Адаптивные модели авторегрессии

Лекция № 7

Адаптивные модели экономического прогнозирования

Сущность адаптивных методов прогнозирования

Как известно, в основе экстраполяционных методов прогнозирования лежит предположение о том, что основные факторы и тенденции исследуемого явления, имевшие место в прошлом, сохраняются и в будущем. Это является непременным условием успешного прогнозирования.

В случае краткосрочного прогнозирования или составления прогноза в ситуации изменения внешних условий, когда наиболее важными являются последние наблюдения анализируемого процесса, наиболее эффективными оказываются адаптивные методы, учитывающие различную информационную ценность отдельных уровней временного ряда.

Адаптивные методы прогнозирования – это модели дисконтирования данных, способные быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. Их использование для прогнозирования особенно адекватно в том случае, если исследуемый процесс не имеет тенденции развития, а уровни временного ряда колеблются вне всякой зависимости.

При анализе подобных временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в течение всего периода наблюдения. Адаптивные методы позволяют учёсть степень "устаревания" данных.

Важнейшим достоинством адаптивных методов является построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге. При поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза, которая через специальную связь поступает в модель и учитывается в ней в соответствии с используемой процедурой. В результате создаётся компенсирующее изменение, которое приводит к корректировке модели.

Основным недостатком использования адаптивных моделей является возможность построения прогноза лишь на 2-3 наблюдения вперёд. Но при поступлении фактических данных адаптивную модель можно изменить в соответствии с изменившимися условиями.

Общая схема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом. По нескольким уровням временного ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперёд. Его отклонение от фактического значения для данного наблюдения оценивается как ошибка прогноза, которая учитывается для дальнейшей оценки параметров модели. Коэффициенты модели изменяются, и процедура повторяется. Общая схема построения адаптивных моделей показана на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1 – Схема построения адаптивных моделей прогнозирования.

Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов тем, что не требует повторения всего объёма вычислений в случае поступления новых данных.

Скорость (быстроту) реакции модели на изменения в динамике процесса характеризует параметр адаптации. Он должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивать адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть определено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе интуитивных методов.

В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации чаще всего принимают минимум показателя суммы квадратов ошибок моделирования.

Все адаптивные модели основываются на двух схемах:

1) модели скользящего среднего (СС-модели);

2) модели авторегрессии (АР-модели).

Согласно схеме скользящего среднего, оценкой текущего уровня является взвешенное среднее всех предшествующих уровней, причём веса наблюдений убывают по мере удаления от последнего значения. Такие модели точно отражают изменения, происходящие в тенденции, но не позволяют в чистом виде отражать колебания. Основоположником создания адаптивных моделей скользящего среднего является английский математик Р. Браун.

В авторегрессионной схеме оценкой текущего уровня является взвешенная сумма не всех, а только нескольких предыдущих уровней. При этом не обязательно, что весовые коэффициенты убывают по мере удаления от текущего наблюдения. Информационная ценность наблюдений определяется не их близостью к моделируемому значению, а теснотой связи между наблюдениями.

Адаптивные модели скользящего среднего

К адаптивным моделям скользящего среднего относится, прежде всего, метод экспоненциального сглаживания (вопрос 4.4). Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Основным достоинством метода является его точность, которая растёт с увеличением количества наблюдений во временном ряду. Основным недостатком является отсутствие точного метода для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α.

В практике статистического прогнозирования наиболее часто используются две базовые модели скользящего среднего – модели Брауна и Хольта, причём первая из них является частным случаем второй. В моделях Брауна и Хольта параметры сглаживания характеризуют степень адаптации модели к изменению временного ряда. Они определяют скорость реакции модели на изменения, происходящие в развитии явления.

Метод гармонических весов

Метод гармонических весов близок к методу простого экспоненциального сглаживания, т.к. используется тот же принцип. Однако в его основе лежит не скользящая средняя, а скользящий тренд.

Суть данного метода заключается в том, что экстраполяция производится по скользящему тренду, и определённые точки ломаной линии исходного процесса взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать больший вес.

