. Вероятность события А вычисляем по формуле . На каждой кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей, таким образом, . Количество m элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно 43. Следующие комбинации очков благоприятствуют событию А:

113 122 131 136 145 154 163 212 221 226 235 244 253 262 311

316 325 334 343 352 361 366 415 424 433 442 451 456 465 514

523 532 541 546 555 564 613 622 631 636 645 654 663

Находим:  

 Задача 1.2.

Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Слова по вариантам:                                                         

1. ПРОГРАММА                                 16. ПАМЯТЬ

2. ПРОГРАММИСТ                             17. ПЕРФОЛЕНТА

3. ПРОГРАММИРОВАНИЕ              18. ПЕРФОКАРТА

4. СТАТИСТИК                                    19. ФЕРРИТ

5. СТАТИСТИКА                                 20. МАГНИТ

6. СОБЫТИЕ                                        21. ГИСТЕРЕЗИС

7. СЛУЧАЙНОСТЬ                              22. СЕРДЕЧНИК

8. ВЕРОЯТНОСТЬ                                23. ПОЛУПРОВОДНИК

9. АЛГОРИТМ                                      24. ТРАНЗИСТОР

10. ДИФФЕРЕЦИАЛ                            25. ИНТЕГРАЛ

11. ПОДПРОГРАММА                         26. КАЛЬКУЛЯТОР

12. ПРОЦЕДУРА                                   27. ВЫЧИСЛИТЕЛЬ

13. ПРИСВАИВАНИЕ                             28. ОПЕРАЦИЯ

14. УСЛОВИЕ                                        29. АРИФМЕТИКА

15. ПРОЦЕССОР                                           30. УСТРОЙСТВО

Пример 2. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке слова МАТЕМАТИКА.

Решение. Элементарные события являются перестановками из 10 букв, значит n=10! . Некоторые  буквы в слове повторяются (М – 2раза, А – 3раза, Т- 2раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменится, их число равно m=2! 3! 2!=24. Находим .

Задача 1.3.

В урне содержится К черных шаров и L белых. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что в них имеется:

а) N белых шаров;

б) меньше, чем N, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, L, М, и N  по вариантам приведены в табл.1.

                                                                                                            Таблица1

Пример 3.В урне содержится 5 черных шаров и 6 белых. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется 2 белых шара (событие А).

Решение.Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 4 шара из 11. Их число равно:  Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию А. Среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных; 2 белых можно взять  способами, а 2 черных  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно: .

Задача 1.4.

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени t безотказно соответственно с вероятностями . Найти вероятность того, что за время t выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

Пример 4. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени t безотказно соответственно с вероятностями . Найти вероятность того, что за время t выйдет из строя хотя бы один элемент (событие А).

Решение.Вероятность события А находим через вероятность противоположного события:

Задача 1.5.

В первой урне К белых и L черных шаров, а во второй - М белых и N черных. Из первой урны вынимают случайным образом Р шаров, а из второй – Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: 1) все шары одного цвета;

2) только три белых шара;

3) хотя бы один белый шар.

Значения параметров K, L, M, N, P и Q по вариантам приведены в табл. 2.

                                                                                           Таблица 2

Пример 5. В первой урне 6 белых и 4 черных шаров, а во второй - 5 белых и 7черных. Из первой урны вынимают случайным образом 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

1) все шары одного цвета;

2)только три белых шара;

3)хотя бы один белый шар.

Решение.   1) все вынутые шары одного цвета, т.е. они либо все белые, либо все черные. Введем обозначения событий и найдем вероятности этих событий

 2) среди вынутых шаров только 3 белых

3) среди вынутых шаров хотя бы один белый шар (событие Е).

Вероятность события Е находим через вероятность противоположного события:

Задача 1.6.

В урне содержится К черных и белых шаров, к ним добавляют L белых шаров. После этого из урны вынимают М шаров. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, полагая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможные.

Значения параметров К, L и М по вариантам приведены в табл. 3.

                                                                                       Таблица3

Пример 6. В урне содержится 4черных и белых шаров, к ним добавляют 2 белых шара. После этого из урны вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые (событие А), полагая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможные.

