Основное уравнение фильтрования

Пусть движущая сила процесса фильтрования Dp создана столбом жидкости или поверхностными силами давления (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Схема фильтровальной перегородки и осадка

Определим значение скорости фильтрования . Скорость фильтрования  – это фиктивная скорость, отнесенная ко всей площади фильтрующей перегородки S. Высота слоя осадка, следовательно, и его гидравлическое сопротивление меняются с течением времени. Поэтому
по времени меняется и . Переменную скорость фильтрования определим в дифференциальной форме:

,                                   (4.13)

где V – объем фильтрата, S – площадь фильтрующей перегородки, t – продолжительность фильтрования.

Определим эту же скорость фильтрования  из гидравлического сопротивления осадка. Для расчета гидравлического сопротивления неподвижного зернистого слоя была получена следующая формула:

                 (4.14)

Коэффициент сопротивления определяется:

,

где

Обычно ввиду небольшого размера пор в слое осадка, а также малой скорости движения жидкой фазы в порах можно считать, что фильтрование в пределах осадка проистекает в ламинарном режиме.
При малых значениях Re вторым членом зависимости для l можно пренебречь. С учетом этого уравнение (4.14) можно записать в виде:

где  – сопротивление слоя осадка, m – вязкость фильтрата.

Аналогичная формула может быть записана и для фильтрующей перегородки:

                                   (4.16)

Для получения полного гидравлического сопротивления фильтра, который равняется , необходимо сложить гидравлические сопротивления осадка и фильтрующей перегородки:

                 (4.17)

Для случая, если , из (4.17) найдем :

                               (4.18)

Приравнивая (4.13) и (4.18), получим:

.                            (4.19)

Сопротивление фильтровальной перегородки  может быть принято постоянной величиной. Считаем, что при процессе
с образованием осадка в порах фильтровальной перегородки изменений
не происходят. В процессе фильтрования величина  меняется непрерывно, от нуля вначале и до максимального значения в конце процесса. Установим связь  с объемом фильтрата . Учитывая пропорциональность объемов осадка  и фильтрата  можно записать:

                              (4.20)

где  – коэффициент пропорциональности,  – высота слоя осадка.

Представим сопротивление осадка  в виде:

                                   (4.21)

где  – удельное объемное сопротивление слоя осадка. Подставляя значение  из (4.20) в (4.21), получим:

                                  (4.22)

Перепишем уравнение (4.19) с учетом (4.22):

                             (4.23)

Это и есть основное уравнение фильтрования. Из уравнения (4.23) видно, что производительность фильтра зависит прямо пропорционально от перепада давления Dp. Производительность фильтра увеличивается
с уменьшением вязкости фильтрата и уменьшается с ростом толщины осадка  и сопротивления фильтровальной перегородки.

Рассмотрим два технологических процесса фильтрования:  и .

Пусть . Этот случай реализуется, когда фильтрование идет за счет сжатого воздуха или вакуумирования.

В уравнении (4.23) разделим переменную и проинтегрируем левую часть уравнения в пределах от 0 до V, а правую – от 0 до t.

                   (4.24)

Преобразуем второе уравнение (4.24), приведя его в удобный
для использования вид:

                        (4.25)

Уравнение (4.25) может быть использовано для практических целей, если известны ,  и . Эти величины называются константами процесса фильтрования. Их можно определить экспериментально.

На практике часто встречаются случаи, когда . Тогда вторым членом левой части уравнения (4.25) можно пренебречь:

                                (4.26)

Уравнения (4.25) и (4.26) применимы как к сжимаемым, так
и к несжимаемым осадкам, поскольку при  значения  и
в процессе фильтрования остаются постоянными.

Пусть w_ф = const. Такой рабочий режим осуществляется путем нагнетания суспензии поршневым насосом. Сопротивление, встречаемое потоком фильтрата, растет с ростом толщины осадка . Поэтому постоянство  может быть обеспечено лишь при непрерывном росте разности давлений Dp. При постоянной скорости фильтрования отношение  может быть заменено отношением . Тогда получим:

                             (4.27)

Уравнение (4.27) может быть приведено к виду:

                          (4.28)

Для случая, когда  из (4.28) получим:

                                   (4.29)

Из уравнения (4.28) с учетом  найдем необходимый перепад давления  для проведения процесса фильтрования:

                       (4.30)

Уравнения (4.28)–(4.30) применимы к несжимаемым осадкам.
При использовании их для сжимаемых осадков необходимо учесть зависимость удельного сопротивления осадка  от Dp.