Модель идеального смешения (МИС)

Лекция 5

Гидродинамическая структура потоков

Характеристика структуры потока

Наибольший вклад в проблему масштабного перехода вносит изменение гидродинамической структуры потоков при увеличении размеров аппарата. Отыскание поля скоростей по дифференциальным уравнениям вызывает большие математические трудности. Поэтому, в инженерной практике используют метод моделирования гидродинамической структуры потоков в аппаратах.

Структура потока - характер движения элементов потока в аппарате. Траектории движения этих элементов могут быть чрезвычайно сложными, что приводит к различному времени их пребывания в аппарате. Одни элементы быстро проходят через аппарат (байпас), другие, наоборот, задерживаются в аппарате больше среднего времени (застойные зоны), могут быть также возвратные потоки (рис. 2.9).

Рис. 2.9 Поля скорости в аппаратах различной формы

Охарактеризовать структуру потоков в аппарате можно полем скорости. Из-за сложности отыскания поля скорости структуру потока обычно характеризуют временем пребывания элементов потока в аппарате. Поскольку различные элементы имеют различные скорости и траектории движения , то и обладают различными временами пребывания в аппарате. Для описания этого явления используется функция распределения времени пребывания элементов потока в аппарате f(t) (рис. 2.10):

.                            (2.144)

Здесь dN(t) – количество элементов потока, время пребывания которых в аппарате от t до t+dt ; N – общее количество выделенных элементов в потоке.     Среднее время пребывания элементов в потоке (V_a – объем аппарата, - объемный расход) может быть найдено:

.                           (2.145)

Наиболее вероятное время пребывания элемента в аппарате t_В соответствует максимальному значению f(t).

На практике удобнее использовать безразмерное время пребывания Q и безразмерную функцию распределения f^*(Q) :

,    .                        (2.146)

Математическое моделирование структуры потоков

Наиболее корректной математической моделью структуры потоков в аппарате является исчерпывающее описание. Однако решение уравнений Навье – Стокса с условиями однозначности для большинства случаев невозможно. Поэтому на практике идут по пути упрощения модели, используя для характеристики структуры потока функцию распределения времени пребывания элементов потока в аппарате. Разумеется, f^*(Q) является далеко не полной  характеристикой движения, хотя и достаточной для интегральной оценки работы аппарата.

Можно выделить две идеализированные модели, характеризующие предельные ситуации: идеальное вытеснение и идеальное смешение, а также более реалистичные модели промежуточного типа - ячеечная и диффузионная модели.

Модель идеального вытеснения (МИВ)

В аппарате частицы потока движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью w_X  . Время пребывания в аппарате всех элементов потока одинаково. Введем понятие концентрации меченых элементов потока в аппарате. Средняя концентрация меченых элементов потока в аппарате определяется как:

,                                  (2.147)

где N_M  - количество помеченных элементов, V_a – объем аппарата.

Рис. 2.11 Модель идеального вытеснения

Исходное уравнение для МИВ получено из уравнения нестационарной конвективной диффузии (2.40):

.                                 (2.148)

Результаты решения уравнения (2.148) представлены в безразмерной форме на рис. 2.12.

Поскольку все элементы движутся с одинаковой скоростью w_X , то у них одинаковое время пребывания в аппарате, совпадающее с  . Поэтому  .

Наиболее близка к МИВ структура турбулентного потока, движущегося по трубе при l/d>>1, цилиндрические аппараты небольшого диаметра, но значительной высоты, заполненные зернистым материалом.

Модель идеального смешения (МИС)

Предполагается, что любая порция входящего в аппарат меченых элементов потока мгновенно и равномерно перемешивается во всем объеме. Таким образом, концентрация меченых элементов потока одинакова во всех точках аппарата. По аналогии с (2.31) (источника нет) можно записать:

Рис. 2.13 Модель идеального смешения (схема потока)

,                   (2.149)

где  – количество меченых элементов потока, входящих в аппарат и выходящих из него за единицу времени.

При любых значениях t>0 , входа меченых элементов в аппарат не будет, т.е. . Тогда

.                            (2.150)

Имея, в виду  получим:

 и разделяя переменные:

.                                  (2.151)

Интегрируя уравнение (2.151) с начальными условиями С(Q)=С₀ получим:

.                             (2.152)

Переходя, к безразмерной функции распределения имеем:

.                            (2.153)

На рис. 2.14 изображена зависимость f^*(Q)  от Q по формуле (2.153).

К аппаратам идеального смешения близки аппараты с интенсивным перемешиванием и аппараты с псевдоожиженным слоем.

Структуры потоков в промышленных аппаратах не соответствует ни МИВ, ни МИС. Реальные аппараты промежуточного типа.

Ячеечная модель (МЯ)

Более реалистичной моделью является ячеечная модель, в соответствии с которой предполагается последовательное прохождение потоком ряда ячеек идеального смешения. Параметром модели служит число таких ячеек m .

Рис. 2.15 Ячеечная модель (схема потока)

Для i – той ячейки можно записать:

, .              (2.154)

Решение системы m  дифференциальных уравнений (2.154) дает выражение для концентрации меченых элементов в последней ячейке, т.е. на выходе из аппарата С_m(t) , а затем и для функции распределения:

.                              (2.155)

Рис. 2.16 Вид функции распределения f^*(Q) для МЯ

Диффузионная модель (МД)

Другой моделью промежуточного типа является диффузионная модель. Считается, что отклонение в движении элементов потока от идеального вытеснения осуществляется за счет их случайных блужданий, которые могут быть описаны по аналогии с молекулярным или турбулентным механизмом переноса. Это позволяет воспользоваться уравнением нестационарной конвективной диффузии для определения концентрации меченых элементов потока С(x,t) , полагая конвективную скорость равной для всех элементов, а перемешивание учитывать с помощью коэффициента обратного (продольного) перемешивания D_L   . Тогда получим:

Рис. 2.17 Диффузионная модель (схема потока)

.                               (2.156)

Здесь D_L  - учитывает все виды переноса – молекулярный, конвективный и турбулентный. Обычно D_L определяют экспериментально, причем считается, что D_L по длине аппарата не меняется.

Уравнение (2.156) решено с использованием критерия Пекле для продольного перемешивания:

,                              (2.157)

где L – длина аппарата.

При Pe_L=0 МД переходит в МИС, а при Pe_L®µ - в МИВ (рис. 2.18)

Обычно МД применяют для аппаратов, характеристики потоков которых изменяются по длине непрерывно. Например, насадочные и пленочные массообменные колонны.

Есть более сложные модели, например, двухпараметрическая диффузионная модель, комбинированные модели и т.д.

Идентификация модели

Под идентификацией модели понимается определение неизвестных параметров: для диффузионной модели Pe_L и число ячеек m для ячеечной модели.

Для этого в основной поток на входе в аппарат вводится индикатор (трассер).

Рис. 2.19 Схема установки для получения кривых отклика

Обычно применяют импульсный ввод индикатора - во входящий поток быстро (теоретически мгновенно) вводят индикатор. Фиксируя изменение во времени концентрации индикатора на выходе из аппарат получают кривую отклика C(t). Для выхода C(t)=C(L,t). Зная C(L,t) находят f(t), зная,  определяют f^*(Q) . Сопоставляя f^*(Q)  с известными зависимостями для различных моделей структуры потоков выбирают наиболее приемлемую модель.