Решение.Вероятность события А зависит от первоначального состава шаров в урне. Возможны следующие гипотезы:

- в урне было 4 белых шара, стало 6 белых;

- в урне было 3 белых и 1 черный шар, стало 5 белых и 1 черный;

- в урне было 2 белых и 2 черных шара, стало 4 белых и 2 черных;

 -в урне был 1 белый и 3 черных шара, стало 3 белых и 3 черных;

- в урне было 4 черных шара, стало 2 белых и 4 черных.

Все гипотезы равновероятны, поэтому

Найдем условные вероятности:

По формуле полной вероятности   находим

Задача 1.7.

В первой урне К белых и L черных шаров, а во второй - M белых и N черных. Из первой урны случайным образом вынимают Р шаров и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают R шаров. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Значения параметров K, L, M, N, P, R  по вариантам приведены в табл. 4.

                                                                                                                  Таблица 4

Задача 1.8.

 В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁, М₂, М₃ штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно . Рабочий берёт случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен первым заводом – изготовителем.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

                                 Задание № 2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для вашего варианта.

2. Определить исходные данные и результаты.

3. Определить подходящие формулы вычисления и выполнить вычисления при помощи калькулятора и таблиц.

4. Построить требуемые графики.

Задача 2.1.

В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно G раз;

б) больше чем L раз;

в) меньше чем М и больше чем F раз;

г) меньше чем R раз.

Значения параметров n, p, G, L, M, F и R вычислить по следующим формулам:

Пример 7. В каждом из500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р=0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно220 раз;

б) больше чем 190 раз;

в) меньше чем 240и больше чем 180раз;

г) меньше чем 235раз.

Решение.а) используем локальную теорему Лапласа:

Значения функции  находим из таблицы приложения 5, при этом нужно учитывать, что .

Задано: n=500, p=0,4, q=0,6, k=220. Находим:

б)используем интегральную теорему Лапласа:

Значения функции  находим из таблицы приложения 4, при этом нужно учитывать, что  и =0,5  для всех  х >5.                                

Задано:   Находим:

в) и г) решаются аналогично:

Задача 2.2.

На телефонной станции неправильное соединения происходит с вероятностью р. Найти вероятность того, что из n соединений произойдет:

а) точно G неправильных соединений;

б) меньше, чем L неправильных соединений;

в) больше, чем М неправильных соединений.

Значение параметров р, n, G, L и M вычислить по следующим формулам:

Пример 8. На телефонной станции неправильное соединения происходит с вероятностью р=0,005. Найти вероятность того, что из 200 соединений произойдет:

а) точно 1 неправильное соединение;

б) меньше, чем 3 неправильных соединений;

в) больше, чем 2 неправильных соединений.

Решение.Так как число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала, то используем формулу Пуассона:

Задано: n=200, p=0,005, =1.

Задача 2.3.

В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что относительная частота  этого события отличается по абсолютной величине от вероятности р не больше, чем на ε > 0.

Значения параметров n, p, ε вычислить по следующим формулам

.

Указание: воспользоваться формулой .                                                                    

Задача 2.4.

Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Построить графики функций f(х) и F(x). Вычислить математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X.  Вычислить математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Решение.Функцию F(x) находим по формуле: . Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Х определяются соответственно равенствами:      .

 Находим:

Задача 2.5.

Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти функцию плотности вероятности f(х) случайной величины Х и построить графики функций f(х) и F(х). Вычислить для случайной величины Х её математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Указание: найти .

Задача 2.6.

Случайная величина Х распределена нормально. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале (а, b);

б) меньшее К;

в) большее L.

Значения параметров m, σ , a, b, K, L вычислить по формулам:

Указание . Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), находим по формуле

(приложение 4).

          Контрольная домашняя работа. Теория вероятностей.

Вариант 1

1. По движущейся цели производится три выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна соответственно 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получить: а) три промаха; б) хотя бы одно попадание.

2. Торпедный катер атакует корабль противника, выпуская по нему одну торпеду. Вероятность попадания торпеды в носовую часть корабля равна 0,2, в среднюю - 0,3, в кормовую – 0,15. Вероятность потопления корабля при попадании в носовую часть равна  0,45,  в среднюю - 0,9, в кормовую – 0,5. Определить вероятность потопления корабля противника.

3. Производится пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее трех раз.

4. В урне 4 шара с номерами 1,2,3,4. Вынули 2 шара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – суммы номеров шаров.

