Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Практическая работа №2 Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины : x1, x2, x3, ... xn. (2) Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде µ = ± Δx (3) Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом. Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде L = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95) Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм . Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P. Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики. В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой где Δx – отклонение от величины истинного значения; σ – истинная среднеквадратичная ошибка; σ 2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин. Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной. На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) . Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2) где – n число измерений. Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞. Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ σ = lim S. (7) n → ∞ С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений. Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений. Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде: Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз. В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него. Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t. Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; Sx – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического. Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2. Из сказанного следует: 1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического. 2. При n → ∞ Sx→ 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата. Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.
При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций: 1. Результат каждого измерения запишите в таблицу. 2. Вычислите среднее значение из n измерений 3. Найдите погрешность отдельного измерения 4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений 5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического 6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95). 7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n. 8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения) 9. Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ , то в качестве границы доверительного интервала возьмите
Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте. 10. Окончательный результат запишите в виде 11. Оцените относительную погрешность результата измерений Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул. Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).
Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10). Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм. Сравним случайную и систематическую ошибки: следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить. Окончательный результат запишем в виде, учитывая правила округления погрешности измерения.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-10; просмотров: 150. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |