Теоретические подходы к расчетам элементов технических систем на прочность и жесткость

БЛОК Б

Прочность, жесткость, устойчивость, – как понятия определяющие надёжность конструкций в их сопротивлении внешним воздействиям. Расчётные схемы (модели): твёрдого деформируемого тела, геометрических форм элементов конструкций. Внутренние силы в деформируемых телах и их количественные меры. Метод сечений. Напряжённое состояние. Перемещения и деформации. Понятия упругости и пластичности. Линейная упругость (закон Гука). Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции).

Основные понятия. Сопротивление материалов, наука о прочности (способности сопротивляться разрушению при действии сил) и деформируемости (изменении формы и размеров) элементов конструкций сооружений и деталей машин. Таким образом, данный раздел механики дает теоретические основы расчета прочности, жесткости и устойчивости инженерных конструкций.

Обеспечить надежное сопротивление элемента или конструкции в целом - означает обеспечить их прочность, жесткость, устойчивость и выносливость. Прочность - способность тела сопротивляться внешним на- грузкам. Жесткость - способность тела сопротивляться изменению сво- их размеров и формы под воздействием внешних нагрузок. (В отличие от теоретической механики в сопротивлении материалов рассматрива- ются деформируемые тела, то есть тела, которые изменяют свои разме- ры и форму под нагрузкой). Устойчивость - способность тела под нагрузкой сохранять первоначальную форму устойчивого равновесия. Выносливость - способность материала сопротивляться пере- менным силовым воздействиям длительное время. Показателем надежности является коэффициент запаса n: 75 кр max p n P = , (4.1) где Pкр - критическое (предельное) значение параметра (нагрузка, на- пряжение). Pmax- наибольшее значение данного параметра в рабочих условиях. Условие надежности имеет вид n ³ [n], (4.2) здесь [n]- допускаемое или нормируемое значение коэффициента запа- са, которое назначают, исходя из практического опыта создания анало- гичных конструкций, уровня техники. Для каждой области техники [n] имеет свои границы значений. Так, например, при проектировании ста- ционарных долговременных сооружений [n] = 2...5, в авиационной тех- нике [n] =1,5...2

Модели нагружения. Сила - это мера механического взаимо- действия между телами. Силы подразделяются на внешние и внутрен- ние. Внешние силы - нагрузки, действующие на тело при его взаи- модействии с другими телами. Внутренние силы - силы взаимодействия между частями от- дельного тела, оказывающие противодействие внешним силам, так как под влиянием внешних сил тело деформируется. Внутренние силы рас- пределены в одних случаях по всей площади поперечного сечения тела равномерно, а в других - неравномерно. Если тело внешними силами не нагружено, то принимается, что внутренние силы отсутствуют.

Внутренние силовые факторы. Метод сечений Внутренние силы определяют нагруженность элемента конструк- ции (детали), поэтому их необходимо уметь определять. Для этого ис- пользуют метод сечений, который заключается в следующем. Рассмотрим тело произвольной формы, находящееся в равновесии под действием внешних сил 1, 2 ,..., FF Fn (рис. 4.1,а). Мысленно рассечем тело плоскостью на две части. Поскольку все тело находится в состоянии равновесия, то в равновесии будет нахо- диться и каждая отсеченная часть. Рассмотрим, например, левую часть (рис. 4.1,б). Внешние силы, действующие на отсеченную часть, будут уравно- вешиваться внутренними, определяющими ее взаимодействие с отбро- шенной правой частью тела. (Внутренние силы между отсеченными частями также друг друга уравновешивают). По сечению внутренние силы распределены сложным образом, поэтому их приводят в центре тяжести сечения (точка О) к главному вектору сил Rв и к главному моменту Mв (рис. 4.1,б).

 Внешние силы, действующие на рассматриваемую часть, тоже можно привести в той же точке О к главному вектору сил Rе и к глав- ному моменту Mе . Так как мысленно отсеченная часть тела находится в равновесии, то R R в = е , M M в = е . Также должны быть равны и их проекции на оси системы координат Оxyz, помещенной своим началом в точке О и ориентированной таким образом, что оси y и z лежат в плоскости сечения, а ось x направлена по нормали и сечению. Разложим в выбранной системе координат Оxyz главный вектор 78 внутренних сил на проекции: ,,, NQQ xyz а главный момент внутренних сил – на , , MMM xyz (см. рис. 4.1,б). Эти составляющие называют внут- ренними силовыми факторами, причем, Nx называют нормальной, или продольной, силой, , Q Qy z - поперечными силами, M x- крутящим моментом, а , M Mz y - изгибающими моментами. Данные силовые факторы могут быть определены из условий рав- новесия рассматриваемой части тела: å X = 0 , åY = 0, å Z = 0; å = 0 mx , åmy = 0 , å = 0 mz . Так, например, Nx будет равна сумме проекций внешних сил на ось х, а M x - сумме моментов внешних сил относительно оси х, дейст- вующих на рассматриваемую часть тела.

