МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

ЗАДАНИЯ и методические указания

к выполнениюконтрольных работ по дисциплине

«теория игр»

для студентов заочной формы обучения

Направление подготовки 38.03.01 (080100.62)Экономика

профиль подготовки «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

профиль подготовки «Экономика предприятий и организаций»

Екатеринбург

РГППУ

2015

Задания и методические указания к выполнению контрольных работпо дисциплине «Теория игр». Екатеринбург, ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», 2015.– 39 с.

Автор:канд. физ.-мат. наук С.Д. Филиппов

Одобрена на заседании кафедры физико-математических дисциплин. Протокол от 01.09.2015 г. № 1.

Рекомендована к печати методической комиссией института психолого-педагогического образования РГППУ. Протокол от  17.09.2015 № 1 .

© ФГАОУ ВПО«Российский

Государственныйпрофессионально-

 педагогический университет», 2015

                        © С.Д. Филиппов, 2015

Цель контрольных работ – закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала по данной дисциплине, а также выявление их умения применять полученные знания на практике.

Указания к выполнению контрольных работ

При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера зачетной книжки.

2. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради.

3. На обложке тетради должны быть ясно написаны название дисциплины, номер контрольной работы, фамилия студента, его инициалы, номер группы и шифр профилизации, шифр зачетной книжки.

4. В начале работы должен быть указан номер варианта задания.

5. Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие.

6. Решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями.

7. В конце работы должна стоять подпись студента с указанием даты ее выполнения.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задания 1-2

Для данных платежных матриц:

1) найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2) сделать вывод о существовании решения игры в чистых стратегиях;

3) если игра имеет решение в чистых стратегиях, найти решение игры: стратегии игроков и цену игры.

1.01 ; 1.02 ;

1.03 ; 1.04 ;

1.05 ; 1.06

1.07 ; 1.08 ;

1.09 ; 1.10 ;

Задание2

2.01 ; 2.02 ;

2.03 ; 2.04 ;

2.05 ; 2.06

2.07 ; 2.08 ;

2.09 ; 2.10 ;

Задания 3-6

Для данных платежных матриц:

1)  найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2)  упростить данную платежную матрицу, исключив из неё доминируемые строки и столбцы, соответствующие заведомо невыгодным стратегиям Получателя и Плательщика;

3)  выявить активные стратегии игроков графическим методом при усло­вии его применимости;

4)  найти решение игры: смешанные стратегии игроков и цену игры.

3.01 ; 3.02 ;

3.03 ; 3.04 ;

3.05 ; 3.06

3.07 ; 3.08 ;

3.09 ; 3.10 ;

Задание 4

4.01 ; 4.02 ;

4.03 ; 4.04 ;

4.05 ; 4.06

4.07 ; 4.08 ;

4.09 ; 4.10 ;

Задание 5

5.01 ; 5.02 ;

5.03 ; 5.04 ;

5.05 ; 5.06

5.07 ; 5.08 ;

5.09 ; 5.10 ;

Задание 6

6.01 ; 6.02 ;

6.03 ; 6.04 ;

6.05 ; 6.06

6.07 ; 6.08 ;

6.09 ; 6.10 ;

Задание7

Для данной матрицы:

1. упростить матрицу, исключив из неё доминируемые строки, соот­ветствующие заведомо невыгодным стратегиям активного игрока;

2. восстановить пропущенную вероятность одной из гипотез о «пове­дении природы»;

3.выявить оптимальную стратегию активного игрока по математическому ожиданию прибыли;

4. выявить оптимальные стратегии активного игрока, применяя

4.1.опти­мистический критерий

4.2 пессимистический (Вальде) критерий,

4.3. критерий Гурвица (при д = 0,3),

4.4. критерий Сэвиджа.

7.01 ; 7.02 ;

7.03 ; 7.04 ;

7.05 ; 7.06

7.07 ; 7.08 ;

7.09 ; 7.10 ;

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

В данном разделе приведены образцы выполнения заданий, содержащихся в контрольной работе.

Задания 1.1 – 1.10

Для данной платежной матрицы:

1)найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2) сделать вывод о существовании решения игры в чистых стратегиях;

3) если игра имеет решение в чистых стратегиях, найти решение игры: стратегии игроков и цену игры.

Решение

1) Введем обозначения стратегий первого игрока (Получателя) и второго игрока (Плательщика)

Найдем нижнюю цену игры

Нижняя цена реализуется при использовании Получателем стратегии X2.

Найдем верхнюю цену игры

Верхняя цена реализуется при использовании Плательщиком стратегии Y1.

2) Сравнивая a и b ( ) делаем вывод:

-  верхняя и нижняя цены игры не совпадают,

- цена игры с лежит в диапазоне

:

- игра не имеет решения в чистых стратегиях (следует искать смешанную стратегию).

- седловая точка отсутствует, значит, и обе стратегии первого игрока, и обе стратегии второго игрока являются активными.

Ответ:

1) Нижняя цена игры , верхняя цены игры .

- 2) Так как нижняя и верхняя цены игры не совпадают, решение игры не существует в чистых стратегиях.

-

Задания2.1 –2.10

Для данной платежной матрицы

1)найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2) сделать вывод о существовании решения игры в чистых стратегиях;

3) если игра имеет решение в чистых стратегиях, найти решение игры: стратегии игроков и цену игры.

Решение

1) Введем обозначения стратегий первого игрока (Получателя) и второго игрока (Плательщика)

Найдем нижнюю цену игры

Нижняя цена реализуется при использовании Получателем стратегии X2.

Найдем верхнюю цену игры

Верхняя цена реализуется при использовании Плательщиком стратегии Y2.

2)Сравнивая a и b ( ) делаем вывод:

-  верхняя и нижняя цены игры совпадают,

- цена игры :

3)игра имеет решения в чистых стратегиях X2и Y2.

Ответ:

1)Нижняя цена игры , верхняя цены игры .

2) Так как нижняя и верхняя цены игры совпадают, решение игры существует в чистых стратегиях.

3) Цена игры . Её доставляют чистые стратегииX2и Y2.

Задания3.1 –3.10

Для данной платежной матрицы

1) найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2) упростить данную платежную матрицу, исключив из неё доминируемые строки и столбцы, соответствующие заведомо невыгодным стратегиям Получателя и Плательщика;

3) выявить активные стратегии игроков графическим методом при условии его применимости;

4) найти решение игры: смешанные стратегии игроков и цену игры.

Решение

1) Введем обозначения стратегий первого игрока (Получателя) и второго игрока (Плательщика)

Найдем нижнюю цену игры

Нижняя цена реализуется при использовании Получателем стратегии X1.

Найдем верхнюю цену игры

Верхняя цена реализуется при использовании Плательщиком стратегии Y4.

Сравнивая a и b ( ) делаем вывод:

-  верхняя и нижняя цены игры совпадают,

- цена игры :

игра имеет решения в чистых стратегиях

2) Сравним строки данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Получателю стратегий. Составим матрицу разностей элементов строк ,соответствующим стратегиям

Отсюда следует, что X1>X3 (X1доминирует X4) и X1>X4 т.к. все элементы строк - разностей неотрицательны.

Отсюда следует, что X3>X2, X4>X2

Так как оставшиеся строки - разности содержат как положительные так и отрицательные элементы, то больше невыгодных стратегий Получателя нет.

Упрощаем платежную матрицу, вычеркивая из нее строки, соответствующие стратегиям X3 и X4

Таким образом, активными стратегиями Получателя являются только X1иX2

Сравним теперь стратегии плательщика по полученной упрощенной матрице.Сравним столбцы данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Плательщику стратегий. Составим матрицу разностей элементов столбцов,соответствующим стратегиям Плательщика

Все элементы третьего столбца разностей неотрицательны, отсюда следует, что Y1невыгодная по сравнению с Y4( Плательщик минимизирует платежи) Y4>Y1.

Элементы обоих столбцов разностей неотрицательны, отсюда следует, что Y2заведомо невыгодная по сравнению с Y3 (Y3>Y2) и Y2заведомо невыгодная по сравнению с Y4 (Y4>Y2) .

Отсюда следует, что Y3заведомо невыгодная по сравнению с Y4. Таким образом, активной стратегией Плательщика является только Y4.

Упрощаем платежную матрицу, вычеркивая из нее столбцы, соответствующие стратегиям Y1, Y2, Y3

Cучетом доминирования X1>X2 окончательно получаем.

3)Графический метод не применим т.к. упрощенная платежная матрица выродилась в одноэлементную матрицу.

4) Цена игры С=5. Её доставляют чистые стратегии X1 и Y4.

Ответ:

1)Нижняя цена игры , верхняя цены игры .

2) Поэлементное сравнение стратегий позволяет выявить и исключить из рассмотрения заведомо невыгодные стратегии X2, X3, X4, Y1, Y2 и Y3.

