Исходные соотношения строгой электродинамической теории

Содержание

Введение……………………………………………………………………………...3

Исходные соотношения электродинамической теории…………………………...5

Волны Е-типа в ассиметричном планарном диэлектрическом волноводе……....9

Решение задач………………………………………………………………………16

Источники и литература…………………………………………………………...21

ВВЕДЕНИЕ

Устойчивой тенденцией развития современной радиоэлектроники является освоение все более коротких диапазонов длин волн (λ): миллиметровых λ = 10…1 мм (f = 30…300 ГГц) и оптических λ = 1000…0,001 мкм (f = 3 ^. 10 ¹¹...3 ^. 10 ¹⁶ Гц).

Линии передач (ЛП) предназначены для переноса электромагнитной энергии на расстояния. Они входят в состав различных устройств (фильтров, направленных ответвителей, делителей, фазовращателей, вентилей и т.п.). Перед разработчиками линий передачи ставятся довольно противоречивые задачи: ЛП должны обеспечивать малые потери энергии, большую передаваемую мощность, иметь малые габариты и массу, обладать высокой технологичностью и устойчивостью к внешним воздействиям. К этим требованиям добавляются широкополосность, лёгкость изгиба линии передачи при минимальных потерях, удобство подключения активных элементов, отсутствие излучения, невосприимчивость к внешним помехам, удобство управления электромагнитным полем в линии стыковки с другими ЛП, стоимость. Важным является также наличие надежной и подтверждаемой экспериментом теории и расчетного аппарата. На более длинных диапазонах (чем миллиметровые и оптические) волн с успехом используются ЛП в виде металлических волноводов различных сечений, полосковые и микрополосковые линии и т.п.

Диэлектрические волноводы (ДВ) применяются в диапазоне миллиметровых волн, при этом используется достаточно широкая номенклатура материалов: полиэтилен (ε = 2), кремний (ε = 2,5), поликор (ε = 12…14). Достигнутая величина потерь составляет 0,1…0,15 дБ/см при f = 100 Гц. Диэлектрические волноводы наиболее широко используются в устройствах интегральной оптики.

Планарный диэлектрический волновод представляет собой нанесённую на подложки полоску тонкой плёнки, показатель преломления n₂ которой больше показателей преломления n₃ подложки и покрытия n₁ (если покрытие отсутствует, то n₁ = n₀). Если n₁ = n₃, то волновод называется симметричным, в противном случае – ассиметричным. Поскольку планарный волновод «удерживает» поле только в одном измерении, для создания ряда устройств используют полосковые (двумерные) структуры.

Диэлектрические волноводы широко используются в интегральной оптике для построения делителей, фильтров направленных ответвителей, модуляторов, переключателей, детекторов, тонкоплёночных лазеров и др., а также волоконно-оптических линиях связи (ВОЛС), в функциональных узлах оптоэлектронных устройств, осуществляющих обработку информации, в голографических системах и т.п.

Основные свойства ДВ можно рассмотреть на бесконечной в одном направлении модели плоской пластины, т.е. планарного ДВ. В то же время планарный ДВ, представляя собой практический интерес, относительно просто анализируется как методом лучевой оптики, так и с помощью решения уравнений Максвелла.

Исходные соотношения строгой электродинамической теории

   Пленочные диэлектрические волноводы имеют некоторые общие черты с полыми неметаллическими волноводами (в частности, и те и другие могут поддерживать ограниченное число направленных типов волн (мод) на любой заданной частоте; в обеих структурах возможно преобразование мод, если форма волновода отклоняется от идеальной прямолинейной).

Исследуем направляемые (волноводные) моды на примере планарного регулярного диэлектрического волновода (рис. 1).