5. Случайная величина Х подчинена равномерному закону распределения на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 2

1. На огневом рубеже находятся 4 стрелка. Вероятность попадания в «десятку» при одном выстреле каждым из них соответственно равна 0,2, 0,5, 0,4, 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле: а) каждый из четырех попадет в «десятку»; б) хотя бы один в «десятку».

2. По цели производится два одиночных выстрела. При одном попадании цель будет поражена с вероятностью 0,5, при двух - с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что в результате двух выстрелов цель будет поражена.

3. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002.

Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более трех изделий.

4. В партии из 20 приборов имеется 6 неточных. Наудачу отобрали 4 прибора. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа точных приборов среди отобранных.

5. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале ( 2; 8).

Вариант 3

1. При увеличении напряжения в 2 раза может произойти разрыв цепи вследствие выхода из строя любого из трех элементов с вероятностями, равными соответственно 0,3, 0,4, 0,6. Найти вероятность того, что при увеличении напряжения в 2 раза не будет разрыва цепи.

2. Элементы, изготовленные на двух предприятиях, поступают на склад готовой продукции. Три четверти от общего объема продукции, находящейся на складе, поставило 1-е предприятие и одну четверть – 2-е. Брак на 1-ом предприятии составляет 2% , на 2-ом – 4%. Найти вероятность того, что полученный со склада элемент окажется небракованным.

3. Вероятность отказа любой из 10-ти независимо работающих систем агрегата за рассматриваемый период равна 0,2. Найти вероятность того, что за данный период откажут не более 3-х систем агрегата.

4. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень.

5. Случайная величина Х подчинена равномерному закону распределения с математическим ожиданием m=3 и средним квадратическим отклонением =0,3. Найти плотность распределения случайной величины Х.

Вариант 4

1. По складу боеприпасов производится 3 выстрела. Вероятности попадания в склад при 1-ом, 2-ом и 3-ем выстрелах равны соответственно 0,2. 0,3 и 0,4. Для взрыва склада достаточно одного попадания. Найти вероятность того, что склад будет взорван.

2. Пиропатроны поставляются тремя заводами: 1-ый завод поставляет 50%, 2-ой – 30% , 3-ий – 20% всей продукции. Вероятность изготовления исправного пиропатрона заводами равны соответственно: 0,4, 0,8, 0,9. Найти вероятность того, что выбранный наугад пиропатрон исправен.

3. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Найти вероятность того, что из 7-ми посеянных семян взойдет 5.

4. Из 10-ти часов, поступивших в ремонт, в общей чистке нуждаются 6 штук. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке, рассматривает их поочередно и, найдя их, прекращает просмотр. Найти математическое ожидание случайной величины Х – количество просмотренных часов.

5. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (3; 5).

Вариант 5

1. Два штурмовика одновременно атакуют ракетную пусковую установку. Вероятность попадания в пусковую установку после атаки 1-го штурмовика равна 0,4, 2-го – 0,3. Найти вероятность: а) одного попадания, б) двух попаданий, в) хотя бы оного попадания в пусковую установку.

2. В трех урнах, одинаковых на вид содержатся шары: в 1-ой урне содержится 3 белых и 1 черный шар, во 2-ой – 6 белых и 4 черных, в 3-ей – 9 белых и 1 черный. Из урны, выбранной наугад, вынимают шар, который оказывается белым. Найти вероятность того, что шар вынут из 2-ой урны.

3. Вероятность появления события А в любом из 10-ти испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 2-х раз.

4. Охотник, имеющий 5 патронов, стреляет в цель до первого попадания ( или пока не израсходует все патроны). Построить ряд распределения  случайной величины Х –числа израсходованных патронов. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

5. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием m=10. вероятность попадания Х в интервал (10; 20) равна 0,3. Найти вероятность попадания Х в интервал (0; 10).

Вариант 6

1. Производится три выстрела по движущейся мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,6, при втором – 0,75, при третьем – 0,8. Найти вероятность: а) трех попаданий, б) хотя бы одного попадания в мишень.

2. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 легкоатлета. Вероятность пройти тестирование с положительным результатом для лыжника равна 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для легкоатлета – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный случайным образом, пройдет тестирование с положительным результатом.

3. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента, равно 8. Определить вероятность того, что для отдельно взятого абонента число ошибочных соединений будет не более двух.

