Колебание контактного давления

Таблица 1– Величины технологических выпуклостей

Диаметр штыря dш, мм	Максимальная выпуклость fт, мм	Колебание максимальной выпуклости dfт, мм
1,0	0,06	0,01
1,5	0,09	0,025
3,0	0,09	0,02
3,5	0,11	0,01

Если штырь не касается УЭ или касается без натяга, то Р_к=0. При увеличении диаметра штыря УЭ начинает прогибаться и будет работать как балка на двух опорах с обоими защемленными концами до тех пор, пока ось УЭ не пройдет положение касательной и длина его не будет равна длине в свободном поло­жении. Распорную силу, т. е. силу, направленную по оси УЭ, практически можно принять равной нулю, так как переме­щение штыря направлено под углом 8° к оси УЭ и изгиб УЭ будет проходить не только в вертикальной плоскости, но и в горизонтальной.

Рисунок 3

 При даль­нейшем увеличении диаметра штыря УЭ будет работать как растягиваемая упругая нить с активной длиной, равной дли­не огибающих штыря и двух полукруглых опор гильзы до заделок обоих концов Удлине­ние нити L равно

,                                           (1)

где L—длина растянутой нити, L₁—длина нити в свободном со­стоянии. Длину L определяем из схемы рисунка 3:

          (2)

где R и r – расчетные значения радиусов:

R_Ш – среднее значение максимального радиуса рабочей части эллипса, полученного при сечении штыря плоскостью под углом ,  - малая полуось эллипса, равная радиусу штыря (d_Ш/2); - большая полуось эллипса, равная

следовательно,

                                          (3)

 r_г— среднее значение минимального радиуса рабочей части эллип­са, полученного при сечении гильзы плоскостью под углом 8° (для расчета можно принять r_г, равным половине толщины стенки концов гильзы); d_П—диаметр проволоки УЭ.

откуда

                        (4)

Для определения величины угла  составим систему уравнений:

Из этих уравнений находим выражения для а и приравни­ваем их:

Преобразуем уравнение:

Подставляем

Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем:

  (5)

Следовательно, получили уравнение второй степени типа  число действительных решении которого зависит от знака дискриминанта D, равного  При D<0 имеется 2 ре­шения, D=0 — одно решение, при D>0 — уравнение не имеет реше­ния. Последний случай в ГКП исключен. Параметр A определяем из рисунка 3.

                                        (6)

где - длина гильзы.

Размер В равен

Размер у определяем из уравнения эллипса:

Так как  то

Таким образом, размер В равен:

  (7)

Длина УЭ в свободном положении равна:

При наличии тexнoлогической выпуклости f_т (таблица 1) наименьшую свободную длину УЭ, при которой начинается деформа­ция растяжения, следует определять по выведенной формуле (2), нo для расчетного радиуса штыря, равного

При этом следует иметь в виду, что при условии

УЭ работает как балка на двух опорах; размеры площадки контак­тирования неопределенны; при  УЭ работает как балка на двух опорах, но длина площадки контактирования вычисляется по формуле (13), при  УЭ испытывает дополнительное растяжение.

2 Расчет усилий, напряжений и площади контактирования

Для случая работы УЭ как балки с обоими защемленными кон­цами контактное усилие будет равно:

                                  (8)

где Р_к—контактное усилие, Е—модуль упругости I рода; I_x— осевой момент инерции поперечного сечения УЭ; —длина УЭ (при работе длина УЭ будет переменной, и при увеличении прогиба онa будет уменьшаться, но при изменением длины можно пренебречь); f — перемещение УЭ в точке приложения усилия.

При увеличении прогиба УЭ (от увеличения диаметра контактного штыря) от 0 до f_макс кривизна упругой линии будет увели­чиваться и при некотором значении f₁ будет равна радиусу кривизны эллипса штыря. При этом размеры площадки контактирования будет возрастать. При радиусе кривизны УЭ, равной радиусу кривизны эллипса штыря, УЭ будет касаться штыря по некоторой линии, и при больших величинах перемещения УЭ линия касания контактов будет увеличиваться.