                                                                             Y

                 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “    

                 “ “ “ “ “ “ n₁“ “ “ “ “ “ “

                 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “                  

    t                                 n₂                       Z                

                  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

                     ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~                          

                  ~ ~ ~ ~ n₃  ~ ~ ~ ~

                     ~ ~ ~  ~ ~ ~ ~ ~ ~

                  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

                           Рис. 1.                                      X

Для простоты далее будем полагать, что волновод является бесконечно протяженным в направлении оси Y и изменения поля в этом направлении нет, d/dy=0. Ограничимся случаем монохроматического поля с временной зависимостью e^iwt, где w- круговая частота. Для определения структуры электромагнитного поля волн диэлектрического волновода необходимо решить систему уравнений Максвелла:

                      rotH = iwe_аE

                  1.  

                       rotE = -iwm_aH,

где Е = Е_mе^iwt и  Н = Н_mе^iwt , e_а,m_а – абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость с граничными условиями на поверхности раздела х=0, х=t и физическим условием убыванием поля при х ® ± ¥.

Раскроем соотношение (1):

          x₀       y₀ z₀

rotH= d/dx  d/dy d/dz = x₀(dH_z/dy-dH_y/dz) - y₀(dH_z/dx-dH_x/dz) +          

          H_x   H_y H_z        + z₀(dH_y/dx-dH_x/dy) =iwe_a(x₀E_x+y₀E_y+z₀E_z)=

                                        =x₀iweaE_x+y₀iweaE_y+ z₀iwe_aE_z ;

           x₀   y₀  z₀

rotE= d/dx d/dy d/dz = x₀(dE_z/dy-dE_y/dz) - y₀(dE_z/dx-dE_x/dz) +          

          E_x  E_y E_z  + z₀(dE_y/dx-dE_x/dy) =-iwm_a(x₀H_x+y₀H_y+z₀H_z)=

                                        =x₀iwm_aH_x+y₀iwm_aH_y+ z₀iwm_aH_z ;

Если векторы равны, то равны их соответствующие компоненты. Следовательно мы можем записать:

              dH_z/dy – dH_y/dz = iwe_aE_x

    2.  dH_x/dz – dH_z/dx = iwe_aE_y

                         dH_y/dx – dH_x/dy = iwe_aE_z ;

              dE_z/dy – dE_y/dz = iwm_aH_x

            3.   dE_x/dz – dE_z/dx = iwm_aH_y

                         dE_y/dx – dE_x/dy = iwm_aH_z ;

Поскольку в направляющих линиях необходимо передавать энергию из одного сечения в другое, то аналогично случаю полных металлических волноводов решение (2), (3) в диэлектрическом волноводе ищем в виде бегущих в направлении оси zволн:

     4. E=E(x)e^-iGz=E_m(x)e^i(wt-Gz)

              H=H(x)e^-iGz=H_m(x)e^i(wt-Gz)

где E_m(x), H_m(x) –комплексные амплитуды, зависящие только от x, (d/dy=0). G - коэффициент распространение волны в рассматриваемой структуре.

Учитываяd/dy=0, подставим (4) в (2) и (3):

1) dH_z/dy-dH_y/dz=-dH_y\dz=-dH_mye^i(wt-Gz)/dz=-H_mye^i(wt-Gz) (-iG)=iwe_aE_mxe^i(wt-Gz)

     GH_my=we_aE_mx ;

-iGH_mx –dH_mz/dx=iwe_aE_my   

3) dH_y/dx – dH_x/dy=dH_y/dx=dH_mye^i(wt-Gz)/dx=dH_my/dx e^i(wt-Gz)=iwe_aE_mze^i(wt-Gz)

dH_my/dx=iwe_aE_mz

4) dE_z/dy-dE_y/dz=-dE_y/dz=-dE_mye^i(wt-Gz)/dz=-E_mye^i(wt-Gz) (-iG)=-iwm_aH_mxe^i(wt-Gz)

GE_my=-wm_aH_mx

5) dE_x/dz-dE_z/dx=dE_mxe^i(wt-Gz)/dz-dE_mze^i(wt-Gz)/dx=E_mxe^i(wt-Gz) (-iG)–dE_mze^i(wt-Gz)

=-iwm_aH_mye^i(wt-Gz)

-iGE_mx - dE_mz/dx= -iwm_aH_my

6) dE_y/dx-dE_x/dy=dE_mye^i(wt-Gz)/dx=dE_my/dx e^i(wt-Gz)=-iwm_aH_mze^i(wt-Gz)

dE_my/dx=-iwm_aH_mz

Таким образом, получим 2 подсистемы:

Для H-мод              -iGH_mx - dH_mz/dx=iwe_aE_my

                                    5.           GE_my= - wm_aH_mx

H_mz¹0; E_mz=0               dE_my/dx=-im_aH_mz;

Для E-мод               -iGE_mx - dE_mz/dx=-iwm_aH_my

                     6.     GH_my=we_aE_mx

E_mz¹0; H_mz=0           dH_my/dx=iwe_aE_mz ;

Из (5), (6) следует, что для рассматриваемого случая моды делятся на волны типа H: (E_mz=0; H_mz¹0), определяемые уравнениями (5), для которых отличны от нуля только составляющие E_my, H_mx, H_mzи на волны типа E: (H_mz=0: E_mz¹0),определяемые уравнениями (6), для которых отличны от нуля только составляющие H_my, E_mx, E_mz.Таким образом, для определения возможных типов волн в диэлектрическом плёночном волноводе достаточно найти продольную H_mz – компоненту для Н – волн или E_mz – компоненту для Е – волн.

Каждая из компонент электромагнитного поля в каждой точке из областей на рисунке 1 удовлетворяет однородному волновому уравнению:

                          Ѳ E_m + k_o² e_n E_m = 0

               7.           

                          Ѳ H_m + k_o² e_n H_m = 0 ;

соответствующим граничным условиям на поверхности раздела (x=0, t)

и условию убывания при x®+_¥; полагалось m₁=m₂=m₃=m₀. В (7) k₀=2p/l₀- -волновое число свободного пространства (l₀ – длинна волны); Ѳ=d²/dx²+d²/dy²+d²/dz² - оператор Лапласа; e_n=e_аn.e₀ ( где n=1, 2, 3…) – относительная диэлектрическая проницаемость сред.

Докажем 1-е уравнение в (1). Возьмём ротор правой части и от левой части 1-ого уравнения в системе (1):

                             rot rotH=iwe_arotE;

Левая часть этого уравнения есть:

                            rot rotH=grad divH - ѲH;

Так как по 3-му уравнению электродинамики divB=divm_aH=0

то отсюда следует,что divH=0. Подставляя это в предыдущее уравнение, в результате получим :    

                        Ѳ H + k² H = 0,где k²=w²e_am_a;

                        Ñ² H_m e^i(wt-Gz) + k₀² e H_m e^i(wt-Gz) = 0;

                         Ѳ H_m + k₀² e H_m = 0;

То есть мы получили 1-ое уравнение в системе (7).

Докажем теперь 2-ое уравнение в (7). Берем ротор от левой и правой частей 2-ого уравнения в системе (1):

                    rot rotE=-iwm_arotH;

 Левая часть этого уравнения есть:

            rot rotE=grad divE - ѲE;

По 4-ому уравнению электродинамики dive_aE=divD=r.

Так как мы рассматриваем идеальные условия, то r=0. Получаем:

             ѲE + k²E=0;

             Ѳ E_m e^i(wt-Gz) + k₀² e E_m e^i(wt-Gz) = 0;

              ѲE_m + k₀²e E_m=0;

То есть получили 2-ое уравнение в системе (7).

Волны E – типа в асимметричном планарном диэлектрическом волноводе

Сейчас и в дальнейшем будем исследовать только Е-моды в диэлектрическом планарном волноводе. Из уравнений (5), (6) видно, что для определения структуры электромагнитных волн в диэлектрическом волноводе удобно использовать компоненты E_myдля H - волн и H_my для E – волн, так как при выражении через них других компонент нужно брать производную, а это проще, чем брать интеграл при выражении компонент через E_mz, H_mz. Для нахождения составляющих H_my, Е_mх, Е_mz волн Е-типа, мы будем использовать систему уравнений (6).