Метод гармонических весов основывается на следующих предпосылках:

1) период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы отражать закономерность данного процесса;

2) исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изменений;

3) прогнозируемое социально-экономическое явление должно обладать инерционностью;

4) отклонения от скользящего тренда должны иметь случайный характер;

5) автокорреляционная функция, рассчитанная на основе последовательной разности, должна уменьшаться с ростом t, т.е. влияние более поздней информации должно сильнее отражаться на прогнозируемой величине, чем влияние более ранней информации.

Алгоритм метода. Исходный временной ряд делится на фазы в количестве k так, чтобы в каждой фазе было 3-5 наблюдений. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд с помощью метода наименьших квадратов. Таким образом, формируется (n – k + 1) уравнений полинома первой степени. Для каждого уравнения рассчитываются модельные значения y_t, и вычисляется среднее значение данной величины для каждого t.

После этого необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения скользящего тренда от исходного процесса представляют собой стационарный процесс. С этой целью рассчитывается автокорреляционная функция; если значение автокорреляции уменьшается от наблюдения к наблюдению, то (5) предпосылка данного метода выполняется.

Затем вычисляются значения приростов вычисленных уровней скользящего тренда:

 при t = 2 … n                                                                                             (7.1)

и среднее значение прироста:

                                                                                                                     (7.2),

где C_t – гармонические коэффициенты, вычисляемые по формуле:

                                                                                                                             (7.3),

где m_t – гармонические веса, вычисляемые по формуле:

 при m₁ = 0 и t = 2 … n                                                               (7.4).

Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляются по формуле:

                                                                                                               (7.5).

Адаптивные модели авторегрессии

В авторегрессионных адаптивных моделях текущее значение процесса представляется как линейная комбинация его предыдущих значений и случайной компоненты, т.е.

                                                                                                               (7.6),

где p – порядок полинома (порядок модели).

Одной из предпосылок построения авторегрессионных моделей является их применение к стационарным процессам, т.е. к процессам без тенденции. Ряды без тенденции, как правило, не представляют интереса для экономистов. Поэтому авторегрессионные модели предназначены для моделирования случайных колебаний и прогнозирования развития неустойчивых показателей.

Определение способа перехода от нестационарного временного ряда к стационарному является идентификацией авторегрессонной модели в широком смысле. Чтобы сделать возможным использование авторегрессионных моделей на процессах с тенденцией, на первом этапе от исходного процесса Y_t переходят к стационарному процессу Z_t путём расчёта последовательных разностей порядка d, т.е. d – порядок разности:

 при t = 1 … (n – d)                                                             (7.7).

Идентификация авторегрессионной модели в узком смысле состоит в определении порядка модели p и порядка разности d, т.е. модель записывается в виде АР(p,d):

                                            (7.8).

Простейшим способом определения порядка разности d является вычисление для каждого ряда Z_t(d) его дисперсии. В дальнейшем выбирается ряд, у которого данная величина минимальна.

Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией. Анализ автокорреляционной функции позволяет определить лаг, при котором связь наиболее тесная. Большое значение коэффициента автокорреляции первого и последующих порядков свидетельствует о наличии линейной тенденции. Если высоким оказался только коэффициент автокорреляции первого порядка, то ряд содержит только систематическую составляющую. Если наиболее высокими являются коэффициенты автокорреляции с периодом T₀, то процесс содержит периодические колебания соответствующей длины. Если ни один из коэффициентов не является значимым, то либо тенденция и циклические колебания отсутствуют, либо имеет место нелинейная тенденция, для выявления которой необходим дополнительный анализ.

Чистые авторегрессионные процессы имеют плавно затухающую автокорреляционную функцию (АКФ). В этом случае в качестве порядка модели p выбирается лаг, после которого все частные автокорреляционные функции (ЧАКФ) имеют незначительную величину. Однако на практике чистые авторегрессионные процессы почти не встречаются, поэтому порядок модели выбирается интуитивно.

Для идентификации порядка модели обычно используется автокорреляционная функция порядка m, рассчитываемая аналогично формуле (7.3) для m = 1. В качестве порядка модели p принимается порядок коэффициента автокорреляции, имеющего максимальное значение.

Модификация параметров модели с учётом ошибки прогнозирования осуществляется по формуле:

                                                                           (7.9),

где α – константа обучения, определяющая скорость адаптации модели (α > 0).