Из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной.

К а ф е д р а«Высшая математика и

Прикладная информатика»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА,

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

(для заочного факультета)

Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2008

УДК 517.531, 519.2

Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа (для заочного факультета): Учеб.-метод. пособ. по специальным разделам высшей математики/ Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2008. 27 с.

Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Математический анализ».

Для студентов заочного факультета СамГТУ.

Ил.2. Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

В соответствии с рабочими программами курса математики в 1-2 семестрах на заочном отделении НФ СамГТУ данная работа включает такие разделы, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление.

Работа состоит из набора типовых задач из указанных разделов с подробными решениями и необходимым теоретическим материалом. Кроме того в приложении 1 представлен тренировочный тест с ответами для самоконтроля знаний.

Материал данной работы рекомендуется использовать для подготовки к контрольной работе и экзамену по математике за 1 курс.

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

РАЗДЕЛ I  

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Определители и системы линейных уравнений

1.1 Определители 2^го порядка

Пусть дана система 2^х линейных уравнений с 2^я неизвестными.

                                            (1.1)

Решаем эту систему методом исключения неизвестных. Исключим у. Для этого 1^е уравнение умножаем на а₂₂, второе на –а₁₂, затем уравнения складываем. После преобразований получаем

.

Если , то можно найти х

.                                         (1.2)

Число  называется определителем 2^го порядка и обозначается

.

Выражение, стоящее в числителе, тоже является определителем 2^го порядка

.

Данные выражения являются символической записью определителя второго порядка. По определению определитель–это число, поэтому для вычислений символическая запись требует раскрытия или вычисления. Для облегчения процесса вычисления применяют различные схемы. Сначала об элементах определителя: . Индексы указывают номер строки и номер столбца на пересечении которых находится элемент. Элементы с одинаковыми первыми индексами образуют строки, с одинаковыми вторыми–столбцы, элементы с одинаковыми первым и вторым индексами образуют главную диагональ, c индексами 1,2 и 2,1 – побочную диагональ.

Правило вычисления определителя 2^го порядка

Из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной.

.

Примеры:

1) ;

2) ;

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера :Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

1.2  Определители 3^го порядка.

Определитель 3^го порядка есть число, вычисляемое следующим образом:

.

Кроме уже известных вам элементов определителя введем новые.

Минор

Выделим в определителе 3^го порядка элемент  и вычеркнем i-ую строку и k-ый столбец. Оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который и называют минором M_ik элемента .

Например

.

Алгебраическое дополнение элемента  определяется выражением

.

Схема знаков  для алгебраических дополнений определителя 3^го порядка.

Например .

Для упрощения вычисления определителя имеется несколько правил (схем).

Правило (формула) Лапласа)

Сумма произведений элементов  некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя.

 – такая запись называется разложением определителя по столбцу k.

 – это разложение по строке i.

Для определителя 3^го порядка:

Пример 3:

.

Можно видеть, что формула Лапласа позволяет понижает порядок определителя, руководствуясь ею можно вычислить определитель любого порядка.

Схема Саррюса

Ответ:

Пример 2).

Решить систему

Решение.

1) Определитель системы

.

2) Определители для неизвестных:

.

Система несовместна.

Ответ .

Пример3).Решить систему 

Задача 1. Вычислить определитель .

Решение. Определитель второго порядка  равен разности между произведениями элементов главной диагонали (a₁ и b₂) и побочной (b₁ и a₂), то есть

.

Поэтому                    .

Задача 2. Вычислить определитель .

Решение. Определитель третьего порядка можно вычислить по формуле

.

При этом полезна следующая схема. Первые три слагаемых – это произведения элементов, попавших на главную диагональ и в вершины двух треугольников (рис.1). Три слагаемых в скобках – это произведения элементов, попавших на побочную диагональ и в вершины двух других треугольников (рис.2).