Непосредственно из (7) для каждой из сред на рисунке 1 получим систему уравнений:

8а.    d²[H⁽²⁾]_my/dx² + h² [H⁽²⁾]_my=0 при 0 £ x £ t;

                      где h²=k₂²-G²=k₀²e₂-G²

8б.   d²[H⁽¹⁾]_my/dx² - q² [H⁽¹⁾]_my=0 при x < 0 ;

                     где q²=G²- k₁²=G²- k₀²e₁

  8в.  d²[H⁽³⁾]_my/dx² - p² [H⁽³⁾]_my=0 при x > t;

                      где p²=G²- k₃²=G²- k₀²e₃

Отличие записи уравнений (8а) от (8б), (8в)обусловлено тем, что электромагнитные волны, определяемые вне диэлектрического слоя     0 £ x £ t, должны иметь характер поверхностной волны, то есть поле как бы “прилипает” к поверхности раздела x=0, t и амплитуда уменьшается при удалении от неё по экспоненциальному закону. Величины h, p, q при записи (8а), (8б), (8в) вещественно положительные числа.

На границе раздела x=0, t (рисунок 1) тангенциальные составляющие электрического и магнитного поля должны удовлетворять граничным условиям:

            [H⁽¹⁾]_my | _x=0 = [H⁽²⁾]_my | _x=0; [H⁽²⁾]_my | _x=t = [H⁽³⁾]_my | _x=t;

          9.

            [E⁽¹⁾]_mz | _x=0 = [E⁽²⁾]_mz | _x=0; [E⁽²⁾]_mz | _x=t = [E⁽³⁾]_mz | _x=t;

       (10) находим из (8а), (8б), (8в).

Для первой среды:

                d²[H⁽¹⁾]_my/dx² - q² [H⁽¹⁾]_my=0;

                l² - q² = 0 ;

                l_1,2= ± q;

                [H⁽¹⁾]_my=A_Ee^qx – C₁e^-qx;

Из физического условия убывания поля при x®-¥ следует С₁=0.

Для второй среды:

                d²[H⁽²⁾]_my/dx² + h² [H⁽²⁾]_my=0;

                l² + h² = 0 ;

                l_1,2= ± ih;

               [H⁽²⁾]_my=Be^ihx – Ce^-ihx;

Для третьей среды:                 

                  d²[H⁽³⁾]_my/dx² - p² [H⁽³⁾]_my=0;

                  l² - p² = 0 ;

                  l_1,2= ± q;

                  [H⁽³⁾]_my=De^-p(x-t) + C₂e^p(x-t);

Из физического условия убывания поля при x®+¥следует C₂=0. Сдвиг на t в показателе экспоненты возникает, потому что третья среда имеет уравнение x ³ t.

                            A_Ee^qx           при x < 0;

10.     H_my= Be^ihx+Ce^-ihx при 0 £ x £ t;

                            De^-p(x-t)      при x > t;

где A_E, B, C, D, q, h, p – постоянные, которые нужно определить.

        Из граничных условий для H_my в (9) получаем соотношения:

а)используя граничное условие [H⁽¹⁾]_my | _x=0 = [H⁽²⁾]_my | _x=0, получаем

A_E e^q0 = B e^ih0 + C e^-ih0, отсюда A_E = B + C.

б)используя граничное условие [H⁽²⁾]_my | _x=t = [H⁽³⁾]_my | _x=t,получаем

D e^-p(t-t) = Be^iht + Ce^-iht ,отсюда D = Be^iht + Ce^-iht .                            

         11. A_E = B + C             x = 0

                  D = Be^iht + Ce^-iht ;  x = t

Кроме того, учитывая, что в соответствии с (6) :

                      dH_my/dx=-iwe_aE_mz

найдем с помощью (10) составляющую E_mz и удовлетворим граничным условиям (9).

                         1/iwe_a1A_eqe^qx                                       при x < 0 ;

E_mz=1/iwe_adH_my/dx= 1/iwe_a2Be^ihx(ih)+ 1/iwe_aCe^-ihx(-ih) при 0 £ x £ t;

                          1/iwe_a3De^-p(x-t)(-p)                          при x > t;

где e_a1 = e₁e₀ , e_a2 = e₂e₀ , e_a3 = e₃e₀

а)используя граничное условие [E⁽¹⁾]_mz | _x=0 = [E⁽²⁾]_mz | _x=0 , получаем

qA_Ee^q0/iwe_a1= ( ihB e^ih0– ihC e^-ih0 )/ iwe_a2 ,

   отсюда: qA_E/e_a1 = ( ihB – ihC )/ e_a2.

