Модуляция на гармоническом переносчике

ЛЕКЦИЯ 4

МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

Модуляция

Передаваемая информация обычно имеет вид первичного электрического низкочастотного сигнала. Это может быть телефонный сигнал в полосе частот 0,3÷3,4 кГц, сигнал видеоизображения в полосе
50 Гц – 6 МГц, дискретный (цифровой) сигнал в форме видеоимпульсов в полосе от 0 до F_в и т.д. Все первичные сигналы имеют одну общую особенность – они низкочастотны, т.е. их спектральный состав начинается от частот, близких к постоянному току. Линии связи, как уже отмечалось в первой лекции, определяются физической средой передачи. Главные задачи системы передачи информации – передать информацию без потерь и искажений по выбранной линии связи. И в организации такой системы основная проблема – согласование линии связи с первичным электрическим сигналом. Для этого согласования используется канал, как комплекс аппаратных средств, преобразующих сигнал к виду, возможному для передачи по физической линии связи. Низкочастотные проводные (кабельные, воздушные), рельсовые и др. линии связи требуют для согласования сигнала с линией усиления, обеспечения необходимой полосы пропускания, предотвращения искажений, согласование сопротивлений и т.д. без коренного изменения формы сигнала (например, телефонные сети, громкоговорящая связь). При использовании широкополосных линий связи (например, при частотном или временном уплотнении линии радиосвязи) исходные первичные сигналы нуждаются в преобразовании к виду, удобному для передачи по реальной физической линии. Это может быть перенос спектра сигнала в другую область частот, применение дискретного представления сигналов и т.д. Очень часто эти преобразования (не изменяя передаваемую информацию) приводят к новому виду преобразованного первичного сигнала. Для реализации процесса преобразования первичного сигнала обычно привлекается дополнительный стационарный сигнал – переносчик (несущий сигнал) – как "работящая лошадка", на которую "насаживают" информационный сигнал, Этот процесс "посадки" сигнала на переносчик называют модуляцией, а процесс "ссаживания" информационного сигнала с несущего колебаний называют демодуляцией или детектированием. Вид переносчика (несущего колебания) определяется физической природой лини связи и выбранного метода передачи информации.

В качестве переносчика применяют гармонические колебания, различные виды импульсного представления сигнала, сложные многоуровневые сигналы или специальные функции. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые методы модуляции.

Литература:

[1] стр. 61. [2] стр. 82. [3] стр. 16.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение термину "модуляция".

2. Дайте определение термину "демодуляция".

3. Какие сигналы могут быть переносчиками информационного сообщения?

4. Зачем нужна модуляция?

Модуляция на гармоническом переносчике

В качестве несущего колебания частот используют гармонические колебания вида:

u(t) = A(t) cos[ω(t)t + φ(t)].                           (4.1)

В этом колебании переменной, как правило, может быть только одна величина – амплитуда A(t), частота ω(t) или фазы φ(t), две других величины (в простейших видах модуляции) должны оставаться неизменными. В зависимости от переменного параметра, выбранного для передачи информационного сигнала различают: амплитудную модуляцию (АМ) u(t) = A(t)cos(ω₀t + l₀), частотную (ЧМ) u(t) = A₀ cos[ω(t)t + φ₀] и фазовую (ФМ) u(t) = A₀ cos[ω₀t + φ(t)]. Следует отметить, что частотный и фазовый параметры гармонического колебания входят в состав более общего представления несущего колебания – u(t) = A₀ cos Ψ(t) – в состав углового параметра гармонического сигнала, что привело к принятию более общего термина для ЧМ и ФМ – угловая модуляция. Рассмотрим виды модуляции на гармоническом несущем колебании. АМ –амплитудная модуляция непрерывным (аналоговым) сигналом, представляющим передаваемую информацию (например, телефонный сигнал в полосе 0,3÷3,4 кГц).

S(t) = A(t) cos (ω₀t + φ₀)

примем φ₀ = 0,

S(t) = A₀ + ∆Ax(t) = A₀(1 + x(t)),

где А₀ – начальное (среднее) значение амплитуды несущего колебания
cos ω₀t;

∆А – возможное отклонение амплитуды несущего колебания.

Величину ΔА/А₀ = m определим как параметр модуляции - глубина модуляции: 0 ≤ m ≤ 1. Обычно m измеряют в пределах 0% ≤ m ≤ 100%.

Модулированное по амплитуде колебание:

S(t) = A₀[1 + m x(t)]cos ω₀t.                          (4.2)

В качестве простейшего полезного информационного сигнала примем низкочастотный гармонический сигнал x(t) = cos Ω(t); Ω << ω₀.

Теперь амплитуда модулированного колебания будет изменяться по закону передаваемого информационного сигнала x(t). Временное изображение АМ сигнала представлено на рис. 4.1.

а)

б)

Рис. 4.1.

Глубину модуляции можно измерить по максимальному и минимальному отклонениям амплитуды: .

Преобразуем выражение для s(t) (4.2), раскрыв скобки:

S(t) = A₀[1 + m cos Ωt]cos ω₀t = A₀ cos ω₀t + A₀ m cos Ωt cos ω₀t =

= A₀ cos ω₀t + A₀ [cos(ω₀ + Ω)t + cos (ω₀ - Ω)t] =          (4.3)

= A₀ cos ω₀t +  cos(ω₀ + Ω)t +  cos (ω₀ - Ω)t.

Исследуя полученное выражение, замечаем, что оно состоит из трех гармонических составляющих и каждая на своей частоте ω₀, ω₀+Ω, ω₀-Ω. Построим графически полученное спектральное распределение составляющих (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

В случае модуляции несущей не гармоническим (тональным) сигналом, а белее сложным сигналом x(t) в полосе частот (например, телефонный сигнал в полосе 0,3÷3,4 кГц) получается более сложный спектр, состоящий из несущей и двух боковых полос: НБП - нижней боковой полосы и ВБП - верхней боковой полосы (нанесены пунктиром на рис. 4.2). На рис. 4.3. приведены временные графики произвольного телефонного сигнала (рис. 4.3а) и его модулированный вид (рис. 4.3б).

Несущее колебание на частоте ω₀ имеет амплитуды А₀, боковые составляющие равны А₀m/2 и при m = 1 (100%), составляют А₀/2. Несущее колебание имеет максимальную амплитуду, однако, не несет никакой полезной информации, поэтому в некоторых системах связи (при априори точном известном положении по оси частот сигнала несущей, что позволяет ее всегда восстановить на приемном конце) для экономии излучаемой энергии несущую можно не передавать - это системы сбалансной модуляцией - БМ (несущая необходима только при детектировании в качестве опорного колебания, относительно которого отсчитывают частоты боковых составляющих, поэтому в БМ несущую восстанавливают в приемнике по небольшому пилот-сигналу или известному кварцевому значению несущей). Обе боковые полосы несут информацию о модулирующем информационном сигнале x(t), располагаясь зеркально по частоте относительно несущего колебания. Для экономии энергии излучения и снижения занимаемой полосы частот можно передавать только одну боковую полосу - такая модуляция называется амплитудной модуляцией с одной боковой полосой АМ с ОБП.

а)

б)

Рис. 4.3

Амплитудная модуляция осуществляется в пределах схемы с нелинейными элементами (диоды, транзисторы с рабочей точкой на нелинейном участке характеристики), так как только с помощью нелинейного преобразования можно получить сигналы новых частот (или осуществить функцию перемножения двух сигналов, в результате чего образуются сигналы новых частот). Демодуляция должна проводиться тоже только на нелинейном элементе для получения (выделения) низкочастотной (модулирующей) составляющей АМ сигнала. Фильтрация низкочастной части спектра демодулированного сигнала фильтром низкой частоты выделяет информационный сигнал от высокочастотных компонент АМ сигнала.

Пока мы рассмотрели амплитудную модуляцию при воздействии модулирующего сигнала x(t) - непрерывного (аналогового). Однако, подобные преобразования возможны и при импульсных последовательностях. Чаще всего встречается необходимость передачи бинарных сигналов, т.е. сигналов, имеющих два значения амплитуды
(0 и 1) (например, цифровые сигналы или сигналы в системе АЛС - автоматической локомотивной сигнализации). Модуляция несущего колебания бинарными информационными сигналами называется манипуляцией Мн или, иногда, применительно к амплитудной манипуляции - АТ - амплитудной телеграфией (АМн, АТ).

