Экспоненциальный закон распределения

Непрерывные случайные величины и некоторые законы их распределения

Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток(интервал),называется непрерывной .

Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

(1)

Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x₁<x₂, то на основании формулы (1) имеем

(2)

Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием [x₁,x₂], ограниченной сверху кривой (рис.1).

Рис.1

Так как , а на основании формулы (1)

, то

Пример 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис.2. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам . Найти функцию распределения заданной случайной величины.

                                        Рис.2

Решение:
Используя формулу (2), имеем

По формуле (1) находим функцию распределения F(x) для заданной случайной величины.

Если , то

Если , то

Если x>4, то

Итак,

График функции F(x) изображен на рис.3.

                                                                                Рис.3

Рассмотрим некоторые наиболее употребительные в инженерной практике законы распределения непрерывных случайных величин.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины выражается формулой

Кривая распределения изображена на рис.4. Она симметрична относительно точки (точка максимума). При уменьшении ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис.5).

                                   Рис.4                                                     Рис.5

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики.

Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

Таким образом, параметры и в выражении (3) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (3) можно представить следующим образом:

                  (3.1)

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

Пример 2.

СВОЙСТВО: Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х₁;х₂) используется формула:

,где Ф-значение функции распределения в указанной точке.

ПРИМЕР 3. Случайная величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).

Экспоненциальный закон распределения

Плотность распределения вероятности экспоненциального распределения описывается формулой:

 Можно найти функцию распределения экспоненциального закона:

Основные характеристики (математическое ожидание и дисперсия) случайной величины , распределённой по экспоненциальному закону, имеют вид

Кривая экспоненциального распределения вероятностей показана на рис.6, a, а график функции распределения — на рис. 6,б.

                                Рис.6,a                                           рис.6,б
Статистический смысл параметра состоит в следующем: есть среднее число событий в единицу времени, то есть есть средний промежуток времени между двумя последовательными событиями.

Экспоненциальное (показательное) распределение часто используется в теории массового обслуживания (например, — время ожидания при техническом обслуживании или — продолжительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной

станции) и теории надёжности (например, — срок службы радиоэлектронной аппаратуры).

Пример. Случайная величина — время работы радиолампы — имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 ч, если среднее время работы радиолампы 400 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины равно 400 ч, следовательно, . Искомая вероятность есть

Распределение Вейбула

Случайная величина подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённой по закону Вейбула, имеют следующий вид:

Кривая распределения Вейбула изображена на рис.7.

                                   Рис.7
Распределение Вейбула используется в теории надежности автомобилей и тракторов , характеризует распределения сроков службы деталей и агрегатов.  Кроме того, часто используется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.