Дробово-раціональні рівняння

Загальні відомості про рівняння

Рівняння – це рівність, яка містить невідомі числа, які позначені буквами. Невідомі числа називаються змінними.

Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем, або розв’язком.

Розв’язати рівняння – це означає знайти всі його розв’язки або показати, що їх не існує.

Лінійні рівняння

Лінійним рівнянням з однією змінною  називаються рівняння виду , де  і  – дійсні числа, . Такі рівняння називаються також рівняннями першого степеня.

, тоді ,  при  – єдиний корінь

 – коренів немає, якщо

 – нескінченна множина коренів

Рівносильні рівняння

Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожне з них має ті самі розв’язки, що й друге. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають розв’язків.

Основні властивості рівнянь:

1.У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

2.Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3.Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

1) ;

Відповідь: 12.

2) ;

;

 – невірна числова рівність;

Відповідь: рівняння не має розв’язків.

3) ;

Відповідь: 1,8.

4) ;

Відповідь: 5.

5) ;

Відповідь: 0.

6) ;

Відповідь: –8.

7) ;

Відповідь: 7,5.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

1) ;

Відповідь: –3.

2) ;

Відповідь: 9.

3) ;

Відповідь: 4.

4) ;

Відповідь: –2.

5) ;

Відповідь: 20.

6) ;

Відповідь: –24.

7) ;

Відповідь: .

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

1) ;

Відповідь: .

2) ;

Відповідь: 3,5.

3) ;

Відповідь: 2.

4) ;

;

Відповідь: 6.

Квадратні рівняння

Рівняння, ліва частина якого є многочленом другого степеня, а права – нуль, називається квадратним рівнянням або рівнянням другого степеня.

Отже, можна дати означення:

Рівняння виду ,  називається квадратним, де  – перший (старший) коефіцієнт,  – другий (середній) коефіцієнт,  – третій коефіцієнт, вільний член рівняння.

Квадратним рівнянням будемо називати і таке, що може бути зведене до вигляду , .

Квадратне рівняння  називається неповним, якщо хоча б один з коефіцієнтів  або  дорівнюють нулю: , , .

Розв’язання неповних квадратних рівнянь:

1.

 або

2.

;

3.

Розв’язання повних квадратних рівнянь :

Корені такого рівняння обчислюються за формулою:

, .

Якщо , то рівняння має два корені .

Якщо , то рівняння має два корені, що співпадають, .

Якщо , то рівняння взагалі не має коренів на множині дійсних чисел.

Зведеним квадратним рівнянням називається рівняння виду: , тобто рівняння, в якого перший коефіцієнт дорівнює одиниці.

Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а їхній добуток дорівнює вільному члену рівняння.

Нехай  та  – корені рівняння , тоді , .

Рівняння, що зводяться до квадратних:

Існують рівняння, які зводяться до квадратних за допомогою наступних перетворень:

1.Використання формул скороченого множення.

2.Розкладання на множники.

3.Перенесення доданків із однієї частини рівняння в іншу.

4.Перетворення добутку многочленів в многочлен стандартного вигляду.

5.Введення подібних доданків.

6. Приклад 4. Розв’язати рівняння:

7. 1) ;

8.

9.

10. ;

11. Відповідь: .

12. 2) ;

13.

14.  або ;

15. ;

16. Відповідь: 0; 1.

17. 3) ;

18.

19.  або ;

20. ;

21. Відповідь: –3; 0.

22. 4) ;

23.

24. За теоремою Вієта:

25.

26. Відповідь: –7; –5.

27. 5) ;

28.

29. Відповідь: ; 2.

30. 6) ;

31.

32. Відповідь: ; 1.

33. 7) ;

34.

35.

36.

37. .

38. Відповідь: рівняння не має розв’язків на множині дійсних чисел.

39. 8) ;

40.

41.

42. Відповідь: ; 5.

43. Приклад 5. Розв’язати рівняння:

44. 1) ;

45. ;

46.

47. Відповідь: .

48. 2) ;

49.

50. За теоремою Вієта:

51.

52.

53.

54. Відповідь: –3; 8.

55. 3) ;

56.

57.

58. За теоремою Вієта:

59.

60.

61. Відповідь: 4; 9.

Дробово-раціональні рівняння

Дробово-раціональними називаються рівняння виду , де ,  – многочлени.

Розв’язання такого рівняння зводиться до розв’язання рівняння  та перевірки того, що корені його задовольняють умові , тобто задане рівняння еквівалентне системі:

Завдання для самоконтролю

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) .

Приклад 4. Розв’язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) .

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Домашнє завдання: [4]§10

Приклад 1(5), 2 (5), 3 (3), 4 (5), 5 (3), 6 (9)

Література

1. Бевз Г.П. Алгебра [Текст]: проб. підруч. для 7–9 кл. серед. шк. / Григорій Петрович Бевз. – К.: Освіта, 2000. – 303 с.

2. Годыцкий М.Г. Сборник самостоятельных и контрольных работ по математике. 10 класс [Текст] / М.Г. Годыцкий, М.П. Дорофеенко. – Минск: «Нар. асвета», 1973. – 224 с.: илл.

3. Задачи по математике. Алгебра [Текст]: справочное пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник [и др.]. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 432 с.

Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник. Ч. 1 / М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, А.Д. Кутасов [и др.]; под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 464 с.