Вычисление вероятности сложных событий

Теория вероятности и математическая статистка в инженерном деле

Курс лекций состоит из трех частей:

1. Теория вероятности.

2. Математическая статистика.

3. Инженерные приложения.

Первые две части курса являются разделами математики и представляют собой достаточно строгий математический аппарат. Третий раздел посвящен инженерным приложениям, которые опираются на теорию вероятности и статистику, однако отличаются практической направленностью, зачастую не содержат доказательств и используют оригинальную терминологию.

Теория вероятности

Случайность -философская категория, выражающая один из предельных видов (классов) взаимосвязей и взаимодействий в мире, который характеризуется отсутствием прямого детерминированного влияния на поведение и функционирование объектов и систем. В основе случайности лежат представления о независимости, что ведет к непредсказуемости соответствующих явлений и процессов.

Случайность является составной частью структуры мира, играет важную роль в его эволюции и познании. Эта категория ответственна за наличие гибкости, изменчивости, случайность символизирует собою открытость мира, открытость будущего, встречи с ранее неизвестным.
Теория вероятности как наука родилась в ответ на потребности людей описывать процессы, для которых не годится детерминированный подход. Случайность – планируема, является одним из вариантов развития. Имеются два способа её образования:

а) она образуется как результат совместных действий множества разных причин;

Б) случайность проявляется как результат действия сил, имеющих разные цели.

В инженерном деле основными причинами случайностей и необходимости вероятностных подходов являются следующие:

1. Незнание причин явлений. По мере развития знания область существования этой причины использования вероятностного подхода должна сокращаться. Однако диалектика познания такова, что даже при расширении области знания область незнания не только не сокращается, но даже расширяется, охватывая, вместо познанных, новые области, которые открываются вниманию человечества.

2. Демон размерности – когда количество влияющих факторов слишком велико. Эта область стала активно сокращаться в эпоху компьютерных технологий, когда люди научились моделировать и анализировать огромные массивы данных.

3. В природе и обществе есть крайне неустойчивые, неравновесные системы, развитие которых зависит от столь малозаметных причин, что выглядят как случайное.

Предметом изучения теории вероятности являются случайные события,  случайные величины и случайные функции.

Случайные события

Случайное событие – это факт, который в результате опыта может произойти, а может и не произойти. События также могут быть достоверными – в определенных условиях происходят обязательно, и невозможными – не могут произойти.

Случайные события могут быть совместными и несовместными – могут или, соответственно, не могут быть результатом опыта одновременно. Зависимые и независимые события – наступление которых зависит или, соответственно, не зависит от факта наступления других событий. Поражение цели требует попадания, однако поражение при попадании не является достоверным событием.

Противоположное событие – состоит в том, что событие не произошло.

Сложное событие состоит в появлении комбинации менее сложных (элементарных) событий.

Опыт – физический процесс, в ходе которого осуществляется или не осуществляется случайное событие. Условия опыта – это известные (существующие объективно или специально созданные) события, влияющие на ход опыта. Условия опыта вместе с множеством всех возможных исходов – это испытание.

Вероятность– количественная характеристика возможности появления события в определенных условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз.

Вероятность изменяется от 0 до 1 и определяется отношением числа благоприятных исходов опыта – когда случайное событие произошло, к общему числу опытов.

Важно уметь вычислять число исходов. Для этого используются формулы комбинаторики – число перестановок и сочетаний.

Число перестановок необходимо для вычисления числа исходов, когда важен не только состав, но и их последовательность. Число перестановок по m элементов из n вычисляется по формуле:

Число сочетаний (без учета последовательности расположения) из n элементов по m вычисляется по формуле:

Условная вероятность.

Рассмотрим два события — Е и F, которые происходят друг за другом. Р (Е) — вероятность события Е. Отсюда возникают две альтернативные ситуации:

1. F от Е не зависит, и на вероятность события F не влияет то, произошло ли уже событие Е или нет.

2. Е и F — зависимы, т.е. вероятность события F зависит от того, произошло ли уже событие Е или нет. В этом случае вероятность события F называется условной.

