Для групп КМБО-01-16, КМБО-02-16, КМБО-03-16 (4-ый семестр)

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ

По дисциплине «Методы комплексного анализа»

для групп КМБО-01-16, КМБО-02-16, КМБО-03-16 (4-ый семестр)

1) Комплексные числа и действия над ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Комплексно-сопряженное число.

2) Последовательности комплексных чисел. Определение предела последовательности комплексных чисел. Понятие бесконечно удаленной точки и расширенной комплексной плоскости. Сфера Римана.

3) Кривые и области на комплексной плоскости.

4) Определение функции комплексной переменной. Определение однолистной функции на заданном множестве. Определение многозначной функции. Основные элементарные функции комплексной переменной: дробно-рациональная, показательная, тригонометрические, гиперболические, логарифмическая, общая степенная, общая показательная, обратные тригонометрические и гиперболические функции.

5) Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

6) Определение производной функции комплексной переменной в точке. Условия Коши-Римана. Определение аналитической функции. Условия Коши-Римана в полярных координатах. Гармоничность действительной и мнимой части аналитической функции.

7) Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения. Критерий конформности.

8) Конформные отображения, осуществляемые линейной, степенной и показательной функциями.

9) Дробно-линейная функция. Аналитичность, однолистность. Свойства дробно-линейного отображения: групповое свойство, круговое свойство, свойство сохранения симметрии, единственность дробно-линейного отображения, переводящего три различные точки в три различные точки.

10) Функция Жуковского . Аналитичность, область однолистности. Образы окружностей и лучей при отображении функцией Жуковского. Примеры отображений, осуществляемых функцией Жуковского. Профили Жуковского.

11) Регулярные ветви многозначных функций: . Конформные отображения, ими осуществляемые. Функция, обратная функции Жуковского.

12) Конформные отображения, осуществляемые тригонометрическими и гиперболическими функциями.

13) Применение принципа симметрии для отображения областей с разрезами. Отображения круговых луночек.  

14) Определение интеграла от функции комплексной переменной, его связь с криволинейными интегралами.

15) Интегральная теорема Коши для односвязной области. Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

16) Интеграл от аналитической функции, его независимость от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.

17) Интегральная формула Коши для аналитической функции. Существование производных всех порядков у аналитической функции.

20) Разложение аналитической в круге функции в ряд Тейлора. Формулы для коэффициентов.

21) Ряд Лорана. Разложение функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана.

22) Изолированные особые точки однозначного характера и их классификация.

23) Определение ряда Лорана в окрестности конечной особой точки и в окрестности бесконечно удаленной точки. Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки, в окрестности полюса и в окрестности существенно особой точки.

24) Нули аналитической функции. Связь между порядком нуля и порядком полюса.

25) Определение вычета функции в конечной точке. Вычисление вычета в простом и кратном полюсе. Определение вычета функции в бесконечно удаленной точке.

26) Первая теорема о вычетах. Вторая теорема о вычетах.

27) Приложение теории вычетов к вычислению несобственных интегралов от рациональных функций.

28) Лемма Жордана. Вычисление несобственных интегралов вида , где  - правильная рациональная дробь, .

29) Теорема о логарифмическом вычете.

30) Принцип аргумента.

31) Теорема Руше.

32) Теорема Лиувилля.

33) Теорема единственности. Понятие об аналитическом продолжении.

Литература:

1) Шабунин М.И., Сидоров Ю.В. Теория функций комплексного переменного. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. – 248 с.

2) Сборник задач по математике для ВТУЗов в 4 частях под общей редакцией А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. Ч3. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2007.

3) Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М. Наука, 1989.

4) Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2009.

6) Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2002.

7) Краснов М.Л., Киселев А.М. и др. Вся высшая математика. Часть 4. Эдиториал. УРСС. М. 2001.

8) Теория функций комплексной переменной. Лекции и практикум. Под общей редакцией И.М. Петрушко. Санкт-Петербург: Изд-во «Лань», 2010.

9) Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. Сборник задач с решениями. / В.Г. Крупнин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов. – М.: Издательский дом МЭИ, 2012.

10) Шабунин М.И., Половинкин Е.С., Карлов М.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — 365 с.

11) Половинкин Е.С. Теория функций комплексного переменного. М.:МНФРА-М, 2018 – 254 с.