При воздействии на несущую информационным сигналом в виде последовательности прямоугольных импульсов (бинарных сигналов)
(рис. 4.4а) образуется промодулированная последовательность прямоугольных по огибающей радиоимпульсов, представленных на
рис. 4.4б.

Спектральный состав одного радиоимпульса рассмотрен в первой лекции и представлен на рис. 1.20. Здесь уместно повторить его на
рис. 4.5а.

а)

б)

Рис. 4.4

а)

б)

Рис. 4.5

Если последовательность радиоимпульсов регулярная, т.е. имеет постоянную скважность, то спектральный состав будет дискретным
(см. рис. 4.5б). При случайной последовательности ("телеграфный" сигнал) спектр последовательности будет содержать как сплошную, так и дискретную составляющие.

Понятие глубины модуляции при АМн отсутствует для бинарных символов, однако, его можно применить, если исходные импульсы имеют разную амплитуду.

Литература:

[1] стр. 61-73, 103-104. [2] стр. 88-96. [3] стр. 19-20.

Контрольные вопросы:

1. Какой параметр несущего колебания используется при АМ модуляции? Как ведут себя другие параметры несущего колебания при АМ?

2. Чем отличается манипуляция от модуляции?

3. Дайте определение видам модуляции БМ, ОБП.

4. Чем определяется ширина спектра АМ сигнала?

5. Что такое "глубина" модуляции АМ и как ее измерить?

Рассмотрим особенности угловой модуляции. Несущее колебание может передавать информационный сигнал изменением частоты или фазы несущего колебания:

S(t) = A₀ cos Ψ(t) = A₀ cos [ω(t)×t + φ(t)].                   (4.4)

Изменение фазы связано с изменением частоты через зависимость:

                                      (4.5)

и соответственно

.                                         (4.6)

При исследовании частотной модуляции ω(t) для упрощения записи положи фазу φ(t) = 0. По аналогии с АМ изменение частоты:

ω(t) = ω₀[1 + m_ωx(t)],                               (4.7)

здесь ω₀ – основное (исходное значение частоты несущего колебания;

m_ω = ∆ω₀/ω₀;

∆ω – отклонение частоты (девиация частоты).

С учетом (4.5) и при Ψ₀ = 0, а также (4.7) выражение (4.4) приводится к виду:

(4.8)

Как и ранее для АМ, в качестве простейшего сигнала, представляющего полезную информацию, примем низкочастотный гармонический (тональный) сигнал

x(t) = cos Ωt,  Ω << ω₀

Тогда выражение для частотной модуляции

,

здесь М = ∆ω/Ω – индекс модуляции, показывающий максимальное отклонение частоты (девиацию) несущего колебания при заданном (обычно 1000 Гц) значении частоты модулирующего колебания. Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от средней (немодулированной) частоты ω₀, а определяется исключительно девиацией ∆ω и модулирующей частотой Ω.

Временные графики ЧМ при модуляции гармоническим сигналом (4.6а) представлены на рис. 4.6б.

а)

б)

Рис. 4.6

Преобразуем выражения для частотной модуляции (для синуса сумма двух углов):

S(t) = A₀ sin ω₀t × cos [M sin Ωt] + A₀ cos ω₀t × sin [M sin Ωt]    (4.9)

В теореме Бесселевых функций известны соотношения:

sin(M sin Ωt) = 2I₁(M) sin 2Ωt + 2I₃(M) sin 3Ωt + ...

cos(M sin Ωt) = I₀(M) + 2I₂(M) cos 2Ωt + 2I₄(M) cos 4Ωt + ...

sin(M cos Ωt) = 2I₁(M) cos 2Ωt - 2I₃(M) cos 3Ωt + 2I₅(M) cos 5Ωt - ...

cos(M cos Ωt) = 2I₀(M) - 2I₂(M) cos 2Ωt + 2I4₅(M) cos 4Ωt - ...

