Решение дифференциальных уравнений

Если на вход САР поступило возмущающее воздействие х_вх(τ), то система начнет работать и переходить из одного состояния равновесия в другое. Изменение выходной величины вовремя этого перехода х_вых(τ) называется переходным процессом. Переходный процесс может быть получен как решение дифференциального уравнения при известном х_вх(τ) и заданных начальных условиях. Под начальными значениями понимается значение выходной величины и всех ее производных до (n-1)-ой в нулевой момент времени , , … . При исследовании САР наиболее распространены нулевые начальные условия, когда выходная величина и все ее производные, включая

(n-1)-ую, равны нулю =0, =0, =0, =0.

Методы решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами известны из курса высшей математики. Так решение уравнения (2.1.) находится как сумма двух составляющих – свободной и вынужденой:

х_вых(τ)=х_вых.с.+х_вых.в.                                                                                                                                    [2.4]

Вынужденная составляющая х_вых.в является частным решением исходного дифференциального уравнения:

                                                    [2.5]

и определяется

,                                                                                                 [2.6]

где С_к – постоянная интегрирования;

р_к – вещественные корни характеристического уравнения

а_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+a₂p²+a₁p¹+a₀=0                                                                         [2.7]

Каждая пара сопряженных комплексных корней р_к=α_к jω_к характеристического уравнения (1.13.) дает в решении (1.11.) составляющую вида

                                                           [2.8]

Значения постоянных интегрирования определяются из начальных условий.

Передаточная функция

Если обозначить d/dt через р, то уравнение (2.1.) можно записать в символическом, так называемом операторном виде

                                                                                         [2.8]

или

,            [2.9]

где р – некоторое комплексное число, оператор.

Отношение полинома В(р), характеризующего входную величину, к полиному А(р), характеризующего выходную величину, является передаточной функцией.

                                       [2.10]

В знаменателе передаточной функции всегда стоит левая часть

ха­рактеристического уравнения - характеристический полином.

Строго говоря, передаточная функция получается из дифференциального уравнения после совершения над ним прямого преобразования Лапласа (одна из операций раздела высшей математики “Операционное исчисление”) при нулевых начальных значениях. При этом входная и выходная величины преобразуются в

функции:  и , называемые изображениями входной и выходной величин. Передаточной функцией W(p) называется отношение изображения выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях:

        [2.11]

=L^-1 [x_вх(τ)];  = .

Видно, что передаточная функция полностью совпадает с выражением (2.10.), полученным из символической формы записи дифференциального уравнения (2.8.).

Передаточная функция так же, как и дифференциальное уравнение, полностью характеризует динамику элемента и системы автоматичес­кого регулирования, но поскольку она не содержит производных, а явля­ется алгебраическим выражением, то существенно упрощает операции по получению динамических характеристик сложных систем, состоящих из различно соединенных элементов.

Переходная функция.

При сравнении динамических свойств элементов и систем удобно рассматривать их реакции на некоторые типовые входные воздействия. Одним из таких типовых воздействий является единичная ступенчатая функция 1(τ)

(рис 2.1).

Рис. 2.1 Переходная функция объектов управления:

а – единичная ступенчатая функция 1(t);

б – переходная функция h(t).

1(τ)=                                                                                        (1.17.)

Переходный процесс в элементе или в системе после поступления единичного ступенчатого входного воздействия х_вх(τ)=1(τ) называется переходной функцией и обозначается h(τ).

Переходная функция h(τ) является решением дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и х_вх=1, а также может быть найдена по формуле Хевисайда с использованием передаточной функции

h(τ)=W(0)+ ,                                                                     (1.18.)

где р_к – корни характеристического полинома уравнения А(р), стоящего в знаменателе передаточной функции (корни характеристического уравнения);

В(р_к) – значение числителя передаточной функции при р=р_к;

W(0) – значение передаточной функции при р=0;

n – порядок дифференциального уравнения.

 - значение производной знаменателя передаточной функции при р=р_к.

Практика 2