4. Производятся испытания 5-ти изделий на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого изделия равна 0,8. Случайная величина Х – число изделий, выдержавших испытание. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

5. Случайная величина Х подчинена равномерному закону распределения на интервале (2; 5). Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

 Вариант 7

1. На трех этапах подготовки изделия к функционированию вероятности появления задержек соответственно равны 0,1, 0,06 и 0,05. Найти вероятность подготовки изделия к работе без задержек.

2. Электрические приборы поставляются в магазин двумя заводами. Первый завод поставляет 60%, второй – 40% приборов. Вероятности изготовления заводами прибора, отвечающего установленным требованиям, соответственно равны: 0,95, 0,8. Найти вероятность того, что купленный стандартный прибор изготовлен первым заводом.

3. Прибор состоит из пяти независимо работающих блоков, вероятность отказа каждого из которых равна 0,3. Найти вероятность того, что число отказавших блоков не более двух.

4. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка 0,8. За каждое попадание стрелку зачисляется 5 очков. Составить таблицу распределения случайной величины Х – числа выбитых очков при 3 выстрелах. Построить график функции распределения .

5. Случайная величина Т – время работы прибора – подчиняется экспоненциальному распределению. Среднее время работы прибора 300 ч. Найти вероятность того, что время работы прибора будет меньше 1000ч.

Вариант 8

1. В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включена хотя бы одна камера; б) включены все три камеры.

2. В зоне стрельбы находятся четыре крупных цели, пять средних и одиннадцать мелких. Вероятность попадания в цель каждого типа при стрельбе соответственно равны: 0,8, 0,2, 0,1. Определить вероятность попадания в цель при одном выстреле.

3. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,016. Стрелок должен произвести по цели 500 выстрелов. Найти вероятность того, что он сделает не более трех промахов.

4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.

5. Время работы радиотехнического устройства описывается функцией показательного распределения . Найти вероятность того, что время работы устройства превысит значение его математического ожидания.

Вариант 9

1. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

2. Рассматривается пять одинаковых урн. Две урны относятся к первому составу и содержат по 3 белых и 2 черных шара. Две другие урны относятся ко второму составу и содержат по 4 белых и 6 черных шаров, одна урна принадлежит к третьему составу и содержит 8 белых и 2 черных шара. Из одной урны, наугад выбранной урны, вынимают шар, который оказывается белым. Найти вероятность того, что шар взят из урны: а) первого состава; б) второго состава.

3. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытаний.

4. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,7. Составить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень стрелком при 4 выстрелах.

5. Высота подрыва заряда – случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 1200м, и среднеквадратическим отклонением, равным 100м. Найти вероятность подрыва заряда на высоте, превышающей 1000м.

Вариант 10

1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

2. В учебной группе 25 студентов, из них 7 учатся отлично, 10 – хорошо, 6 - удовлетворительно и 2 – неудовлетворительно. Вероятность того, что экзамен не сдаст отличник, равна 0,05, студент, учащийся на хорошо, - 0,15, студент, учащийся на удовлетворительно, - 0,3, студент, учащийся на неудовлетворительно – 0,8. Найти вероятность того, что вызванный случайным образом из состава группы студент не сдаст экзамен.

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равно 0,8. Определить вероятность получения ровно трех попаданий при трех выстрелах.

4. Устройство состоит из 3 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить ряд распределения и найти функцию распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

5. Процент брака при изготовлении детали имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 1,5%, и средним квадратическим отклонением, равным 0,25%. Найти вероятность того, что процент брака проверяемой партии деталей лежит в пределах [1,5;2]%.

Вариант 11

1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течении часа первый станок не требует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,7, четвертый – 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа: а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) хотя бы один потребует внимания рабочего.

2. На складе находится четыре монитора. Вероятность того, что монитор выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый случайным образом монитор выдержит гарантийный срок службы.

3. Найти вероятность того, что при 7 выстрелах будет от трех до шести попаданий включительно, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7.

4. Монета бросается 3 раза. Случайная величина Х – число появлений герба. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

5. Колебания скорости летательного аппарата подчинены нормальному закону распределения. Среднее квадратическое отклонение скорости от своего расчетного значения равно 1,5 м/с. При превышении истинного значения скорости над расчетным более чем на 2,5 м/с, двигатель летательного аппарата выключается. Найти вероятность выключения двигателя.

Вариант 12

1. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут одного цвета.

2. По цели производится два независимых одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6. При одном попадании цель выходит из строя с вероятностью 0,7, при двух – с вероятностью 1,0. Найти вероятность того, что в результате двух выстрелов цель будет выведена из строя.

3. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7, общее число выстрелов равно 10. Найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее чем тремя выстрелами.

4. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Найти закон распределения числа нестандартных деталей.

5. Скорость летательного аппарата V измеряется при помощи некоторого прибора, ошибка измерения которого подчинена нормальному закону. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение этой ошибки, чтобы в 95% всех измерений ошибка в скорости не превышала  м/c.

Вариант 13

1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

2. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 - 0,9. Сборщик случайным образом извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

3. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит не более трех искажений.

4. Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Найти закон распределения числа попаданий, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

5. Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

Вариант 14

1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверяемых изделий: а) только одно стандартно; б) хотя бы одно стандартно.

2. Для проведения стрельбы прибыло 10 стрелков, из которых четверо всегда выполняли упражнения, пятеро выполняли упражнение в 80% случаев и один выполнял упражнение в половине случаев. Найти вероятность того, что вызванный случайным образом стрелок выполнит упражнение.

3. Из каждого десятка деталей 9 – стандартные. Найти вероятность того, что из 50-ти взятых со склада деталей число стандартных окажется между 42 и 48.

4. Баскетболист делает 4 броска мячом в корзину. Вероятность попадания мяча при одном броске равна 0,4. Найти математическое ожидание числа попаданий мячом к корзину.

5. Температура в помещениях здания распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что значение температуры в помещении не менее  и не более .

Вариант 15

1. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

2. Трое спортсменов одновременно выстрелили по движущейся мишени, в результате чего мишень была поражена одной пулей. Определить вероятность того, что мишень была поражена первым, вторым, третьим спортсменом, если вероятности попаданий для них равны соответственно 0,1; 0,4; 0,8.

3. Вероятность появления события в каждом из 100 испытаний равна 0,1. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 14 раз; б) не более 14 раз.

4. Производится стрельба по мишени до первого попадания. Вероятность попадания равна 0,8. Имеется 4 снаряда. Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов.

5. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины равны соответственно 6 и 2.  Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале [4;8].

Вариант 16

1. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающую заданную точность, равна 0,4. Произведены 3 независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

2. В каждый момент времени работает только один из 3-х блоков агрегата. Блок №1 работает 40% времени, блок №2 – 35%, блок №3 – 25%. Вероятности безотказной работы блоков за время  Т равны соответственно 0,95 , 0,92 , 0,9. Агрегат останавливается при отказе блока, находящегося под нагрузкой. Найти вероятность того, что агрегат остановится в случайно выбранный момент времени.

3. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

4. Производится 5 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3. Найти а) ряд распределения случайной величины Х –числа попаданий, б) вероятность того, что число попаданий меньше 3-х.

5. Процент брака продукции распределен по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что в очередной партии продукции брак составит менее 1%.

Вариант 17

1. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что взятое наудачу изделие высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из 3-х проверенных изделий только 2 будут изделиями высшего сорта .

2. Детали изготавливаются на 3-х станках-автоматах, производительности которых относятся как 2:3:4. Первый автомат дает 1,5% брака, второй – 0,8% , третий – 0,5%. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке-автомате.

3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что из 100 выстрелов число попаданий будет не менее 80 и не более 95.

4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны 5 раз подряд извлекается шар. Вынутый шар возвращается в урну, и шары перемешиваются. Случайная величина Х – число извлеченных белых шаров. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

5. Случайная величина распределена нормально, . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет не меньше единицы.

Вариант 18

1. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула находится в 1-ом, 2-ом, 3-ем справочнике, соответственно равна 0,6 , 0,7, 0,8. Найти вероятность того, что формула находится: а) только в одном справочнике, б) только в двух справочниках, в) во всех справочниках.

2. По цели производится 2 выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,7. При одном попадании цель поражается с вероятностью 0,5, при двух -  с вероятностью 0,9. Определить вероятность поражения цели.

3. 100 станков работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы каждого из них в течении смены равна 0,8. Найти вероятность того, что в течении смены безотказно проработают 95 станков.

4. Производится 5 независимых пусков ракет. Вероятность попадания в цель при каждом пуске равна 0,6. Найти: а) ряд распределения числа попаданий; б) вероятность того, что число попаданий меньше 3-х.

5. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами:  Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (5; 11).