I_k(M) – функция Бесселя k-го порядка от аргумента М. График нормированных (приведенных по I_0max = 1) приведен на рис. 4.7, а значения функций для разных М в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Рис. 4.7

Выберем из набора Бесселевых соотношений нужные для уравнения (4.9):

cos [M sin Ωt] = I₀(M) + 2           (4.10)

sin[M sin Ωt] = 2           (4.11)

Тогда сигнал частотной модуляции представляется рядом:

 (4.12)

Спектральный состав ЧМ колебания оказывается достаточно сложным, состоящим из несущей и нескольких боковых составляющих выше и ниже по частоте относительно несущей и раздвинутых на Ω частоту модулирующего сигнала (см. рис. 4.8).

Рис. 4.8

Ширина спектра принципиально бесконечна, однако, если пренебречь составляющими с уравнением менее 1% от несущей, то ширина спектра сигнала определяется из выражения:

∆F = 2F_мод(1 + М + )

при М >> 1 можно пренебречь составляющей , и тогда

∆F = 2F_мод(1 + М),

при M < 1 в спектре остается только несущая и две боковых составляющих (рис. 4.9а).

Фаза спектральных составляющих, расположенных в нижней боковой полосе имеет для нечетных составляющих отрицательный знак (сдвинута по фазе на 180°) вследствие (4.11).

Если оценить спектр только по модулю, то спектр (рис. 4.9б) полностью совпадает со спектром АМ колебания (см. рис. 4.2).

                        а)                                        б)

Рис. 4.9

Литература:

[1] стр. 73-84. [2] стр. 96-102. [3] стр. 20.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение частотной модуляции.

2. Что такое "девиация"?

3. Что такое "индекс модуляции"? От чего он зависит и от чего не зависит?

4. Чем определяется ширина спектра ЧМ сигнала?

5. В чем отличие спектра ЧМ от АМ при малых (m < 1) индексах модуляции?

Фазомодулированный сигнал (ФМ)

S(t) = A₀ sin [ω₀t + φ(t)],                          (4.13)

у которого сдвиг фазы (по отношению с cos ω₀t) изменяется от начального значения φ₀ пропорционально модулирующему колебанию x(t):

φ(t) = φ₀ + ax(t).

Теперь модулированный ФМ сигнал:

S(t) = A₀ cos [ω₀t + φ₀ + ax(t)].

Так как мгновенное значение частоты является производной от фазы по времени (4.6), то при фазовой модуляции частота может быть определена в виде:

ω(t) =  = ω₀ + φ₀ + a ,

т.е. фазомодулированный сигнал эквивалентен сигналу с частотной модуляцией с модулирующим сигналом .

В случае, когда модулирующий информационный сигнал является, как и ранее, гармоническим (тональным), x(t) = U₀ cos Ωt (Ω << ω₀), полная фаза ФМ сигнала определяется равенством:

φ(t) = ω₀t + φ₀ + aU₀ cos Ωt

а сам фазомодулированный сигнал:

S(t) = A₀ sin[ω₀t + φ₀ + aU₀ cos Ωt].                (4.14)

Величину aU₀ = М_φ называют индексом фазовой модуляции. Так как наибольшее значение cos(Ωt + φ₀) равно 1, то М_φ численно равно максимальному отклонению начального значения фазы колебания от среднего значения φ₀.

Временные характеристики ФМ колебания представлены на рис. 4.10 (а – модулирующий сигнал, б – модулированный).

Мгновенное значение частоты ФМ сигнала:

ω(t) =  = ω₀ -∆φΩ sin Ωt = ω₀ -∆ω sin Ωt,

здесь ∆ω = ∆φΩ – девиация частоты ФМ колебания.

Спектральный состав ФМ колебания при гармонической модулирующей функции полностью совпадает со спектром ЧМ колебания при гармонической x(t); различить, где модуляция ЧМ, где ФМ невозможно.

а)

б)

Рис. 4.10

Иное положение при негармоническом модулирующем сигнале x(t). В этом случае вид модуляции можно установить по характеру изменения частоты и фазы во времени.

Покажем это на примере пилообразного модулирующего сигнала x(t).

Очевидно, что пилообразные изменения частоты ω(t) (рис. 4.11б), по форме совпадающие с x(t), свидетельствуют о наличии ЧМ, а такое же изменение φ(t) (рис. 4.11д) о наличии ФМ. Из рис. 4.11е – скачкообразные изменения частоты соответствует производной от пилообразного изменения фазы.