Напряжение Напряжение - это количественная мера интенсивности распре- деления внутренних сил по сечению, определяющая взаимодействие материальных частиц тела. Поэтому степень нагруженности детали оп- ределяют не внутренние силы, а напряжения. При достижении ими оп- ределенного уровня внутренние связи материальных частиц тела раз- рушаются. Однако для определения напряжений необходимо знать внутренние силовые факторы. Рассмотрим это подробнее.

Пусть тело (рис. 4.2,а) нагружено произвольным образом. Мысленно рассечем его на две части. Выделим в окрестности произвольной точки сечения элементар- ную площадку с площадью DA (рис. 4.2,б). 79 На этой площадке будет действовать равнодействующая внутрен- них сил DR . Тогда отношение A R D D будет являться средним напряже- нием на выделенной площадке. Если размеры площадки уменьшать, то в пределе получим полное напряжение в выбранной точке сечения: 0 lim A R p D ® A D = D . (4.3) Практически удобнее рассчитывать не полное напряжение, а его составляющие. Поэтому разложим DR на нормальную DN и касатель- ную DQ составляющие к площадке. Тогда 0 0 σ lim ; τ lim A A N A Q A D ® D ® D = D D = D (4.4) будут называться соответственно нормальным и касательным напряже- нием в точке. При этом полное напряжение в точке может быть опреде- лено как 2 2 p = s + t . (4.5) Напряжения в точке зависят от положения плоскости сечения, по- этому, говоря о напряжении, необходимо указывать ориентацию сече- ния, проходящего через рассматриваемую точку. Совокупность напря- жений во всех сечениях, проходящих через рассматриваемую точку, оп- ределяет напряженное состояние в точке. Напряжение характеризуется знаком (направлением) и модулем. Нормальное напряжение считается положительным, ес- ли оно направлено от сечения (рис. 4.3,а). Касательное напряжение считается положительным, ес- ли для совмещения нормали к сечению с направлением напряже- ния ее необходимо повернуть по часовой стрелке (рис. 4.3,б). Раз- мерность напряжения 2 ( ) H Па Паскаль м = .

Закон Гука Английский ученый Р. Гук в конце XVI века сформулировал за- кон, согласно которому деформации материала элемента в каж- дой точке (в определенных пределах) прямо пропорциональны напряжениям в этой же точке и в том же направлении (при на- гружении и разгружении тела): σ ε, τ γ, E G = = , (4.7) где Е, G - модуль нормальной упругости и модуль сдвига соответствен- но. Данный закон является основополагающим в расчетах на проч- ность и жесткость элементов конструкций.

Растяжение и сжатие Растяжением (сжатием) называется такой вид нагру- жения, при котором внешние силы создают в поперечном (перпендикулярном оси) сечении стержня только один внут- ренний силовой фактор - продольную растягивающую (сжи- мающую) силу Nx .

Кручение Кручение - это такой вид нагружения, когда из шести внут- ренних силовых факторов в поперечном сечении стержня возникает только один - крутящий момент (M x ). Стержень, работающий на кручение, называют валом.

Изгиб Рассмотрим плоский поперечный изгиб. Это такой вид нагру- жения, когда под действием внешних нагрузок из шести внутренних силовых факторов в поперечном сечении стержня могут возникать только два - изгибающий момент M z и поперечная сила Qy или из- гибающий момент M y и поперечная сила Qz . Изгиб называют чистым, если в поперечном сечении воз- никает только изгибающий момент. Стержень, работающий на изгиб, называют балкой.

При выполнении расчетов принимаются допущения, связанные со свойствами материалов и с деформацией тела.

Основные допущения.

1. Материал считается однородным (независимо от его микроструктуры физико-механические свойства считаются одинаковыми во всех точках).

2. Материал полностью заполняет весь объем тела, без каких-либо пустот (тело рассматривается как сплошная среда).

3. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. пред­полагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Материалы, имеющие различные свойства в разных направлениях, называют анизотропными (например, дерево).

4. Материал является идеально упругим (после снятия нагрузки все деформации полностью исчезают, т.е. геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются). Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью.

5. Деформации тела считаются малыми по сравнению с его размерами. Это допущение называется принципом начальных размеров. Допущение позволяет при составлении уравнений равновесия пренебречь изменениями формы и размеров конструкции.

6. Перемещения точек тела пропорциональны нагрузкам, вызывающим эти перемещения (до определенной величины деформации материалов подчиняются закону Гука). Для линейно деформируемых конструкций справедлив принцип независимости действия сил (или принцип суперпозиции): результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из этих сил в отдельности.

7. Предполагается, что в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, характер распределения напряжений не зависит от конкретного способа нагружения. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана.

8.Принимается гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и после деформации.

Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы. При деформации тела изменяются расстояния между его частицами, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. Для определения внутренних усилий используют метод сечения. Для этого тело мысленно рассекают плоскостью и рассматривают равновесие одной из его частей (рис.1).