Билеты для проведения регионального публичного зачета по геометрии в 8 классах

Билет №1

1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника

2) Докажите теорему о средней линии треугольника.

3) Радиус ов окружности с центром в точке о пересекает хорду а с в точке d и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды ас, если bd = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Билет №2

1)Дайте определение и свойства параллелограмма.

2)Докажите свойство медиан треугольника

3)Проектор полностью освещает экран а высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проек­тора. На каком наименьшем расстоянии (в сантимет­рах) от проектора нужно расположить экран в высо­той 160 см, чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными?

4)Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, о - центр окружности, а дуга ad окруж­ности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

Билет №3

1)Дайте определение и назовите свойства прямоугольника.

2)Докажите теорему Пифагора.

3)Найдите величину (в градусах) вписанного угла а, опираю­щегося на хорду АВ, равную радиусу окружности.

4)Прямая, параллельная основаниям mpи Л^'трапеции mnkp, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пе­ресекает её боковые стороны mn\\ крв точках аи ^соответ­ственно. Найдите длину отрезка если MP = 40_СМч мк = 24_См.

Билет №4

1) Дайте определение и назовите свойства ромба.

2) Докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай).

3) Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?

4) В треугольнике abc углы а и с равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой вн и биссектрисой bd.

Билет №5

1) Дайте определение трапеции. Назовите виды трапеций.

2) Докажите свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

3) От столба высотой 9 м к дому натянут провод, кото­рый крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину 9 м провода.

4) Отрезки ав и dc лежат на параллельных прямых, а              " _{s м} отрезки ас и bd пересекаются в точке М Найдите Л/С, если ав = 16, dc = 24, ас = 25 .

Билет №6

1) Дайте определение подобных треугольников. Назовите признаки подобия треугольников.

2) Докажите признак параллелограмма (по точке пересечения диагонале^).

3) В равностороннем треугольнике ABC медианы ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите ^аок_ш

4) Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC про- ходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Най­дите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а АВ = 2.

Билет №7

1) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2) Докажите свойство диагоналей параллелограмма.

3) Найдите градусную меру ZMON, если известно, NP - диаметр, а градусная мера zMNP равна 18°.

4) В треугольнике ABC отмечены середины М и Л' сто­рон вс и ас соответственно. Площадь треугольника cnmравна 57. Найдите площадь четырёхугольника abmn.

Билет №8

1) Назовите значение синуса, косинуса и тангенса углов 30°,45°_?60^Q.

2) Докажите свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.

3) У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

4) Из точки а проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки а до точки о равно 8.

Билет №9

Дайте определение секущей и касательной к окружности.

Докажите свойство диагоналей прямоугольника.

В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой -6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Окружность пересекает стороны ав и ас треугольника abc в точках кпр соответственно и проходит через вершины в и С. Найдите длину отрезка КР, если ак - 18, а сторона ас в 1,2 раза больше стороны вс.

Билет №10

1) Дайте определение вписанного и центрального углов окружности.

2) Докажите признак параллелограмма по двум противоположным сторонам, которые равны и параллельны.

3) Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (Ь метрах) расположен фонарь?

4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а пе­риметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Билет №11

1) Дайте определение серединного перпендикуляра к отрезку. Назовите свойство серединного перпендикуляра.

2) Запишите вывод формулы площади треугольника, следствия, формулу Герона (без доказательства).

3) К окружности с центром в точке о проведены касательная ав и секущая ао. Найдите радиус окружности, если а в = 12 см, ао = 13 см.

4) На сторонах угла васи на его биссектрисе отложены рав­ные отрезки ав, асц ad. Величина угла неравна 160°. Определите вели­чину угла вас.

Билет №12

1) Дайте определение: окружности, вписанной в многоугольник; многоугольника, описанного около окружности. Назовите свойство описанного четырехугольника.

2) Докажите свойства диагоналей ромба.

3) Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м² и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

4) Окружность проходит через вершины а и С треугольника абс и пересека­ет его стороны ав и вс в точках к и е соответственно.

Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ZKCB, если IABC = 20°.

Билет №13

1) Дайте определение окружности, описанной около многоугольника; многоугольника, вписанного в окружность. Назовите свойства четырехугольника, вписанного в окружность.

2) Докажите свойство биссектрисы угла.

3) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

4) Биссектрисы углов аив параллелограмма abcd пересекаются в точке к. Найдите площадь параллелограмма, если вс = 19, а расстояние от точки к до стороны ав равно 7.

Билет №14

1) Дайте определение: окружности, вписанной в треугольник; окружности, описанной около треугольника, нахождение центров этих окружностей.

2) Докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции, i

3) В выпуклом четырехугольнике ABCD ав = вс, ad - CD zb = 60°_? ZD - jl 10^е. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

4) Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходя­щая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Билет №15

1) Сформулируйте теорему Фалеса.

2) Докажите свойство отрезков пересекающихся хорд.

3) Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущен­ная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

4) Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота тре­угольника делит ее пополам.