Пример определения линейной регрессии

Уравнение регрессии- это форма связи результативного признака Y с факторами Х1, Х2, …Хm. В зависимости от типа выбранного уравнения различают линейную и нелинейную (квадратичную, экспоненциальную, логарифмическую и т.д.) регрессию.

В зависимости от числа взаимосвязанных признаков различают парную и множественную регрессию.

Парная – исследуется связь между двумя признаками (результативным и факторным).

Множественная (многофакторная) – между тремя признаками (результативным и несколькими факторными).

Последовательность этапов регрессионного анализа

1) Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.

2) Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.

3) Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

4) Формулировка гипотезы о форме связи (парная или множественная, линейная или нелинейная).

5) Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

6) Оценка точности регрессионного анализа.

7) Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

8) Предсказание неизвестных значений зависимой переменной

Линейные и нелинейные регрессии.

Рисунок 1 – Линейная регрессия

Рисунок 2 – Нелинейная регрессия

Линейная регрессия

При моделировании технологических процессов во многих случаях связь между входными (x) и выходными (y) параметрами можно аппроксимировать линейным полиномом (зависимостью)

Для получения вида математической модели необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии b₀ и b₁. Для этого применяется метод наименьших квадратов.

Пример определения линейной регрессии

Нелинейная регрессия

· линейной (у = а + bx);

· параболической (y = a + bx + cx²);

· экспоненциальной (y = a * exp(bx));

· степенной (y = a*x^b);

· гиперболической (y = b/x + a);

· логарифмической (y = b * 1n(x) + a);

· показательной (y = a * b^x).

 Реализация регрессионного анализа.

Уравнение множественной линейной регрессии

где – теоретические значения результативного признака, полученные путем подстановки соответствующих значений факторных признаков в уравнение регрессии;

– значения факторных признаков;

 – параметры уравнения (коэффициенты регрессии).

Рисунок - Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а₀ + а₁х₁ +…+а_кх_к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

1. Нажимаем кнопку «Офис» и переходим на вкладку «Параметры Excel». «Надстройки».

2. Внизу, под выпадающим списком, в поле «Управление» будет надпись «Надстройки Excel» (если ее нет, нажмите на флажок справа и выберите). И кнопка «Перейти». Жмем.

3. Открывается список доступных надстроек. Выбираем «Пакет анализа» и нажимаем ОК.

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

1. Открываем меню инструмента «Анализ данных». Выбираем «Регрессия».

2.Откроется меню для выбора входных значений и параметров вывода (где отобразить результат). В полях для исходных данных указываем диапазон описываемого параметра (У) и влияющего на него фактора (Х). Остальное можно и не заполнять.

3. После нажатия ОК, программа отобразит расчеты на новом листе (можно выбрать интервал для отображения на текущем листе или назначить вывод в новую книгу).

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.

Список использованной литературы

1. C.А. Айвазян, В.С. Мхитарян «Теория вероятностей и прикладная статистика»: Учеб. пособие. М., 2001.

2. Е.С. Кочетков «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб.пособие. М., 2001.

3. В.А. Фигурин «Теория вероятности и математическая статистика»: Учеб.пособие. – Мн. ООО «Новое знание», 2000.

4. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика». Учеб.пособие. М.: высшее образование, 2006.