Радиус кривизны упругой линии УЭ равен:

                                  (9)

Из уравнения (8) находим значение Р_к и подставляем в уравнение кривизны:

                                                    (8а)

                                                            (10)

Откуда следует, что прогиб f₁, будет равен (при R_y=R)

                                                  (11)

Прогиб f₁ отсчитывается от положения касательной к опорам. Величину кажущейся площади точечного контактирования УЭ с контактным штырем определяем при помощи уравнения Герца:

                                  (12)

При прогибе УЭ, равной f₁, длина линии контактирования будет равна:

                 (13)

Контактное усилие Р_к приложено на всей длине контактирования; при равномерном распределении контактное давление равно:

                                                 (14)

Расчет кажущейся площади контактирования приведен ниже. Максимальное напряжение при чистом изгибе УЭ будет равно:

                     (15)

При растяжении УЭ удлинение вызовет напряжение растяжения:

                         (16)

Это уравнение справедливо при отсутствии сил трения на участках касания УЭ с неупругими деталями.

Силы трения УЭ о штырь и боковые опоры гильзы уменьшат растяжение на участках трения за счет местных сдвигов напряженных слоев в зоне трения, в результате чего возрастет удлинение УЭ па свободные участках и увеличится напряжение растяжения . Однако это увеличение практически небольшое. В то же время смятие на участке контактирования снизит напряжение растяжения в УЭ, поэтому влиянием изменения напряжения растяжения в УЭ oт усилий трения и контактного смятия из-за незначительности и взаимного компенсирования можно пренебречь.

При прогибе УЭ больше f₁ длина линии контактирования будет изменяться и затем станет равной :

                                     (17)

Для определения усилий в контактной зоне выделим в УЭ элемент, ограниченный двумя секущими радиальными плоскостями, расположенными под углом  (рисунок 4).

Рисунок 4

В сочлененном состоянии элемент растягивается двумя силами S, расположенными под углом 180°—  Геометрическая сумма их равна контактному усилию, приложенному на участке длиной :

.

Просуммировав контактные усилия всех элементов, расположен­ных на участке контактной зоны единичной длины, получим вели­чину единичного контактного усилия р_л:

                                  (18)

где —центральный угол, соответствующий единичной длине дуги эллипса штыря:

                                       (19)

Усилие растяжения УЭ определяется напряжением растяжения

                                     (20)

следовательно, уравнение (П.18) принимает вид:

                                 (21)

Контактное усилие от растяжения в зоне контактирования при равномерно распределенном усилии р_л равно

                 (22)

Величину кажущейся площади контактирования одного УЭ со штырем при  определяем по формуле Герца для случая каса­ния плоскости с цилиндром длиной  и диаметром d_п, сжатых рав­номерно распределенным по длине усилием р_л

            (23)

где р_л — усилие, приходящееся на единицу длины,

                                 (24)

Для применяемых в ГКП контактных материалов  при этом формула (24) имеет вид

                                                               (23а)

где Е — приведенный модуль упругости

Подставляем значения Р_к (формула П.22) и A_к (П.23а) в фор­мулу (П.14):

      (25)

При совместном воздействии на УЭ изгиба и растяжения кон­тактное усилие будет равно сумме усилий, вызывающих оба вида деформаций:

                                                                                    (26)

Следовательно, и суммарное напряжение в опасном сечении будет равно сумме напряжений от обоих видов деформации:

                         (27)

Колебание контактного давления

Колебание контактного давления влияет на изменение пере­ходного сопротивления переходной зоны [2, З]. Оно определяется изменением первичных параметров, входящих в уравнение контакт­ного усилия, в пределах допусков Величина возможного колебания давления зависит от величины и сочетания этих допусков и опре­деляется путем последовательного дифференцирования полного уравнения контактного усилия относительно первичных переменных параметров и сложения абсолютных значений результатов [З].

Для определения уравнения контактного давления дифференцируем уравнение (25) по переменным первичным параметрам:

       (28)

Относительная величина колебания контактного давления будет равна:

                 (29)

Следовательно,

                     (29a)

Аналогично определяем величину центрального угла :

Колебание напряжения вычисляется следующим образом:

                            (30)

Относительная величина колебания напряжения растяжения равна:

                         (31)

Колебание длины L в напряженном состоянии определяется по формуле (2):

      (32)

Колебания первичных параметров длины L равны:

                           (33)

Таким образом, абсолютное значение предельного колебания контактного давления без учета перекосов, аксиального смещения штыря и при отсутствии механического воздействия на ГКП (вибраций, ударов и т. п.) будет равно:

 Относительная величина предельного колебания контактного давления будет равна:

         (35)

В случае работы УЭ как балки на двух опорах колебание контактного усилия определим путем дифференцирования уравнения (8):

(36)

Колебание момента инерции УЭ равно:

                                  (37)

Относительная величина колебания контактного усилия равна:

(38)

Колебание контактного усилия при растяжении и изгибе УЭ равно:

                             (39)