Вероятность F при условии, что Е произошло, обозначается так:

Если Е и F независимы, тогда:

Формула полной вероятности – Вероятность появления события А , которое может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В_{1 ,} В₂, … равно сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события P(А/В_i). Связь между Р(Вi) и Р (Вi/А) описывается формулой Байеса:

.

Пример . В коробке 8 красных шаров и 6 голубых. Какова вероятность того, что из двух вытащенных наугад шаров последний будет красным?

Решение

Возможны два варианта:

1. Первым вытащен красный шар, в коробке осталось 7 красных и 6 голубых шаров;

2. Первым вытащен голубой шар, осталось 8 красных и 5 голубых шаров.

В случае 1 вероятность того, что второй вытащенный шар будет красным, равна 7/13.

В случае 2 вероятность равна 8/13.

Элементарные события, образующие сложное событие, логически связаны между собой. Самыми распространенными логическими связями являются логические «И» (пересечение, когда происходит и то, и другое элементарное событие) и «ИЛИ» (объединение, когда происходит одно из элементарных событий). 

Произведение вероятностей

Произведение (пересечение) событий – сложное событие, состоящее в том, что произошли все элементарные события. Это правило применяется, когда требуется найти вероятность того, что события А и В произойдут одновременно. Правило умножения вероятностей состоит в следующем:

Пример. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять — внутри страны, а три — на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? Решение.

Событие А — первый взятый наугад заказ — внутри страны. Событие В — второй, тоже взятый наугад заказ. Нам необходимо найти вероятность Р (АВ), поэтому по формуле:

Если число событий больше двух, то для независимых событий правило умножения вероятностей имеет следующий вид:

Если события не являются независимыми, то правило умножения вероятностей запишется как:

Сумма вероятностей

Сумма (объединение) событий – сложное событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из элементарных событий. Для простоты рассмотрим лишь два события — А и В. Правило сложения вероятностей применяется для подсчета вероятности осуществления событий А или В:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Если события А и В несовместны, то:

P(A+B) = P(A) + P(B)

Так как события А и В — несовместимые, то они не могут произойти одновременно, значит:

P(AB) = 0

Пример. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность выпадения «двойки» или нечетного числа?

Решение.

Возможны 6 исходов. Назовем событием А выпадение «двойки», а событием В — выпадение «единицы», «тройки» или «пятерки».

Решить задачу можно либо по правилу симметрии, либо используя правило сложения вероятностей.

1. По общей формуле:

2. По формуле сложения вероятностей:

два события несовместны, значит:

Отсюда

Если событий более двух, то для несовместных событий правило сложения вероятностей приобретает следующий вид:

Для совместных событий формула имеет очень сложный вид.

Вычисление вероятности сложных событий

Более сложные события представляют собой серию опытов и комбинацию всех возможных исходов. Очень важно учесть все возможные исходы, для чего составляется «дерево вероятностей», на котором отражаются последовательность экспериментов и их результаты.

Опыты представлены здесь последовательностью кружков, а каждый исход — «ветвью (линией) от соответствующего кружка. Вероятность соответствующего исхода указана около «ветви», а вероятность всего сложного события в ее конце.

Пример 6. Совет директоров состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры?

Решение.

Используем схему «дерево», где событие А — выбран бухгалтер, А* — выбран не бухгалтер (см. рис. 1).

Рис. 1. Выборы подкомитета из трех человек (А — выбран бухгалтер, А* — выбран не бухгалтер)

После составления «дерева» проставляем на каждой «ветви» вероятность исхода, которая изменяется по мере уменьшения числа возможных кандидатов. Аналогично при избрании одного бухгалтера число оставшихся неизбранными бухгалтеров уменьшается на единицу: от 3 до 2. Вероятности зависят от произошедших ранее событий.

Из диаграммы следует, что вероятность избрания всех трех бухгалтеров в члены подкомитета равна 1/56: