Основная схема фильтра нижних частот (ФНЧ)

    Схема на рис.2 представляет собой обычный активный фильтр нижних частот (ФНЧ). Фильтрацию выполняет RC-цепь, а ОУ используется как усилитель с единичным усилением.

Рис.2. Схема фильтра нижних частот

Сопротивление резистора R_ос равно сопротивлению резистора R_вх, который включен в схему для компенсации сдвига по постоянному току. На нулевой частоте f = 0 Гц  емкостное сопротивление конденсатора x_c бесконечно велико. Дифференциальное напряжение E_g между входами OУ «+» и «-» фактически равно 0 [1], поэтому напряжение на конденсаторе C равно выходному напряжению U_вых.

Напряжение на выходе, равное напряжению на конденсаторе, рассчитывается по формуле:

,                                          (1)

где w – частота входного напряжения, рад/с;

w = 2πf, где f – частота входного напряжения Е_вхфильтра, Гц.

R_вх = R_oc;  j = .

Можно переписать это уравнение так, чтобы получить коэффициент усиления по напряжению с обратной связью k_ос:

k_ос(jw) =  .                                        (2)

В теории управления k_ос(jw) называют частотной характеристикой линейной системы. Формула (2) показывает, что k_ос(jw) является векторной суммой вещественной и мнимой частей частотной характеристики. В полярных координатах:

(3)

    Функции  и  определяют изменение амплитуды и фазы колебаний на выходе фильтра по отношению к амплитуде и фазе колебаний на его входе и называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками соответственно.

Для того чтобы показать, что схема является ФНЧ, необходимо рассмотреть как изменяется  в уравнении (3) при изменении частоты  входного напряжения Е_вх. На очень низких частотах, т.е. при приближении значения частоты w к 0, модуль =1, а на очень высоких частотах,  когда w → ∞, =0.

На графике зависимости  от частоты входного сигнала w (рис.3) показано, что на частотах, превышающих частоту среза w_cp, коэффициент передачи схемы ФНЧ изменяется со скоростью -20 дб/дек. Это то же самое, что сказать: коэффициент усиления по напряжению падает в 10 раз при увеличении частоты w в 10 раз.

Рис.3. Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ.

Значение коэффициента усиления активного ФНЧ k_ос находим на частоте w_cp, задав в уравнении (1) произведение :

.

Значение k_о.с. на частоте w_cp

|k_ос| =-3дБ,

а сдвиг по фазе (выхода относительно входа) составляет – 45^о.

На частоте 0,1w_cp  коэффициент |k_ос| = 1 (0 дб), на частоте 10w_cp |k_ос| = 0,1 (-20 дб). В табл.1 даны амплитуда и сдвиг по фазе для различных значений частоты w в диапазоне от 0,1 w_cp до 10 w_cp.

Таблица 1

Существует много типов активных фильтров нижних частот, отличающихся друг от друга видом АЧХ. В зависимости от сложности фильтра можно получить наклон АЧХ 40, 60, 80 и реже более дб/дек.

Расчет ФНЧ

Частота среза w_cp определяется как частота входного напряжения Е_вх, на которой |k_ос| уменьшается до 0,707 от того значения, которое она имела на низких частотах. Частоту среза вычисляют по формуле:

w_cp = 1/RC = 2πf_cp                                                  (4)

где w_cp – частота среза, в рад/с;

f_cp – частота среза, Гц;

R=R_вх=R_ос – сопротивление, в Ом;

C –  емкость, Ф.

Уравнение (4) можно переписать, решив его относительно значения емкости конденсатора С:

С = 1/ (w_cp R) = 1/ (2πf_cpR)

Примеры расчета ФНЧ

1. Дано:  R_ос = 10 кОм, R_вх = 10 кОм, C = 0,001 мкФ

   Найти: w_cp,  f_cp

   Решение:

  w_cp =  = 100 000 [рад/с]

   f_cp = [кГц]

2.    Дано: f_cp = 2 кГц, R_вх = R_oc = 10 кОм

  Найти: значение емкости конденсатора С.

  Решение:

С =  [мкФ]