б)используя граничное условие [E⁽²⁾]_mz | _x=t = [E⁽³⁾]_mz | _x=t ,получаем

-pD e^-p(t-t)/ iwe_a3= ( ihBe^iht – ihCe^-iht )/ iwe_a2 ,

отсюда:-pD/ iwe_a3 = ( ihBe^iht – ihCe^-iht )/ iwe_a2 .

В результате получим дополнительную систему уравнений:

            12.   qA_E/e_a1 = ( ihB – ihC )/ e_a2                            x = 0

                        -pD/ iwe_a3 = ( ihBe^iht – ihCe^-iht )/ iwe_a2 ; x = t

Четыре линейных однородных уравнения связывают четыре неизвестные постоянные A_E, B, C, D, они линейно зависимы. Исключая из (11), (12)амплитудные коэффициенты A_E, B, C, D, можно получить уравнение, связывающее числа h, q, p, то есть приравнять нулю определитель уравнений (11), (12), так как они имеют решение только в этом случае.

Раскроем соотношения (13), называемое характеристическим уравнением E-мод:

Поделим обе части уравнения на (е^iht + e^-iht) ¹ 0, и тогда получим:

     Множитель   является гиперболическим тангенсом[ th(iht) ].

     Но нам все-таки необходимо использовать тангенс, как тригонометрическую функцию. Чтобы осуществить данный переход мы воспользуемся известной формулой: th( iht ) = -itg( -ht ).

Применим данную формулу и поделим обе части уравнения на i, тогда получим:

Теперь выразим из вышеуказанного уравнения tght:

Теперь выполним ряд преобразований.

=

                                             

 

 

Домножаем числитель и знаменатель дроби на e_а3e_а1 ,и получаем:

Теперь сравним полученное уравнение с формулой тангенса суммы двух углов:

и получаем что : tga= qe_a2/he_a1 , tgb=pe_a2/he_a3 .

Далее найдёмa, b:

a=arctg(qe_a2/he_a1)+kp=arctg(qe₀e₂/he₀e₁)+kp=arctg(q/h*(n₂/n₁)²) ,где

e₂=1/n₂² , e₁=1/n₁²а k –целое число 1,2,3,4…

 

b=arctg(pe_a2/he_a3)+mp=arctg(pe₀e₂/he₀e₃)+mp=arctg(p/h*(n₂/n₃)²) ,где

e₂=1/n₂² , e₁=1/n₁²а m –целое число 1,2,3,4…

 

Теперь окончательно раскроем уравнение тангенса:

tght=tg[(arctg(q/h*(n₂/n₁)²)+kp)+ (arctg(p/h*(n₂/n₃)²)+mp)],

где k, m=0,1,2,3…

Отсюда получаем:

ht= arctg(q/h*(n₂/n₁)²)+kp+ arctg(p/h*(n₂/n₃)²)+mp, где k, m=0,1,2,3…

 Теперь объединим слагаемые kpи mpи получаем уравнение 14.  

             

 14.          ht= arctg(q/h*(n₂/n₁)²)+ arctg(p/h*(n₂/n₃)²)+lp,

                         где l=m+k=0,1,2,3...-индекс моды.        

                           

Уравнение (14) называется характеристическим уравнением E-мод, в котором l-это индекс моды. Из (14) видно, что при данной толщине диэлектрического волновода t существует множество решений (типов волн – мод) характеристического уравнения (14) с различными значениями поперечных волновых чисел h, q, p. Эти моды различаются индексом m и обозначаются как E ₀, при m=0, E₁, при m=1…и т.д.

Учитывая дополнительные соотношения, следующие из (8а), (8б), (8в):

                  -h² + k₀²e₂=G²;

      15.   q² + k₀²e₁=G²;

                   p² + k₀²e₃=G²;

Исключая в них постоянную распространения G, можно получить ещё 2 уравнения, которые связывают h, q, p.

 

q² + k₀²e₁= -h² + k₀²e₂                      q² + h²=k₀² ( e₂- e₁ ) 

p² + k₀²e₃= -h² + k₀²e₂                      p² + h² = k₀² ( e₂ – e₃ )

Обозначив через n_n=Öe_nкоэффициент преломления среды (n=1,2,3..), получим полную систему уравнений, определяющих E-моды.

                      q² + h² = k₀² ( n₂² - n₁² ) ;

        16.    p² + h² = k₀² ( n₂² – n₃² ) ;

                      ht = arctg(q/h*(n₂/n₁)²)+ arctg(p/h*(n₂/n₃)²)+lp;

 

Используя (11), (12)и (6), выразим комплексные амплитуды составляющих поля E-мод через произвольную амплитудную постоянную A_E и поперечные волновые числа h, qи p:

a)Сначала из (11) выразим постоянную B: 

                           B = A_E – C

                           B = (A_Eq/e_a1+ihC/e_a2)/(ih/e_a2)

 

Исключим Bи получим:

A_E – C= A_Eqe_a2/ihe_a1+C            C = A_E /2(1 -qe_a2/ ihe_a1)=A_E (1/2+iqe_a2/ 2he_a1)

Теперь, зная С найдём В:

B = A_E – C= A_E (1-1/2-iqe_a2/ 2he_a1)= A_E (1/2-iqe_a2/ 2he_a1)

б)Так как из (11) следует, что D=Be^iht+Ce^-iht,то найдем D:

D= A_E (1/2-iqe_a2/ 2he_a1) e^iht+ A_E (1/2+iqe_a2/ 2he_a1)e^-iht

 

в)По известной формуле Эйлера:e^iz = cosz + isinzзаменим e^iht на (cosht+isinht)а также e^-iht на (cosht-isinht)и в выражении полученном в пунктеб) тогда получим:

D=A_E (1/2-iqe_a2/ 2he_a1)(cosht+isinht)+A_E (1/2+iqe_a2/ 2he_a1)(cosht-isinht)=

= A_E 1/2cosht+ A_E 1/2cosht+qe_a2/ 2he_a1 sinht+qe_a2/ 2he_a1 sinht=

= A_Ecosht+ A_E qe_a2/ he_a1sinht,так как e_a2/e_a1=e₀e₂/e₀e₁=n₂²/n₁²,то

D=A_Ecosht+A_Eq/h(n₂/n₁)²sinht=A_Eq/h(n₂/n₁)²(sinht+h/q(n₂/n₁)²cosht)

Теперь соберем все вместе, подставляя найденные значения B, C, D в (10), получим:

 

            A_E e^qx                                                                                                  при x < 0;

H_my= A_E (q/h)(n₂/n₁)²[sin hx + (h/q)(n₂/n₁)²cos hx] при 0 £ x £ t;

A_E (q/h)(n₂/n₁)² [sin ht + (h/q)(n₂/n₁)² cos ht] e^-p(x-t)при x > t;

Таким образом, мы нашли составляющую H_my,поле для Е-мод.

 

 

                 E_mz=1/iwe_a(dH_my/dx)=1/iwe₀e_n(dH_my/dx)=1/iwn_n²e₀(dH_my/dx)

              E_mx=G/we_a(H_my)=G H_my/we₀e_n=GH_my/wn_n²e₀,,

    где n=1,2,3…       

 

Таким образом, мы выполнили поставленную задачу – определили составляющие H_my, E_mx , E_mz волн Е – типа в планарном диэлектрическом волноводе.

Следует также отметить, что комплексную постоянную А_Е  мы не определяем, поскольку исследуем «свободные», то есть не зависящие от источника возбуждения волн. Модуль и фаза постоянной A_Eзависят от амплитуды и фазы источника возбуждения.

 

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

                                              Задача №15

Определить толщину симметричного ДВ из полистирола (ε = 2,56), при которой вдоль Дв распространяется только основная волна электрического типа Е_о. Длина волны генератора λ_о = 4,5 см, ε₁= ε₃=1,5.