3) Графический метод не применим.

4) Цена игры . Её доставляют чистые стратегии X1 и Y4.

Задания4.1 –4.10

Для данной платежной матрицы

1) найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2) упростить данную платежную матрицу, исключив из неё доминируемые строки и столбцы, соответствующие заведомо невыгодным стратегиям Получателя и Плательщика;

3) выявить активные стратегии игроков графическим методом при усло­вии его применимости;

4) найти решение игры: смешанные стратегии игроков и цену игры.

Решение

1) Введем обозначения стратегий первого игрока (Получателя) и второго игрока (Плательщика)

Найдем нижнюю цену игры

Нижняя цена реализуется при использовании Получателем стратегии X1.

Найдем верхнюю цену игры

Верхняя цена реализуется при использовании Плательщиком стратегии Y4.

Сравнивая a и b ( ) делаем вывод:

-  верхняя и нижняя цены игры не совпадают,

- цена игры :

игра не имеет решения в чистых стратегиях

2)  Сравним строки данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Получателю стратегий. Составим матрицу разностей элементов строк,соответствующим стратегиям

Отсюда следует, что X1>X3 (X1доминирует X3) и X1>X4 т.к. все элементы строк - разностей неотрицательны.

Так как оставшиеся строки - разности содержат как положительные, так и отрицательные элементы, то больше невыгодных стратегий Получателя нет.

Упрощаем платежную матрицу, вычеркивая из нее строки, соответствующие стратегиям X3 и X4

Таким образом, активными стратегиями Получателя являются только X1иX2.

Продолжим упрощение платежной матрицы.

Сравним теперь стратегии плательщика по полученной упрощенной матрице.

Сравним столбцы данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Плательщику стратегий. Составим матрицу разностей элементов столбцов,соответствующим стратегиям Плательщика

Все элементы второго и третьего столбцов - разностей неотрицательны, отсюда следует, что Y1заведомо невыгодная по сравнению с Y3 и Y4( Плательщик минимизирует платежи) Y3>Y1, Y4>Y1.

Элементы в каждом из столбцов имеют разные знаки, следовательно, невыгодных стратегий не обнаружено.

Отсюда следует, что Y3выгоднее, чем Y4. Таким образом, активными стратегиями  Плательщика являютсяY2 иY3.

Упрощаем платежную матрицу, вычеркивая из нее столбцы, соответствующие стратегиям Y1иY4.

Дальнейшему упрощению матрица не поддается.

3) Нижняя иверхняя цены игры не совпадают, поэтому обе стратегии и Получателя и Плательщика являются активными. Это можно подтвердить графическим методом.

Для этого построим отрезки прямых, проходящих, соответственно, через точки с координатами

Получим

Рис. 1

Из рисунка видно, что стратегии Y1,Y2 заведомо невыгодные, а Y3 и Y4 являются активными.

4) Пусть с – цена игры , x₁,x₂ вероятности, с которыми, соответственно, применяются стратегии X1, X2, а y₂,y₃- вероятности, с которыми, соответственно, применяются стратегии Y2, Y3. Тогда для Плательщикаимеем

Получили систему линейных уравнений относительно неизвестных

. Решая ее, например, методом подстановки, получим

Для Получателяполучим

Решая ее, получим

Ответ:

1)Нижняя цена игры , верхняя цены игры .

2) Поэлементное сравнение стратегий позволяет выявить и исключить из рассмотрения заведомо невыгодные стратегии X3, X4, Y1и Y4.

3) Графический метод позволяет выявить активные стратегии ПлательщикаY2 и Y4,

4) Цена игры . Её доставляют 

смешанная стратегия Плательщика

смешанная стратегия Получателя .

Задания5.1 –5.10

Для данной платежной матрицы

1) найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2) упростить данную платежную матрицу, исключив из неё доминируемые строки и столбцы, соответствующие заведомо невыгодным стратегиям Получателя и Плательщика;

3) выявить активные стратегии игроков графическим методом при усло­вии его применимости;

4) найти решение игры: смешанные стратегии игроков и цену игры.

Решение

1) Введем обозначения стратегий первого игрока (Получателя) и второго игрока (Плательщика)

Найдем нижнюю цену игры

Нижняя цена реализуется при использовании Получателем стратегии X1.

Найдем верхнюю цену игры

Верхняя цена реализуется при использовании Плательщиком стратегии Y4.

