Мгновенная мощность и энергия

Если из одной точки в другую, имеющие разность потенциалов u, перемещать бесконечно малый заряд dq, то затрачивается работа, равная энергии:

.

Производная энергии по времени является мгновенной мощностью:

Следовательно, мгновенная мощность, поступающая в приемник, равна произведению мгновенных значений тока и напряжения. Она положительна при одинаковых знаках u и i и отрицательна при разных. Положительное значение мощности означает, что мощность поступает в приемник, отрицательное – возвращается в источник питания.

Энергию, потребляемую приемником за промежуток времени от t₁ до t₂, можно определить как

.

Измеряется мощность в ваттах (Вт), [Вт]=[В А], энергия – в джоулях (Дж), [Дж]=[В А с].

Пассивные элементы электрической цепи

Сопротивление

Сопротивлением называется идеализированный элемент цепи в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Обозначение резистора приведено на рис. 1.1, буквенное обозначение – R или r.

Между напряжением на элементе, током и сопротивлением элемента существует соотношение:

,                                         (1.2)

известное как закон Ома, экспериментально установленный немецким ученым Омом в 1826 г. Величина сопротивления измеряется в омах (Ом). [Ом] = [В/А].

Сопротивление всегда положительное, т.е., направления тока через сопротивление и напряжения на нем совпадают.

Величина, обратная сопротивлению

                                                ,

 называется проводимостью. Измеряется проводимость в сименсах (См). [См] = [А/В].

Мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении, равна произведению мгновенных значений тока и напряжения:

,

т.е.,

Электрическая энергия, поглощаемая сопротивлением, равна:

Если ток постоянный (i = I = const), то

.

Емкость

Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи, приближенно заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия электрического поля. Буквенное обозначение емкости – С.

Величина емкости определяет, какой заряд q можно получить при заданном напряжении u:

                                                                                            (1.3)

или

Величина емкости измеряется в фарадах (Ф):

                                .

Заряд и напряжение всегда имеют одинаковый знак, так как емкость С>0 .

При изменении напряжения, приложенного к емкости, изменится в соответствии с (1.3) и электрический заряд. Подставив (1.3) в (1.1), получаем:

                                (1. 4.)

Не рассматривая процессы с позиций теории электромагнитного поля, отметим только, что в проводниках, соединенных с емкостью, будет протекать ток, величина которого определяется в соответствии с (1.4).

На основании выражения (1.4) напряжение на емкости

или

,

где предполагается, что до момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго, поэтому нижний предел интеграла принят равным (– ). При t = 0 напряжение на емкости равно:

,

или

                (1.5)

Условное графическое обозначение емкости с положительными направлениями токов и напряжений приведено на рис. 1.5.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна:

,

откуда видно, что если , мгновенная мощность p_c>0, т.е., емкость накапливает энергию (происходит заряд емкости), иначе происходит возврат энергии источнику питания (разряд емкости).

Энергия электрического поля в произвольный момент времени t определится по формуле:

.                   (1.6)

В выражении (1.6) предполагается, что при t = (– ) напряжение на емкости С: U_c( = 0.

Индуктивность

Если контур из проводника поместить в переменное магнитное поле, то согласно закону электромагнитной индукции (Фарадея – Максвелла) в нем наводится электродвижущая сила (ЭДС), равная:

                                          (1.7)

                 где Ф – магнитный поток, пронизывающий контур.

Измеряется поток в веберах (Вб). Согласно выражению (1.7)

                                                      .

Предположим, что контур состоит из нескольких витков (катушка), каждый из которых пронизывается своим потоком Ф_i.

Из (1.7) имеем:

 ,                    (1.7а)

где Y – потокосцепление, равное сумме всех потоков, пронизывающих все отдельные витки контура.

Когда все витки пронизываются одним потоком,

,

                             где w – число витков.

Если рассматривать изолированный контур с протекающим по нему током, то потокосцепление в этом случае носит название потокосцепления самоиндукции(соответственно ЭДС в (1.7) – ЭДС самоиндукции) и выражается как

.                                       (1.8)

Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью самоиндукции или просто индуктивностью. В общем случае под индуктивностью будем подразумевать идеализированный элемент электрической цепи, приближающийся по своим свойствам к индуктивной катушке, которая способна накапливать энергию магнитного поля.

Измеряется индуктивность в генри (Гн).

.

Потокосцепление и ток имеют одинаковый знак, т.е., индуктивность всегда положительна (L>0).

Зависимость потокосцепления от тока в общем случае нелинейная, и параметр L зависит от тока. Зависимость потокосцепления от тока называется вебер-амперной характеристикой. В том случае, когда вебер-амперная характеристика линейна, индуктивность постоянна.

Условное графическое изображение индуктивности с указанием выбранных положительных направлений тока и ЭДС самоиндукции приведено на рис. 1.7. ЭДС самоиндукции и ток направлены в одну сторону, что учитывает знак минус в уравнении (1.7).

Если же опустить этот знак, направление ЭДС самоиндукции следует изменить на противоположное

.                                           (1.9)

ЭДС самоиндукции e_L компенсируется приложенным к индуктивности напряжением:

.                                       (1.10)

Из (1.10) имеем:

или:

Нижний предел интегрирования, также как и для емкости, принят равным (– ), так как до рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго. При t = 0 ток в индуктивности равен:

,

следовательно:

                                                       (1.11)

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, равна произведению тока и напряжения:

                                        (1.12)

Из (1.12) нетрудно видеть, что эта мощность может быть как положительной (при совпадении знаков тока и его производной), т.е., потребляемой индуктивностью, так и отрицательной (при несовпадении знаков тока и его производной), когда энергия возвращается во внешнюю цепь.

Энергия магнитного поля в произвольный момент времени t определяется по формуле:

                      (1.13)

Здесь учтено, что при t = (– ) ток в индуктивности i(– ) = 0.