Закон Паскаля и его использование в технике

Согласно основному уравнению гидростатики (1.7), изменение внешнего давления p на некоторую величину ∆p приводит к изменению давления во всех точках жидкости на ту же величину ∆p:

.                             (1.16)

Это и есть доказательство закона Паскаля.

Закон Паскаля используется в технике в двух направлениях:

– для умножения усилия (прессы, домкраты и т.д.);

– для умножения давления.

Умножение усилия.Предположим, что , тогда имеем .

Следовательно, в подпоршневом пространстве (рис. 1.7) реализуется постоянное давление, равное .

Рис. 1.7. Схема умножения усилия

Это давление передается на поршень большего диаметра :

.                          (1.17)

Как видно из формулы (1.17), при  получим .

Умножение давления.Пусть  и .

Сила, действующая на жесткую систему цилиндров (рис. 1.8), равна:

.

Рис. 1.8. Схема умножения давления

Отсюда находим :

.                                     (1.18)

Согласно формуле (1.18), на выходе можно получить сколь угодно большое давление .

Сила давления жидкости на плоские стенки

Сначала рассмотрим силы давления жидкости на горизонтальные стенки.

Сила давления жидкости на горизонтальное дно сосуда определяется по формуле (рис. 1.9):

,                                      (1.19)

а давление на дно, согласно основному уравнению гидростатики, как:

.                                    (1.20)

Рис. 1.9. Сила давления жидкости на горизонтальные стенки

ВЫВОДСледовательно, сила давления жидкости на горизонтальное дно зависит от давления на свободной поверхности , плотности жидкости r, глубины погружения поверхности h, но не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс).

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Рассмотрим более общий случай. Пусть площадь  расположена под углом  к горизонту и перпендикулярна к плоскости рисунка (рис. 1.10).

Через проекцию контура площади S (линия АВ) проведем ось оу
и спроектируем эту площадь на плоскость хоу.

Определим силу давления жидкости на элементарную площадку  предполагая, что в пределах  давление не меняется:

Здесь  – давление на свободной поверхности, h – глубина погружения площадки dS. Заметим, что . Для определения полной силы  проинтегрируем полученное выражение по всей
площади S.

Рис. 1.10. Схема для определения силы давления жидкости

на плоскую стенку

Последний интеграл в правой части уравнения представляет собой статический момент площади  относительно оси ох и равен:

где  – координата центра тяжести площади . Заменяя  получим:

                           (1.21)

Здесь  – давление в центре тяжести площади S. Полная сила давления на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади.

Формулу (1.21) представим в другом виде:

                          (1.22)

Здесь  – внешняя сила,  – избыточная сила, вызванная весом жидкости.

Внешнее давление  передается всем точкам площади S одинаково, поэтому внешняя сила  будет приложена в центре тяжести площади S. Сила избыточного давления  из-за неравномерности распределения избыточного давления по глубине приложена ниже в центре давления .

Координата центра гидростатического давления определяется по формуле:

                                 (1.23)

где  – момент инерции фигуры  относительно оси ох.

Зависимость (1.23) может быть представлена в виде:

                             (1.24)

где  – момент инерции фигуры S относительно оси, проходящей через её центр тяжести.Величина  представляет собой эксцентриситет.

Зная величины  и  и точки их приложения, можно найти величину и точку приложения общей силы P.