Динамический метод наименьших квадратов (DOLS).

Динамический метод наименьших квадратов для случайных процессов, являющихся интегрированными процессами первого  порядка .

План лекции

1. Проблемы, связанные с качеством оценок коинтегрирующих векторов.
2. Оценивание параметров модели.

Текстовый материал лекции

Напомним сначала некоторые определения и факты, излагавшиеся во второй части учебника.

Пусть мы имеем N  временных рядов , каждый из которых является интегрированным порядка 1 (так что ряды  нестационарны, а ряды  стационарны, ). Если существует такой ненулевой вектор , для которого  – стационарный ряд, то говорят, что эти ряды коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор   называется коинтегрирующим вектором. .

Проблема, однако, в том, что у коинтегрированной системы I(1)рядов может быть несколько линейно независимых коинтегрирующих векторов. Если максимальное количество линейно независимых коинтегрирующих векторов для заданных рядов  равно  r , то это число r называется  рангом коинтеграции. Для коинтегрированной системы, состоящей из  N рядов, ранг коинтеграции может принимать значения r = 1, … , N – 1. (Формально, если ряды не коинтегрированы, то r = 0. Если же имеется r = N  линейно независимых коинтегрирующих векторов, то все N рядов стационарны.) Совокупность всех возможных коинтегрирующих векторов для коинтегрированной системы I(1) рядов образует r-мерное линейное векторное пространство, которое называют коинтеграционным пространством. Любой набор r линейно независимых коинтегрирующих векторов образует базис этого пространства, и если зафиксировать этот набор в качестве базиса, то тогда любой коинтегрирующий вектор является линейной комбинацией векторов, составляющих базис.

Один из возможных вариантов выбора базисных коинтегрирующих векторов дается следующим представлением системы коинтегрированных I(1) рядов.

Если ранг коинтеграции равен r , 0 < r < N , то при соответствующей перенумерации переменных система I(1) рядов  допускает представление

,

где   C = (с_{i j}) – матрица размера r ×(N – r),  u_t = (u_1t , … , u_{N t})^T – стационарный (в широком смысле) векторный случайный процесс с E(v_t) = 0, ряды   не коинтегрированы.

При этом уравнения

           y_{1 t}  = μ₁ + c₁₁ y_{r + 1, t} +… + c_{1, N – r} y_{N, t} + u_{1 t}

                . . .

           y_{r t} =  μ_r + c_{r 1} y_{r + 1, t} + … + c_{r, N – r} y_{N, t} + u_{r t} ,

 представляют r коинтегрирующих регрессий, а векторы

β₍₁₎ = (1, 0, 0, … , 0, – c₁₁, … , – c_{1, N – r})^T ,

β₍₂₎ = (0, 1, 0, … , 0, – c₂₁, … , – c_{2, N – r})^T ,

                          . . .

β_(r) =  (0, 0, 0, … , 1, – c_{r 1}, … , – c_{r, N – r} )^T

образуют базис коинтеграционного пространства.

Если ряды u_1t , … , u_{r t} не коррелированы с рядами u_{r + 1}, _t , … ,u_{N, t} , то указанное выше представление называется треугольной системой Филлипса, и коинтегрирующие регрессии можно оценивать методом наименьших квадратов, получая при этом суперсостоятельные оценки коэффициентов. Однако в общем случае эти оценки не являются асимптотически нормальными, что затрудняет получение статистических выводов относительно истинных значений коэффициентов. Удачным исключением является здесь случай r = 1, когда имеется только одна коинтегрирующая регрессия

.

В этом случае условное распределение ОНК для коэффициентов (при фиксированных значениях y_2,t , … , y_N,t ) является асимптотически нормальным, и возможно использование стандартных процедур проверки гипотез о коэффициентах коинтегрирующего вектора, основанных на t- и F-статистиках (в асимптотическом плане), с коррекцией стандартных ошибок коэффициентов в случае, если ряд u_t  не является белым шумом. Коррекция состоит в замене стандартной оценки S² дисперсии ряда u_t состоятельной оценкой долговременной дисперсии этого ряда.

