Краткое теоретическое введение

Деформацией твердого тела называется изменение формы или объема тела под действием внешних сил. Деформации, которые полностью исчезают после прекращения внешних воздействий, называются упругими. Деформации, которые не исчезают после прекращения действия внешних сил, называются пласти­ческими. Деформации реальных тел после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассмат­ривать деформации как упругие.

Характер деформаций многообразен: изгиб, сдвиг, кручение, срез, всестороннее сжатие и растяжение и т.д. Простейшей деформацией является продольное или одностороннее растяжение (сжатие) под воздействием внешней силы , приложенной вдоль оси стержня, без учета изменения попе­речных размеров стержня.

Рассмотрим однородный стер­жень длиною  и площадью поперечного сечения , к концам которого приложе­ны направленные вдоль его оси силы  и  в результате чего длина стержня изменится на величину . Деформацию рас­тяжения (сжатия) характеризуют абсолютным

                                                                                                                                 (1)

и относительным

                                                                                                                                 (2)

удлинениями, где  — начальная длина стержня;  — конечная дли­на.

Характеристикой состояния деформированного тела явля­ется механическое напряжение или просто напряжение  - отно­шение модуля силы упругости  к площади поперечного сечения  стержня:

                                                              .                                                                  (3)

Опыт показывает, что при малых деформациях напряжение  прямо пропорционально относительному удлинению . Эта за­висимость, называемая законом Гука, записывается в виде

                                                        .                                                                (4)

Относительное удлинение  приводится по модулю, так как закон Гука справедлив как для деформации растяжения, так и деформации сжатия, когда . Подставив (2) и (4) в (3), получим

                                                             .                                                              (5)

Коэффициент пропорциональности , входящий в закон Гука, называется модулем продольной деформации, или модулем Юнга. Из (5) модуль Юнга численно равен нормальному напря­жению , при котором длина стержня изменяется в два раза ( ). Для металлов величина модуля Юнга лежит в диапазоне .

Приведем (5) к виду

                                                           .                                                             (6)

Обозначим . Тогда

                                                            ,                                                                (7)

где  - коэффициент упругости.

       Согласно (7), удлинение стержня при упругой деформации прямо пропорционально действующей на стержень силе. При резонансной частоте на половине длины стержня укла­дывается нечетное число четвертей длин волн. Это условие запи­сывается так:

                                                        ,                                                            (8)

где . При  амплитуда резонансного колебания наибольшая.

Скорость распространения упругих волн v в стержне связа­на с частотой колебаний соотношением

                                                               .                                                                 (9)

Тогда (при )

                                                           .                                                               (10)

Если длина стержня много больше его поперечных разме­ров, то скорость распространения продольных колебаний в стержне равна

                                                           ,                                                                (11)

где  - плотность материала стержня.

Отсюда

                                                             .                                                              (12)

При возбуждении в образце вынужденных колебаний часть колебательной энергии превращается в энергию хаотического движения. Этот процесс называется внутренним трением. Если частота вынуждающей силы равна резонансной частоте, амплитуда колебаний достигает максимума и при отклоне­нии частоты колебаний от резонансной (в ту или иную сторону) падает до минимального значения.

Величина внутреннего трения может быть определена по формуле

                                                        ,                                                              (13)

где  - разность частот, при которой достигается половина вы­соты резонансного пика. Эта величина определяется в эксперименте.

Добротность  (характеристика, указывающая, во сколь­ко раз амплитуда вынужденных колебании при резонансе превы­шает амплитуду вынужденных колебании вдали от резонанса) и  связаны между собой соотношением

                                                   ,                                                          (14)

где  - логарифмический декремент затухания. Это соотношение справедливо в том случае, если угол  мал, что и имеет место на практике.