Гипергеометрическое распределение.

Дискретные случайные величины и некоторые законы их распределения.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное возможное значение, причем заранее неизвестное.

Множество всех случайных величин в зависимости от области допустимых значений делятся на три класса: дискретные случайные величины и  непрерывные случайные величины.

Дискретной (прерывистой) называют случайную величину, которая принимает лишь отдельные возможные значения с определенными вероятностями.

Наиболее наглядным примером дискретной случайной величины является величина, которая может принимать только целочисленные значения из ряда натуральных чисел – число попаданий в цель, число пассажиров в автобусе.

Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения. Соответствие между ними (возможными значениями и вероятностями) называется законом распределения дискретной случайной величины и представляется в виде ряда распределения. Ряд распределения может быть представлена в виде таблицы (таблица 1), графика Рис. 1)  или формулы.

Ряд распределения дискретной случайной величины                           Таблица 1

x			…
P(х)			…

      Рис. 1 График ряда распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной в виде формулы:

 P(X= ) = р( ) ,

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньше чем х:

F(x) = Р(Х<х)

Функция F(x) есть неубывающая функция. Для дискретных случайных величин F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Рассмотрим наиболее распространенные законы распределения дискретной случайной величины.

Биномиальное распределение.

Предположим, что производится nнезависимых испытаний,

В результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А.Пусть при каждом вероятность наступления события Апри каждом испытании равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (не наступленияА) равна P(A)=1-p=q.

Рассмотрим случайную величину m– число наступлений события Апри nнезависимых испытаний. Область изменения mсостоит из всех целых чисел от 0 до nвключительно.

Закон распространения вероятностей определяется формулой Бернулли:

P(m) =  ; = - число сочетаний

Закон распространения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным.

Закон Пуассона.

Закон распределения случайной величины Пуассона носит название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит “редкое” событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию, число распавшихся нестабильных частиц и т.д.

Закон распределения случайной величины Пуассона задается следующим образом:

P(x) =      где x = 1,2,3,….

µ > 0 - параметр

µ=np

n – число испытаний

p – вероятность наступления события

Гипергеометрическое распределение.

В партии из Nизделий имеется M (M<N) доброкачественных и N-M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим ξ. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет следующий вид:

k = 0, 1, …, min(n,M), ,