Сравнивая a и b ( ) делаем вывод:

-  верхняя и нижняя цены игры  не совпадают;

- цена игры :

- игра не имеет решения в чистых стратегиях.

2)  Сравним строки данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Получателю стратегий. Составим матрицу разностей элементов строк,соответствующим стратегиям

Отсюда следует, что стратегия Х1заведомо невыгодная по сравнению с остальными стратегиями

Из анализа данной матрицы делаем вывод, что стратегия Х2 доминирует стратегию Х3 (X2>X3).

Последняя строка - разность содержит как положительные, так и отрицательные элементы, поэтому других невыгодных стратегий Получателя нет.

Упростим платежную матрицу, вычеркивая из нее 1-ой и 3-ей строк ?,.

Сравним теперь стратегии плательщика.

Сравним столбцы данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Плательщику стратегий. Составим матрицу разностей элементов столбцов,соответствующим стратегиям Плательщика

Все элементы второго столбцанеотрицательны  , следовательно , Y2<Y4

Элементы в каждом из столбцов полученных матриц имеют разные знаки,       следовательно, дальнейшего упрощения матрицы произвести не удастся.

    3) Найдем активные стратегии Получателя графическим методом.  Для этого построим отрезки прямых,  проходящих, соответственно, через точки с координатами

Получим

Рис.2

Точка М(Рис.2 )имеет наибольшую  ординату на нижней  границе получившейся фигуры. Точка М является точкой пересечения прямых Y1 и Y3, поэтому этидвестратегии являются активными. Зная об этом, можно рассмотреть следующее  упрощение платежной матрицы:

3) Пусть с – цена игры , x2,x4 - вероятности, с которыми, соответственно, применяются стратегии X2, X4, аy1,y3- вероятности, с которыми, соответственно, применяются стратегии Y1, Y3. Тогда для Плательщика имеем

Получили систему линейных уравнений относительно неизвестных 

. Решая ее, например, методом подстановки, получим

Для Получателя получим

Решая ее, получим

Ответ:

1)Нижняя цена игры , верхняя цены игры .

2) Поэлементное сравнение стратегий позволяет выявить и исключить из рассмотрения заведомо невыгодные стратегии X1 и X3.

3) Графический метод позволяет выявить активные стратегии ПлательщикаY1 и Y3,

4) Цена игры . Её доставляют 

смешанная стратегияПлательщика

смешанная стратегияПолучателя .

Задания6.1 –6.10

Для данной платежной матрицы

1) найти и сравнить нижнюю и верхнюю цены игры;

2) упростить данную платежную матрицу, исключив из неё доминируемые строки и столбцы, соответствующие заведомо невыгодным стратегиям Получателя и Плательщика;

3) выявить активные стратегии игроков графическим методом при усло­вии его применимости;

4) найти решение игры: смешанные стратегии игроков и цену игры.

Решение

1) Введем обозначения стратегий первого игрока (Получателя) и второго игрока (Плательщика)

Найдем нижнюю цену игры

Нижняя цена реализуется при использовании Получателем стратегии X1.

Найдем верхнюю цену игры

Верхняя цена реализуется при использовании Плательщиком стратегии Y4.

Сравнивая a и b ( ) делаем вывод:

-  верхняя и нижняя цены игры  не совпадают,

- цена игры :

игра не имеет решения в чистых стратегиях

2) Сравним строки данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Получателю стратегий. Для этого составим матрицы разностей элементов строк,соответствующим стратегиям

Отсюда следует , что стратегия Х4 заведомо невыгодная по сравнению со стратегией Х1.

Из анализа данной матрицы делаем вывод,что стратегий заведомо невыгодных по сравнению с Х2 нет.

Последняя строка -разность содержит как положительные так и отрицательные элементы, поэтому других невыгодных стратегий Получателя нет.

Упростим платежную матрицу, вычеркивая из нее 4-ую строку.

Сравним теперь стратегии Плательщика.

Сравним столбцы данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных Плательщику стратегий. Составим матрицу разностей элементов столбцов,соответствующим стратегиям Плательщика

Из анализа элементов матрицы делаем вывод , что стратегия Y1 заведомо невыгодная по сравнению со стратегией Y3.

Элементы столбцов матрицы содержат как положительные так и отрицательные элементы , поэтому заведомо невыгодных стратегий нет.