Долговременная дисперсия ряда u_t определяется соотношением

      ,

и если выполнено условие , то . Если исходить из того, что случайный процесс u_t  может быть аппроксимирован процессом MA(q) конечного порядка q , то в качестве оценки долговременной дисперсии можно взять оценку

  ,

где   (  – остатки при OLS оценивании коинтегрирующей регрессии). Выбор q = O(T ^1/5) обеспечивает состоятельность такой оценки для  λ².  

Если u_t представляет собой процесс белого шума, то

,

,

т.е. долговременная дисперсия ряда u_t  совпадает с обычной дисперсией этого ряда.

Если u_t представляет собой стационарный процесс AR(1),

то

        ,

           ,

 ,

так что . Для стационарного процесса авторегрессии порядка  p ,

долговременная дисперсия равна

       ,

где .

Рассмотрим теперь следующую модель:

, ,

где  ~ i.i.d. ,  ~ i.i.d. ,  

В этом случае   и  –  I(1) переменные, но модель не является треугольной системой Филлипса из-за коррелированности  и . При этом

     ,

     ,

так что объясняющая переменная  коррелирована с , и это приводит к смещению оценки коинтегрирующего вектора, которое может быть существенным при малом количестве наблюдений.

Это осложнение преодолевается в процедуре динамического OLS (DOLS), разработанной в работах Phillips, Loretan (1991), Saikkonen (1991), Stock, Watson (1993). Статистическое моделирование показывает (Carrion-i-Silvestre and Sansó-i-Rosselló (2004)), что в малых выборках DOLS работает лучше чем еще одна модификация OLS (с теми же свойствами оптимальности) – FM OLS (Full Modified OLS).

    В чем состоит идея DOLS? Рассмотрим ее на нашем примере.

У нас

      ~ i.i.d. ,  ~ i.i.d. ,

так что

   ~ , где .

Условное математическое ожидание случайной величины  относительно последовательности  равно здесь:

= = .

Если обозначить  

   ,

то  

как при  , так и при  .

Запишем исходное уравнение в виде:

, 

т.е.

   ,

или  

    ,

где , и теперь уже

    .

Таким образом, в этой простейшей ситуации для предупреждения смещения OLS оценки коэффициента  достаточно дополнить правую часть уравнения приращением объясняющей переменной .

        В общем случае оценивается коинтеграционное уравнение

, ,  k =2, … , N,

где u_t =(u_1t , u_2t , ... , u _{N t})^T – N-мерный гауссовский стационарный векторный ряд  (теперь уже не обязательно N-мерный гауссовский белый шум), причем ряды u_1t , ... , u _{N t} могут быть коррелированнными между собой. (Гауссовость ряда u_t  означает, что совместное распределение значений ряда в любые  T различных моментов времени является NT-мерным нормальным распределением.)

     При этом в правую часть приходится добавлять не только текущие, но также и запаздывающие (Lags) и опережающие (Leads) приращения переменных   (отсюда

другое название метода – “Leads and Lags”):       .

Разумеется, реально используется усечение бесконечной суммы в правой части, так что при этом получаем расширенное (по отношению к исходному) уравнение (DOLS-уравнение)

        .

Значение K должно быть достаточно большим для того, чтобы ликвидировать или свести к минимуму коррелированность объясняющих переменных с , но и не излишне большим, поскольку это ведет к снижению эффективности оценок.

      Замечание

      Если  не является причиной по Грейнджеру для , то в правой части расширенного уравнения достаточно оставить только запаздывающие значения приращений:

.

Замечание

 Если  , то для проверки гипотез о коэффициентах можно использовать стандартные процедуры, основанные на t -  и  F- статистиках (в этом случае DOLS оценки асимптотически нормальны).  В противном случае для проверки линейных гипотез о коэффициентах следует использовать скорректированные  F- и t-статистики с асимптотически оправданными F-  и  t-распределениями, предварительно заменив обычную оценку S²  для дисперсии v_t  на состоятельную оценку  “долговременной дисперсии” λ² ряда v_t . Последнее соответствует умножению обычной F-статистики на и умножению обычной  t-статистики на .

