Кондуктивный теплообмен в цилиндрической стенке

Тепловые процессы

И аппараты

ТЕПЛООБМЕН

Химические технологические процессы протекают в заданном направлении только при определенных температурах, которые создаются путем подвода или отвода тепловой энергии (теплоты). Процессы, скорость протекания которых зависит от скорости подвода или отвода теплоты, называются тепловыми. Движущей силой тепловых процессов является разность температур между фазами. Аппараты, в которых осуществляются тепловые процессы, называются теплообменниками, в них тепло переносится теплоносителями.

Расчет теплообменных процессов и аппаратов сводится обычно к определению межфазной поверхности теплообмена. Эта поверхность находится из уравнения теплопередачи в интегральной форме. Коэффициент теплопередачи, как известно, зависит от коэффициентов теплоотдачи фаз, а также от термического сопротивления стенки. Ниже будут рассмотрены способы их определения, нахождение поля температур и тепловых потоков. Там, где это возможно, искомые величины находятся из решения уравнений законов сохранения, а в остальных случаях используются упрощенные математические модели или метод физического моделирования.

Кондуктивный теплообмен в плоской стенке

Рассмотрим теплообмен в неподвижной плоской стенке
из однородного материала, теплофизические свойства которого постоянны
(с_p, l, r = const) (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Распределение температуры в плоской стенке

Общее уравнение нестационарной теплопроводности Фурье имеет вид

                                (1)

Процесс теплообмена стационарный, тогда . Считаем,
что высота и длина гораздо больше толщины стенки d, следовательно, теплообмен по этим направлениям отсутствует, тогда температура изменяется лишь вдоль одной координаты х, отсюда имеем

Поскольку , имеем

                                               (2)

Очевидным решением этого уравнения является

,

откуда

                                             (3)

Граничные условия:

при        ;

при       

Находим  и , , тогда

.                                           (4)

Распределение T по толщине d

.                                        (5)

Из полученного уравнения (5) видно, что в плоской стенке распределение Т является прямолинейным.

Поток тепла за счет теплопроводности определяется по закону Фурье

;                                       (6)

.                                  (7)

Здесь  характеризует тепловую проводимость стенки, а  – термическое сопротивление стенки.

Для многослойной стенки термическое сопротивление отдельных стенок необходимо суммировать

.                                                 (8)

Определим количество теплоты, передаваемое за время t через площадь F

,                                                 (9)

тогда расход тепла определяется как

.                                                   (10)

Здесь F – поверхность пластины; t – время.

Однако, приведенные расчетные формулы не всегда достаточны
для практического использования. Как, например, учесть термическое сопротивление стенки при теплопередаче? Большей частью бывает,
что температуры поверхностей Т₁ и Т₂ заранее неизвестны, но зато определены температуры Т_ср1 и Т_ср2 обеих сред, омывающих стенку,
и, кроме того, соответствующие коэффициенты теплоотдачи a₁ и a₂. Тогда для случая теплопередачи расход тепла запишется

.

Кондуктивный теплообмен в цилиндрической стенке

Исходное уравнение в цилиндрической системе координат r, j, z имеет вид

.                          (11)

Считаем, что процесс теплообмена стационарный и длина цилиндра достаточно велика для того, чтобы пренебречь потоком тепла к его торцам вдоль оси z, процесс осесимметричный. При этих условиях температура является функцией только одной координаты – радиуса r (рис. 1.2):

;

или

.                                          (12)

Рис. 1.2. Распределение температуры в цилиндрической стенке

Написав уравнение (12) в виде

и разделив переменные, получим

Выполняя интегрирование, находим

.

Положив, что С = lnC₁, где C₁ – некоторая новая постоянная, получим

.

Вторичное интегрирование дает

;

T = C₁lnr + C₂.                                              (13)

Постоянные интегрирования находим из граничных условий:

при ; ;

при ; .

Отсюда

; C₂ = T₁ - C₁ lnR₁.

Окончательно

.                                    (14)

Как видно из уравнения (14) имеет место логарифмический закон распределения температуры по радиусу цилиндра.

Градиент температуры на внутренней поверхности цилиндра равен

.

В правой части уравнения для любого r в знаменателе вместо R₁ необходимо брать r.

Поток тепла за счет теплопроводности определяется как

.                                       (15)

Как видно из уравнения (15) тепловой поток зависит от координаты r
и уменьшается с возрастанием r.

Количество теплоты находим как

.                                             (16)

Здесь F = 2prL – внутренняя поверхность цилиндра, t – время, L – высота цилиндра.

Расход тепла определяется как

.                                               (17)

Если труба многослойная и состоит из n слоев, тогда для потока тепла получим

.                                    (18)

Здесь ∆T = T₁ – T_n – общая разница температуры.

Зависимость q_м и F от радиуса r не позволяет использовать традиционную форму уравнения теплопередачи для цилиндрической стенки. В этом случае используется коэффициент теплопередачи  отнесенный
к единице длины

, .

Здесь  – температуры в ядре фаз, омывающих цилиндрическую поверхность.

Для тонкостенных цилиндров, к которым можно отнести большинство труб, без большой ошибки можно использовать зависимости для плоской стенки.

Конвективный теплообмен

При конвекции перенос теплоты происходит макрообъемными частицами потока теплоносителя. Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью. Как известно, теплопроводность – явление молекулярное, конвекция – явление макроскопическое, при котором
в переносе теплоты участвуют целые слои теплоносителя с разными температурами. Конвекцией теплота переносится намного быстрее, чем теплопроводностью. Конвекция у поверхности стенки аппарата затухает.

1. Конвективный перенос теплоты описывается уравнением Фурье-Кирхгофа.

2. Закономерности течения среды описываются уравнениями Навье-Стокса (ламинарный режим) и Рейнольдса (турбулентный режим),

3. а также уравнением неразрывности.

Исследование закономерностей конвективного теплообмена можно провести в изотермической и неизотермической постановке.

В изотермической постановке сначала решаются уравнения Навье-Стокса и неразрывности, затем полученные значения скоростей используются для решения уравнения Фурье-Кирхгофа. Полученные таким способом значения коэффициентов теплоотдачи впоследствии уточняются, корректируются.

В неизотермической постановке уравнения Навье-Стокса, неразрывности и Фурье-Кирхгофа решаются совместно, с учетом зависимости теплофизических свойств среды от температуры.

Как показывают экспериментальные данные, зависимости с_р (Т), l(Т)
и   r(Т) слабые, а m(Т) – очень сильная. Поэтому обычно учитывается только зависимость m(Т). Она, эта зависимость, может быть представлена в виде зависимости Аррениуса или, проще, в виде алгебраического уравнения. Таким образом, возникают так называемые сопряженные задачи.

В последнее время разработаны методы решения многих задач теплоотдачи в ламинарных потоках жидкости с учетом зависимости вязкости жидкости от температуры. Для турбулентных течений все сложнее. Однако можно использовать приближенные численные решения с помощью компьютерных технологий.