Относительно данной матрицы делаем аналогичный вывод. Следовательно, получаем окончательное упрощение платежной матрицы:

    3) Так как число и строк и столбцов больше двух графический метод определения активных стратегий не применим.

    4) Решим игру сведением ее к задаче линейного программирования.

Решим сначала игровую задачу со стороны Плательщика. Обозначим вероятности его стратегий Y2,Y3 и Y4 величинами y₂,y₃,y₄ , соответственно. Пусть с – цена игры, тогда

Так как число и строк и столбцов больше двух графический метод определения активных стратегий не применим.

Разделим все части уравнений и неравенств на с (с>0). Введем новые переменные

Рассмотрим задачу линейного программирования

Решая эту задачу каким-нибудь способом, например, симплекс-методом или используя компьютерные программы, получим приближенное решение

Откуда получаем

Проведем проверку найденной смешанной стратегии Платель­щика по всем стратегиям Получателя и сделаем выводы:

- найденная смешанная стратегия Плательщика удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к ней: независимо от стратегии, выбранной Получателем, она гарантирует среднюю величину платежа, близкую к цене игры в продолжительной серии игр);

- среди стратегий Получателя, которые не доминируют друг друга, не выявлено такой стратегии, которая была бы особо выгодна Плательщику. Следовательно, все три стратегии ПолучателяX1,X2 иX3 являются актив­ными.

Обозначим вероятности его стратегий X1,X2 иX3величинами x₁,x₂ ,x₃.Так как множество активных стратегий обоих игроков выявлено, решение игры для Получателя можно найти, строго приравнивая среднюю величину платежа цене игры для всех активных стратегий

Решая систему, получим решение

Ответ:

 1) верхняя цена игры ;    нижняя цены игры ,

2) Поэлементное сравнение стратегий позволяет выявить и исключить из рассмотрения заведомо невыгодные стратегии X4 и Y1.

3) Графический метод выявления активных стратегий не применим.

4) Переход к задаче линейного программирования (для Плательщика) и ее решение с помощью Excel позволили получить смешанную стратегию Плательщика:

и цену игры .

Проверка величины среднего платежа при применении Получателем разных стратегий позволила признать активными все его стратегии, не доминирующие друг друга;

смешанная стратегия Получателя состоит в использовании его чис­тых стратегий с вероятностями

Задания7.1 –7.10

Для данной матрицы:

1) упростить матрицу, исключив из неё доминируемые строки, соот­ветствующие заведомо невыгодным стратегиям активного игрока;

2) восстановить пропущенную вероятность одной из гипотез о «пове­дении природы» ;

3) выявить оптимальную стратегию активного игрока по математическому ожиданию прибыли;

4) выявить оптимальные стратегии активного игрока, применяя

4.1.опти­мистический критерий

4.2 пессимистический (Вальде) критерий,

4.3. критерийГурвица (при ),

4.4. критерийСэвиджа.

Решение

1) Первый игрок имеет пять стратегий, а второй, «природа», характе­ризуется четырьмя возможными гипотезами. Известны вероятности реали­заций первых трех гипотез. Введем обозначения стратегий активного игрока - «получателя выгоды» и «природы»

Сравним строки данной платежной матрицы для выявления заве­домо невыгодных игроку стратегий. Составим матрицу разностей элементов строк, соответствующим стратегиям

Отсюда следует , что X1>X4

Отсюда следует , что X3>X2,

Вывод: в выделенных строках знаки неравенств - одинаковые, что указывает на невыгодность стратегий активного игрокаX2 иX4 относительно стратегийX1 иX3 соответственно. Дальнейшее сравнение со стратегией А4 не проводилось.

Платежную матрицу можно упростить, удалив из нее строки, соответ­ствующие выявленным невыгодным стратегиям (они выделены в таблице).

2)Восстановим вероятность возможного варианта П4 «поведения» природы, исходя из того, что события П1, П2, П3 и П4 образуют полную группу

Р (П1) + Р(П2) + Р (П3) + Р(П4) = 1,

Р(П4) = 1 - Р(П1) - Р(П2) - Р(П3) = 0,19.

3)Рассчитаем математическое ожидание дискретной случайной вели­чины - получаемой игроком выгоды, при возможном использовании каж­дой его стратегии

Вывод: при многократном взаимодействии оптимальной является стратегияX3, обеспечивающая приближение величины среднего «плате­жа» к значениюc= 3,58. При этом иногда (в одиннадцати процентах случаев) игрок будет получать нулевой доход..

4).