      П р и м е р 5.1.1

      Сгенерируем реализацию модели

, 

    ,

где  ~ i.i.d. ,  ~ i.i.d. – не коррелированные между собой гауссовские процессы белого шума.

Оценим уравнение  методом OLS по первым 30 наблюдениям:

       Кросс-коррелограмма рядов  и  (ряд остатков):

    (Заметим, что ряды значений  и  выборочно некоррелированы по самой геометрии метода наименьших квадратов!)

     В соответствии с видом кросс-коррелограммы, дополняем правую часть коинтеграционного уравнения текущим, двумя запаздывающими и двумя опережающими приращениями переменной :        

Сравним эти DOLS оценки коэффициентов c полученными ранее OLS оценками:

Качество DOLS оценок намного выше.

        П р и м е р 5.1.2

Сгенерируем теперь реализацию модели

, 

где опять

    ,

    , 

              ~ i.i.d. ,

но на сей раз  является стационарным AR(2) рядом: 

             ,  ~ i.i.d. .

Поведение смоделированных реализаций мало отличается от предыдущих:

Оцениваем уравнение  методом OLS по первым 30 наблюдениям:

Кросс-коррелограмма рядов  и  (ряд остатков):

       В соответствии с видом кросс-коррелограммы, опять дополняем правую часть коинтеграционного уравнения текущим, двумя запаздывающими и двумя опережающими приращениями переменной :        

   .

Оцениваем это уравнение:

    Здесь в результате оценивания расширенного уравнения остается автокоррелированность в остатках, что можно учесть двумя способами.

    Во-первых, можно применить для оценивания расширенного уравнения доступный вариант GLS или процедуру Кохрейна – Оркатта: этот вариант Сток и Ватсон называют DGLS (динамический обобщенный метод наименьших квадратов). Если, как в нашем примере,  имеет структуру AR(2), т.е.  

     , 

или 

    ,   где ,

то тогда надо взять ряд остатков , полученных при оценивании расширенного уравнения (DOLS), и оценить уравнение 

     .

Полученные оценки и  используются для оценивания :

     .

После этого производится авторегрессионное преобразование объясняющей и объясняющих переменных в расширенном уравнении, что приводит к преобразованному уравнению:

     .

В рамках преобразованного уравнения можно уже на законных основаниях проверять гипотезы о коэффициентах коинтеграционного соотношения, используя для этой цели t- и F-статистики.

     Применение указанного подхода в рамках процедуры, реализуемой в EViews (с AR(1) и AR(2)) приводит к следующим результатам:  

Проверим гипотезу :

   Эта гипотеза не отвергается.

                Если динамика ряда  определяется как AR(p):

         , (*)

то можно не изменять спецификацию расширенного уравнения, производя авторегрессионное преобразование переменных, а вместо этого скорректировать надлежащим образом значения t- и F-статистик для проверки гипотез о значениях коэффициентов.  При таком подходе в выражениях для t- и F-статистик несмещенная оценка  дисперсии ошибок, вычисляемая по остаткам  в расширенном уравнении, заменяется оценкой долговременной дисперсии ряда . Для этого оценивается уравнение (*), находятся оценки  и ряд остатков , и в качестве оценки для  берется

      ,

где

         – оценка дисперсии ряда .

Стандартное выражение для t-статистики при проверке гипотезы :  имеет вид  

                  .

Скорректированное значение равно

        .

Аналогично, скорректированное значение F-статистики равно

        .

         В нашем примере оценивание уравнения  дает следующие результаты:

Соответственно, отсюда находим:

      , .

Скорректированное значение t-статистики для проверки гипотезы :  равно

      ;

при этом гипотеза  не отвергается.

      При проверке в DOLS уравнении совместной гипотезы  вычисленное значение F-статистики равно 6.826679, что дает P-значение 0.005496 – эта гипотеза отвергается. Скорректированное значение F-статистики равно

     ,

ему соответствует P-значение 0.271, и при этом гипотеза  уже не отвергается