Вариант 19

1. Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в 1-ом, 2-ом, 3-ем, 4-ом ящиках, равна соответственно 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

2. Детали, предназначенные для контроля, находятся в 10-ти одинаковых ящиках. В девяти ящиках содержится по 2 бракованных и по 2 стандартных деталей, а в одном – 1 бракованная и 4 стандартных. Из случайно выбранного ящика извлечена деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь извлечена из ящика, содержащего 4 стандартные детали.

3. Найти вероятность того, что появление герба в 500 испытаниях будет не менее 200 и не более 300 раз.

4. Стрелок производит 3 независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Найти математическое ожидание числа попаданий в мишень.

5. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (0; 2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 20 .

1. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0.7, для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что только два стрелка попадут в мишень.

2. На завод поступила партия деталей. Вероятность того, что деталь бракованная равна 0,1. Взяли 5 деталей. Найти вероятность того, что хотя бы одна деталь из пяти бракованная.

3. Сигнал может быть передан по одному из четырех каналов связи с равной вероятностью. Вероятность того, что сигнал будет передан без искажения, равна 0,9; 0,85; 0,89 и 0,95 для каждого из каналов соответственно. Сигнал был передан без искажения. Найти вероятность того, что он был передан по второму каналу.

4. Баскетболист бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0,3. Случайная величина Х – число попаданий при трех бросках. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

5. Случайная величина Х распределена нормально, . Вероятность попадания Х в интервал (10; 30) равна 0,3. Найти вероятность попадания Х в интервал (0; 10).

Вариант 21

1. Орудие три раза стреляет по цели. Вероятность попадания первый раз равна 0,4; во второй – 0,6; в третий – 0,9. Найти вероятность того, что все три раза цель поражена.

2. Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что стрелок попал ровно 5 раз.

3. В больницу поступают 30% больных с заболеванием  К, 40% больных  с заболеванием А и 30% больных с заболеванием В. Вероятность полного выздоровления для заболевания К равна 0,7; для заболеваний А и В – 0,8 и 0,77 соответственно. Больной, поступивший в больницу, выздоровел. Найти вероятность того, он страдал заболеванием К.

4. В урне 3 белых и 3 черных шара. Шары достаются по одному без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа проведенных испытаний.

5. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами:  Найти вероятность того, что Х<10.        

Вариант 22

1. Для сигнализации о пожаре установлены 3 независимо работающих сигнализатора. Вероятность, что при пожаре сработает первый сигнализатор равна 0,9; для второго и третьего такие вероятности равны 0,85 и 0,95 соответственно. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один сигнализатор.

2. В мастерской находятся 4 ящика изделий завода №1, 5 ящиков изделий завода № 2. Вероятность того, что изделие завода № 1 стандартно, равна 0,9, для завода № 2 соответствующая вероятность равна 0,85. Из наудачу выбранного ящика наудачу вынимается деталь. Найти вероятность того, что выбранная деталь стандартна.

3. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. На стандартность проверяются 5 деталей. Найти вероятность того, что только 4 окажутся стандартными.

4.  Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков при одном бросании игральной кости.

5. Случайная величина Х распределена экспоненциально с параметром  Найти вероятность того, что Х< M(X).

Вариант 23

1. Для сигнализации о пожаре установлены 3, независимо работающих сигнализатора. Вероятность, что при пожаре сработает первый сигнализатор, равна 0,85; для второго и третьего такие вероятности равны 0,85 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что при пожаре сработают первый и третий сигнализаторы.

2. Баскетболист бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0,65. Найти вероятность 3-х попаданий при 4-х бросках.

3. На стойке: 5 винтовок с оптическим прицелом и 7 винтовок без оптического прицела. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,8, а для винтовки без оптического прицела равна 0,65. Из винтовки, выбранной наудачу, производится два выстрела. Оба раза попали в цель. Найти вероятность того, что стреляли из винтовки без оптического прицела.

4. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью 0,5. Случайная величина Х – число появлений герба. Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины Х.

5. Случайная величина Х распределена нормально, . Вероятность попадания Х в интервал (5; 10) равна 0,4. Найти вероятность попадания Х в интервал (0; 5).

Вариант 24

1. Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При работе устройства случайным образом включаются 2 элемента. Найти вероятность, что включеными окажутся изношенные элементы.

2. Производится проверка деталей на стандартность. Вероятность того, что деталь стандартная равна 0,88. Найти вероятность, что среди 6 проверенных деталей 4 стандартные.

3.