Формула первого замечательного предела

Понятие множеств и операции над ними.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Операции над множествами

Объединением (суммой)множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

2. Понятие предела функции. Его свойства.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела числовой последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции целочисленного аргумента .

!!! Предел функции F(x) при ч стремящемуся к ч нулевому = значению А

Lim F(x)=A, при  X-X0

Число a называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого, числа , найдется такое число (зависящее от , ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию

Сформулируем основные свойства пределов.

1. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций, т.е.:

(4.13)

2. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т.е.:

(4.14)

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.:

(4.15)

4. Предел от константы равен данной константе:

(4.16)

5. Если в некоторой окрестности точки x₀ (или при достаточно больших x) , то:

(4.17)

6. Если , то:

(4.18)

3. Отыскание пределов функций с неопределенностью типа (∞/∞)

4. Отыскание пределов функций с неопределенностью типа (0/0).

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

· упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);

· использование замечательных пределов;

· применение правила Лопиталя;

· использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным(использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

· Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл.

Для раскрытия неопределённостей типа бек/беск {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;

2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа 0/0 {\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)} существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2. Сокращение дроби.

·

· 5. Первый замечательный предел.

· 6. Второй замечательный предел.

Формула первого замечательного предела

· Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти.

Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.