 

Дано:

ε₁= ε₃=1,5

ε₂=2,56

λ_о = 4,5 см = 0,045 м

 

Найти: t=2d, при которой существует Ео

 

Решение

В задаче требуется найти толщину диэлектрической пластины (2d), в которой будет распространяться только электрическая волна, имеющая нулевую моду (m=0).

Известно, что число мод (m) распространяющихся в симметричном ДВ зависит от параметров λ_о, n₁, n₂ и d. Эта связь выражается формулой:

 

m  ≤ 2d ≤ (m + 1)

 

Данное условие имеет следующий физический смысл: волна в диэлектрическом волноводе может распространяться только при частоте выше критической, т.е. при частоте ниже критической (Г< k_оn₁) в диэлектрическом волноводе моды данного типа вообще нет. С точки зрения математики, при неправильно подобранных параметрах λ_о, n₁, n₂,d и m характеристическое уравнение может не иметь решения (волновые числа h, p, q могут быть отрицательными).

n₁² = ε₁ = 1,5

n₂² = ε₂ = 2,56

m = 0

 

0 ≤ 2d · ≤     0 ≤ 2d ≤        

0 ≤ 2d ·   0 ≤ 2d ≤  2,5877458 ∙ 10^-2  м

 

Полученная величина t = 2,587 ≈  см

Ответ: приt < 2,587 см в ДВ будет распространяться волна Е_о типа.

 

Задача №16

 

Определить фазовую скорость волны Е_о, распространяющуюся в ассиметричном ДВ, толщиной t = 10 мм, ε₁ = 1,0, ε₂ = 2,9, ε₃ = 2,8. Длина волны генератора 10 мм. Построить график распределения компоненты Ну в направлении, перпендикулярном диэлектрической пластине.

Дано:

ε₁=1,0

ε₂=2,9

ε₃=2,8

λ₀=10·10^-3

m₀=0

Найти: _ф для волны Е₀-типа

Решение

Проверка условия на существование данной волны:

=1,570796 < = 1,986918

n₁ =                              n₁ = 1

n₂ =                              n₂ = 1, 702939

n₃ =                              n₃ = 1, 67332

                        k = 628,318531

 

Решение системы (характеристического уравнения):

h = 1; p = 1; q = 1         TOL = 10^-9    Given

                     

 

                     h ≥ 0; p ≥ 0; q ≥ 0

Ответ: h = 186,245289 ;

         P = 69,217843 ;

         d = 845,814771 .

Проверка:

          

 

               Г = 1053,6540242                  1069,987902    

               Г = 1053,6540242                  628,318531

            Г = 1053,6540242                  1051,377997

Г = 1053,6540242 – постоянная распространения

с = 3·10⁸  - скорость света в вакууме          1,761661∙10⁸  

 

              ω = 1,884956·10¹¹ с^-1            υ_ф = 1,7889701∙10⁸

 

Ответ: υ_ф = 1,7889701∙10⁸

Построение графика распределения компоненты Ну:                                     А_Е = 1  H_my(x) =

 

H_my(0) = 1                 H_my(t) = 12,32634             H_my = 11,163887

 

Поиск максимального поля волны:

 

        м   

 

Максимальное значение поля:

 в точке  м      

Определим, какая доля энергии приходится на внутренний слой:

                      

                           S = 0,253127     η =     

η·100 = 38,000313 %

В процентном соотношении приходится 38 % волны на внутренний слой        

 

Источники и литература:

1. Андрушко Л.М., Гроднев И.Н., Панфилов И.П. Волоконные оптические линии связи. М., 1985. – 136 с.

2. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. М., 1970. – 118 с.

3. Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. М., 1971. – 487 с.

4. Гринев А.Ю., Котов Ю.В. Поверхностные электромагнитные волны в планарных диэлектрических волноводах. М., 1989. – 48 с.

5. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М., 1978. – 607 с.

6. Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн»/Под ред. С.И. Баскакова. М., 1978. – 607 с.

7. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы/Под ред. В.В. Шевченко. М.,1980. – 656 с.