4.1 Оптимистический критерий состоит в выявлении такой стратегии рационального игрока, которые позволяют получить наибольшую выгоду (при наиболее удачном стечении обстоятельств). Этой стратегии соответ­ствует максимальный элемент в платежной матрице. Критерий использу­ется в ситуациях невысокой ответственности за возможную ошибку.

Проведем сравнение максимальных значений выгоды для каждой от­дельной стратегии рационального игрока

Вывод: максимальная выгода =9 может быть получена при реали­зации стратегииX1 (cвероятностью 0,31).

4.2. Пессимистический критерий (критерий Вальде) состоит в реализа­ции такого же подхода при выборе стратегии, как при взаимодействии с рационально действующим партнером, нацеленным на минимизацию ве­личины платежа. Соответственно оптимальной считается стратегия, реали­зующая «нижнюю цену» игры. Критерий применяется в случаях чрезвычайно высокой ответственности за промах, для предотвращения ка­тастрофических убытков.

(реализуется при использовании стратегии X3).

Вывод: при реализации стратегии X5 все платежи - неотрицатель­ные, что обеспечивает отсутствие убытков. Выбор других стратегий может привести к убыткам.

4.3. Критерий Гурвица является промежуточным между двумя преды­дущими и опирается на заранее оцененную «меру ответственности» - ве­личину, принимающую значения от при отсутствии тяжких последствий (катастрофических убытков) до при их возможности. Для каждой стратегии игрока рассчитывается вспомогательная величина

Вывод: при данном «уровне ответственности» оптимальной является стратегия X3 . Она обеспечивает наиболее привлекательные результаты и при наилучшем, и при наихудшем вариантах развития событий

4.4. Для применения критерия Сэвиджа переработаем платежную мат­рицу. Предположим, что реализуется одна из гипотез о «поведении» при­роды. Тогда потери, вызванные неправильным выбором стратегии, определяются разностью между максимальным элементом в столбце пла­тежной матрицы и элементом выбранной стратегии

Элементы такой матрицы («матрицы рисков») показывают величину возможного «сожаления» о том, что выбор остановился на конкретной

стратегии, при условии, что «поведение» природы было бы известно. Оп-

тимальной является стратегия, уменьшающая максимальный риск . В рассматриваемом случае получаем матрицу рисков

Вывод: по данному критерию оптимальной является стратегия Х3, допускающая максимальный риск не более7 ед.

Ответ:

1)исключение доминируемых строк позволяет упростить платежную матрицу, сохранив стратегииX1,X3,X5;

2)вероятность гипотезы П4 - 19 %;

3)оптимальной по математическому ожиданию прибыли является стра­тегияX3

(возможный ожидаемый доход 3,58) ;

4)

4.1оптимальная по оптимистическому критерию стра­тегияX1(возможный доход 9 с вероятностью 0,3)

4.2оптимальная по пессимистическому критерию стра­тегияX3 (гарантированный доход 0)же по критериям Гурвица (при у = 0,з) и Сэвиджа является стратегия Аз.

4.3оптимальная по пессимистическому критерию Гурвица (при стратегияX3)

4.4

Основная литература

1. Колобашкина Л. В. Основы теории игр [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов [Гриф УМО] / Л. В. Колобашкина. - 3-е изд., испр. и доп., электрон. - Электрон. текстовые дан. - Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. - 195 с. : ил., табл. - Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/66189/.

2. Лабскер, Л. Г.
Теория игр в экономике (практикум с решениями задач) [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов [Гриф УМО] / Л. Г. Лабскер, Н. А. Ященко ; под ред. Л. Г. Лабскера. - 3-е изд., перераб. - Электрон. текстовые дан. - Москва : КноРус, 2014. - 259 с. : ил., табл. - (Бакалавриат). - Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/53559/. -

Дополнительная литература

1.Оуэн Г. Теория игр : пер. с англ / под ред. А.А. Корбута. – Изд. 4-е. – М.: УРСС, 2008.– 232с.

2.Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. – СПб, 2000. – 253 с.

3. Колокольцев В.Н., Малафеев О.А. Математическое моделирование многоагентных систем конкуренции и кооперации (Теория игр для всех): Уч. пособие. – Спб.: Издательство «Лань», 2012. – 624 с.

4. Красс М С., Чупрынов Я Я. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.– М.:  Дело, 2006. – 576с.

5. Дж.фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. / Пер. с англ. под ред. и с добавлением В.В.Воробьева. –М.: Наука, 1970. – 512с.