Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными.

ДУ с разделёнными переменными имеют вид: (*)  M(x)dx + N(y)dy = 0, 

где  M(x) и  N(y) некоторые функции. Интегрируя ДУ (*), получаем общее решение в неявном виде:

∫M(x)dx +∫N(y)dy = C,  где C∈R

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

ДУ с разделяющимися переменными имеют вид:       

M₁(x)N₁(y)dx +M₂(x)N₂(y)dy = 0,  где  M₁(x),  N₁(y), M₂(x) и N₂(y) некоторые функции.

Оно может быть приведено к ДУ с разделёнными переменными путём деления обеих его частей на выражение N₁(y)M₂(x) ( где  N₁(y)≠0 и M₂(x)≠0 ) 

, тогда .         

Получили ДУ вида (*).

И общим решением ДУ  в неявном виде будет ,  где C∈R

УПРАЖНЕНИЯ:

I.Решить ДУ (найти общие решения ДУ):

1.1)                                                            Ответ:

1.2)                                                       Ответ:

1.3)                          Ответ:

1.4)                              Ответ:

II.Решить задачу Коши (найти частные решения ДУ, удовлетворяющие начальным

условиям):

2.1) ,                                Ответ:

2.2) ,                           Ответ:

2.3) ,               Ответ:

1.1) Найти общее решение ДУ   .

Решение.  Имеем ДУ с разделяющимися переменными. Необходимо переменные разделить. Поскольку ,  тогда запишем данное ДУ в виде:

∣

     ∣

Полученное уравнение - ДУ с разделёнными переменными и теперь надо обе части этого уравнения проинтегрировать:

,

Вычислим интеграл . Сделаем замену переменной , тогда  и . Следовательно

откуда                                            

,

где произвольную постоянную C удобно записать в виде  и где  (по свойству логарифма  ).

Тогда,

(по свойству логарифма  )

откуда                                             ,

следовательно,                      

Знаки   можно опустить, так как наличие произвольной постоянной С их неявно учитывает. Тогда,

или .

Ответ. Общее решение ДУ : .

1.2) Найти общее решение ДУ  DV   .

Решение.  Данное уравнение- ДУ с разделяющимися переменными. Преобразуем его:

     ∣

              ∣ (разделяем переменные)

Получим                        .

Проинтегрируем обе части этого уравнения:

1) Вычислим интеграл . Делаем замену переменной , тогда  и . Следовательно

2) Вычислим интеграл . Преобразуем подынтегральную функцию: , откуда . Допуская , получим .  Допуская , получим , откуда .

Итак,  

(Для вычисления интеграла  используем метод подстановки  или формулу   )

откуда,                   

                        ,

где произвольную постоянную C удобно записать в виде .

Далее                                  

(по свойствам логарифма   и  )

откуда                                            ,

следовательно,                           

Знаки   можно опустить, так как наличие произвольной постоянной С их неявно учитывает.

Тогда,                             

или                                    

Ответ. Общее решение ДУ: .

1.3) Найти общее решение ДУ  .

Решение.  Это ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

                          ∣

1) Вычислим интеграл . Делаем замену переменной , тогда  и . Следовательно

2) Вычислим интеграл . Делаем замену переменной , тогда  и . Следовательно

откуда                                                

где произвольную постоянную C удобно записать в виде .

Далее                                     (по свойству логарифмов)

откуда                                          ,

следовательно                

Знаки   можно опустить, так как наличие произвольной постоянной С их неявно учитывает.

Тогда,                                          

Ответ. Общее решение ДУ: .

1.4) Найти общее решение ДУ .

Решение.  Это ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

                                            ∣

1) Вычислим интеграл . Делаем замену переменной , тогда   и    или .  Следовательно

2) В правой части уравнения- табличный интеграл

Тогда получим                           

или                                     

Ответ.  Общее решение ДУ: .

2.1) Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям

Решение.  Это ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

                                                             ∣

                                            ∣

1) Вычислим интеграл .       

2) Вычислим интеграл  методом интегрирования по частям.  Пусть   и , тогда   и . Следовательно ,

тогда                                     ∣

Полученное уравнение является общим решением данного ДУ. Для того, чтобы найти частное решение ДУ,  найдём С, подставляя в общее решение ДУ начальные условия    и .

                                        или           

Следовательно, частное решение ДУ:

Ответ: Частное решение ДУ .

2.2) Решить задачу Коши:  , если

Решение.  Это ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

                                             ∣    

                                             ∣

1) Вычислим интеграл . Делаем замену переменной , тогда    и      . Следовательно

2) Вычислим интеграл . Преобразуем подынтегральную функцию: . Делаем замену переменной , тогда

 и .

Следовательно

Тогда получим                      

где произвольную постоянную C удобно записать в виде . Домножим обе части равенства на 2:

Тогда                                      (по свойству логарифма)

                                                 ,

где произвольная постоянная  представлена в виде .

                                                 (по свойству логарифма)

откуда                                         

Это и есть общее решение ДУ. Для нахождения частного решения ДУ, найдём С, подставляя в общее решение ДУ начальные условия    и .

Тогда                               

откуда                                           ,  то есть        

Следовательно, искомое частное решение ДУ или

Откуда                                               

Ответ: частное решение ДУ .

2.3) Решить задачу Коши:  , если

Решение.  Это ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

                                              ∣

1) Первый интеграл- табличный:

2) Вычислим интеграл . Делаем замену переменной , тогда     и     

Следовательно

получим                                 

                                                                   -общее решение ДУ

Найдем С: если  и , тогда, подставляя эти начальные условия в общее решение ДУ, получим:

                                               то есть      

Следовательно                           

Ответ: Частное решение ДУ .