Методика определения критериев подобия

В научных исследованиях большое значение имеют безразмерные комплексы величин, представляющие собой произведения различных степеней этих величин. Их называют критериями подобия. Мы будем обозначать их буквой . Так, величина имеет размерность . То есть, эта величина является безразмерной.

Критерии подобия используют в качестве параметров и переменных исследуемой системы. Это существенно снижает трудоемкость экспериментальных исследований и повышает их научную ценность.

Если уравнение, описывающее работу исследуемого объекта неизвестно, то для нахождения критериев подобия используют метод теории размерностей.

В этом случае сначала на основе анализа физической сущности исследуемого объекта по литературным источникам и на основе опытных данных, выписываются все параметры (величины), которые оказывают или могут оказать действие на его работу.

Затем составляется матрица размерности и определяется ее ранг. Пусть система описывается величинами.

Сколько же независимых между собой критериев подобия можно составить из независимых величин?

Это число определяется рангом матрицы размерностей совокупности величин. Если ранг матрицы размерностей равен (ранг не может быть больше числа основных единиц измерения). Тогда система имеет совокупностей величин, которые могут быть приняты за основные. Следовательно, в этом случае можно получить независимых критериев подобия.

Эти решения называются фундаментальными.

Каждая физическая величина имеет размерность, содержащая три единицы измерения (для механики в системе СИ). Например, размерность силы будет . То есть размерность силы содержит три единицы измерения: массы , длины и времени в соответствующих степенях. Матрица размерности составляется из показателей степеней единиц размерности. Тогда матрица размерности силы будет иметь размер и примет вид

.

В общем случае матрица размерности физической величины имеет вид

.

Матрица размерности для системы, описываемой величинами, будет иметь размер :

,

где – показатели степеней в формуле размерности физических величин.

Ранг матрицы равен максимальному порядку определителя составленному из элементов матрицы и не равного нулю. Для задач механики матрица размерности имеет строк и три столбца. Следовательно, необходимо составить и вычислить определители третьего порядка. Если среди них найдется хотя бы один не равный нулю, то ранг матрицы будет равен трем. Если все определители третьего порядка оказались равными нулю, переходим к вычислению определителей второго порядка. Вычисления прекращаем, если хотя бы один определитель оказался не равен нулю. Тогда ранг матрицы размерности будет равен двум.

Пример. Рассмотрим задачу о движении жидкости в трубе.

Как известно из курса гидравлики, на процесс течения жидкости по трубе оказывают влияние:

• · диаметр трубы d;
• · длина трубы l;
• · скорость потока жидкости V;
• · плотность жидкости ;
• · динамическая вязкость жидкости ;
• · перепад давления на участке .

Очевидно, что течение жидкости в трубе как физический процесс будет зависеть от этих шести перечисленных параметров, то есть будет иметь место некоторая зависимость:

(2)

Запишем размерности в системе СИ всех входящих в уравнение величин:

;	;	;	(3)
;	;	;

Следовательно, матрица размерностей будет:

                       .(4)

Определитель, образованный первой, третьей и четвертой строками:

.

Следовательно, ранг матрицы равен r=3. Из этого следует, что число независимых параметров . Поэтому число фундаментальных критериев подобия равно: n-k=6-3=3.

Какие же комбинации величин могут быть приняты за основные?

Общее количество определителей третьего порядка, составленных из 6-ти строк, равно числу сочетаний из 6-ти по 3:

.

Для установления всех форм записи критериев подобия нужно найти все комбинации, определители третьего порядка которых не равны нулю.

Запишем комбинации величин

Номер комбинации
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер комбинации
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

В комбинациях 1, 2, 3 и 4 две величины и имеют одинаковые размерности. Следовательно, определители матрицы размерностей этих комбинаций будут равны нулю (так как у них две строки будут равными) и эти комбинации не могут быть взяты в качестве основных.

Вычислим определители матриц размерностей остальных комбинаций.

;	;	;
;	;	;
;	;	;
;	;	;
;	;
;

Комбинация №15 должна быть также отброшена.

Таким образом, остальные комбинации №5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19 и 20 можно принимать в качестве основных. Каждая комбинация образует три фундаментальных критерия подобия. Тогда в данной задаче можно составить форм критериев подобия.

Фундаментальные критерии подобия определяются следующим образом.

Выбирается комбинация, принимаемая за основную, например комбинация №5 . Критерий подобия записывается как частное от деления величины, не вошедшей в комбинацию, на произведение величин, вошедших в комбинацию, в некоторых степенях. Показатели степеней определяются из условия равенства показателей степеней числителя и знаменателя (так как критерий подобия есть величина безразмерная).

Тогда для выбранной комбинации критерии подобия запишутся в виде

.

Определим показатели степеней.

Запишем размерность первого критерия.

Приравнивая показатели степеней числителя и знаменателя получим систему уравнений

.

Решая эту систему, получаем . Следовательно, первый критерий подобия будет

Для второго критерия подобия

Приравнивая показатели степеней числителя и знаменателя, получим систему уравнений

Решение этой системы уравнений

Второй критерий подобия примет вид

.

Для третьего критерия подобия

Система уравнений

Решение этой системы уравнений

Третий критерий подобия примет вид

Принимая в качестве основной другую комбинацию величин, получим также три критерия подобия. Например, для комбинации №6 критерии будут иметь вид

Показатели степеней определяются по методике рассмотренной выше.

Таким же образом определяются критерии подобия для всех остальных комбинаций основных величин, то есть находятся все формы критериев подобия.

После этого из всех форм критериев подобия выбирается одна фундаментальная совокупность для проведения исследований.

Так для рассмотренной выше задачи такой совокупностью может быть

, ,

Первый критерий характеризует геометрические параметры изучаемого объекта. Второй критерий есть величина обратная широко используемому в гидравлических расчетах критерию Рейнольдса, а третий есть величина, обратная критерию Эйлера для движущейся жидкости. Таким образом эти три критерия являются наиболее информативными и поэтому их целесообразно принять для проведения исследований.