Выпишем отдельно найденные переменные Х

Вариант 4

Исходные задания

1. Решить методом Гаусса СЛАУ

4  1   1 4

1   5   1    9

2   2   5   16

2. Решить методом последовательных приближений систему

 8X₁ + X₂ + X₃ = 8

 X₁ + 5X₂ – X₃ = 7       

 X₁ – X₂ + 5X₃ = 7

3. Решить методом Крамера СЛАУ

5X₁ + 2X₂ + 5X₃ = 4

3X₁ + 5X₂ – 3X₃ = –1

 –2X₁ – 4X₂ + 3X₃ = 1

4. Найдите вещественные корни уравнения

X⁵ – 4*X + 3 = 0

с помощью методов дихотомии, хорд и Ньютона.

Определите количество итераций разных методов, требуемых для достижения точности . Построить график заданной функции и определить интервалы [a,b], где расположены вещественные корни уравнения.

5. Используя методы численного дифференцирования с заданной точностью (формулу центральной разницы в 4 узлах ) и приближенные методы решения уравнений найти значение производной в указанной точке :

Решение

1. Решить методом Гаусса

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Работаем со столбцом №1

Умножим 2-ю строку на (k = -1 / 2 = ^-1/₂) и добавим к 3-й:

Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 4 = ^-1/₂) и добавим к 2-й:

Работаем со столбцом №2

Умножим 2-ю строку на (k = -4 / ³/₂ = ^-8/₃) и добавим к 3-й:

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₁ = 1 - (¹/₄x₂ + ¹/₄x₃)

x₂ = ²⁸/₃ - (3x₃)

x₃ = ²¹⁸/₈₁

Из 3-ой строки выражаем x₃

x₃ = ²¹⁸/₈₁
Из 2-ой строки выражаем x₂

x₂ = ²⁸/₃ - 3•²¹⁸/₈₁ = ³⁴/₂₇

Из 1-ой строки выражаем x₁

x₁ = 1 - ¹/₄•³⁴/₂₇ - ¹/₄•²¹⁸/₈₁ = ¹/₈₁

2. Решить методом последовательных приближений

Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.

Приведем к виду:

x₁=1+0.13x₂+0.13x₃
x₂=1.4+0.2x₁-0.2x₃
x₃=1.4+0.2x₁-0.2x₂
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x₁=1 - 0 • 0.125 - 0 • 0.125=1

x₂=1.4 - 0 • 0.2 - 0 • (-0.2)=1.4

x₃=1.4 - 0 • 0.2 - 0 • (-0.2)=1.4

N=2
x₁=1 - 1.4 • 0.125 - 1.4 • 0.125=0.65

x₂=1.4 - 1 • 0.2 - 1.4 • (-0.2)=1.48

x₃=1.4 - 1 • 0.2 - 1.4 • (-0.2)=1.48

N=3
x₁=1 - 1.48 • 0.125 - 1.48 • 0.125=0.63

x₂=1.4 - 0.65 • 0.2 - 1.48 • (-0.2)=1.566

x₃=1.4 - 0.65 • 0.2 - 1.48 • (-0.2)=1.566

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[∑|α_ij|] = 0.2 + 0.2 = 0.4< 1

max[|x⁶,x⁷|] = ρ(x⁶, x⁷) = |1.599 - 1.599| = 0.000981

Вычисляем погрешность:

3. Решить методом Крамера

Запишем систему в виде:

B^T = (4,-1,1)

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Определитель:
∆ = 5 • (5 • 3-(-4) • (-3))-3 • (2 • 3-(-4) • 5)+(-2) • (2 • (-3)-5 • 5) = -1

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 4 • (5 • 3-(-4) • (-3))-(-1) • (2 • 3-(-4) • 5)+1 • (2 • (-3)-5 • 5) = 7

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 5 • ((-1) • 3-1 • (-3))-3 • (4 • 3-1 • 5)+(-2) • (4 • (-3)-(-1) • 5) = -7

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 5 • (5 • 1-(-4) • (-1))-3 • (2 • 1-(-4) • 4)+(-2) • (2 • (-1)-5 • 4) = -5

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Проверка.
5•-7+2•7+5•5 = 4

3•-7+5•7-3•5 = -1

-2•-7-4•7+3•5 = 1

4. Найдите вещественные корни уравнения

Найдем корни уравнения:

x⁵-4 • x+3 = 0

Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).

Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=¹/₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:

1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.

2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].

3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].

Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:

b_n-a_n=¹/₂ⁿ(b-a)

В качестве корня ξ. возьмем ¹/₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие:

(b_n – a_n)/2 < ε

то процесс поиска заканчивается и ξ = ¹/₂(a_n+b_n).

Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].

Итерация 1.

Находим середину отрезка: c = (-10 + 10)/2 = 0

F(x) = 3

F(c) = -99957

Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=0

Итерация 2.

Находим середину отрезка: c = (-10 + 0)/2 = -5

F(x) = -3102

F(c) = 3

Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=-5

Итерация 3.

Находим середину отрезка: c = (-5 + 0)/2 = -2.5

F(x) = -84.656

F(c) = -3102

Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=-2.5

Итерация 4.

Находим середину отрезка: c = (-2.5 + 0)/2 = -1.25

F(x) = 4.948

F(c) = -84.656

Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=-1.25

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Таким образом, в качестве корня можно принять:

x=(-1.5601-1.56)/2 = -1.56

Ответ:x = -1.56; F(x) = 3.0E-5

Используем Метод Ньютона.

Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня x_n-1. Тогда n-ое приближение x_n мы можем получить следующим образом. Положим:

x_n = x_n-1 + h_n-1

Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке x_n-1, получим:

f(x_n) = f(x_n-1+h_n-1) = f(x_n-1) + f’(x_n-1)h_n-1=0

Отсюда следует:

Подставим h_n-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.

Находим первую производную:

dF/dx = 5•x⁴-4

Находим вторую производную:

d²F/dx² = 20•x³

Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].
Вычисляем значения функций в точке a = -10.

f(-10) = -99957

f''(-10) = -20000

Поскольку f(a)•f''(a) > 0, то x₀ = a = -10

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = -1.56 - (0) / 25.6151 = -1.56004070; F(x) = 0

Используем Метод хорд.

Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.

Уравнение хорды:

В точке x=x₁, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:

1. f(x1)f(b)<0,

2. f(x1)f(a)<0.

Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x₁, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x₁. Здесь выполняется f(x₁)f(a)<0. Затем вводим b₁=x₁ (в формуле точку b заменяем на x₁), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:

|x_n – x_n-1|< ε, ξ = x_n.

Находим первую производную:

dF/dx = 5•x⁴-4

Находим вторую производную:

d²F/dx² = 20•x³

Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].
Вычисляем значения функций в точке a = -10

f(-10) = -99957

f''(-10) = -20000

Поскольку f(a)•f''(a) > 0, то x₀ = a = -10

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = -0.0303-(-0.0306) = -0.03056365; F(x) = 3.122