Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

При изучении общественного здоровья и здравоохранения в научных и практических целях исследователю часто приходится проводить статистический анализ связей между факторными и результативными признаками статистический совокупности (причинно-следственная связь) или определение зависимости параллельных изменений нескольких признаков этой совокупности от какой либо третьей величины (от общей их причины). Необходимо уметь изучать особенности этой связи, определять ее размеры и направление, а также оценивать ее достоверность. Для этого используются методы корреляции.

1. Виды проявления количественных связей между признаками

o функциональная связь

o корреляционная связь

2. Определения функциональной и корреляционной связи

Функциональная связь — такой вид соотношения между двумя признаками, когда каждому значению одного из них соответствует строго определенное значение другого (площадь круга зависит от радиуса круга и т.д.). Функциональная связь характерна для физико-математических процессов.

Корреляционная связь — такая связь, при которой каждому определенному значению одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака (связь между ростом и массой тела человека; связь между температурой тела и частотой пульса и др.). Корреляционная связь характерна для медико-биологических процессов.

3. Практическое значение установления корреляционной связи. Выявление причинно-следственной между факторными и результативными признаками (при оценке физического развития, для определения связи между условиями труда, быта и состоянием здоровья, при определении зависимости частоты случаев болезни от возраста, стажа, наличия производственных вредностей и др.)

Зависимость параллельных изменений нескольких признаков от какой-то третьей величины. Например, под воздействием высокой температуры в цехе происходят изменения кровяного давления, вязкости крови, частоты пульса и др.

4. Величина, характеризующая направление и силу связи между признаками. Коэффициент корреляции, который одним числом дает представление о направлении и силе связи между признаками (явлениями), пределы его колебаний от 0 до ± 1

5. Способы представления корреляционной связи

o график (диаграмма рассеяния)

o коэффициент корреляции

6. Направление корреляционной связи

o прямая

o oбратная

7. Сила корреляционной связи

o сильная: ±0,7 до ±1

o средняя: ±0,3 до ±0,699

o слабая: 0 до ±0,299

8. Методы определения коэффициента корреляции и формулы

o метод квадратов (метод Пирсона)

o ранговый метод (метод Спирмена)

9. Методические требования к использованию коэффициента корреляции

o измерение связи возможно только в качественно однородных совокупностях (например, измерение связи между ростом и весом в совокупностях, однородных по полу и возрасту)

o расчет может производиться с использованием абсолютных или производных величин

o для вычисления коэффициента корреляции используются не сгруппированные вариационные ряды (это требование применяется только при вычислении коэффициента корреляции по методу квадратов)

o число наблюдений не менее 30

10. Рекомендации по применению метода ранговой корреляции (метод Спирмена)

o когда нет необходимости в точном установлении силы связи, а достаточно ориентировочных данных

o когда признаки представлены не только количественными, но и атрибутивными значениями

o когда ряды распределения признаков имеют открытые варианты (например, стаж работы до 1 года и др.)

11. Рекомендации к применению метода квадратов (метод Пирсона)

o когда требуется точное установление силы связи между признаками

o когда признаки имеют только количественное выражение

12. Методика и порядок вычисления коэффициента корреляции

Метод квадратов

o построить вариационные ряды для каждого из сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд чисел соответственно х и у;

o определить для каждого вариационного ряда средние значения (М₁ и М₂);

o найти отклонения (d_х и d_y) каждого числового значения от среднего значения своего вариационного ряда;

o полученные отклонения перемножить (d_x X d_y)

o каждое отклонение возвести в квадрат и суммировать по каждому ряду (Σ d_x²и d_y² )

o подставить полученные значения в формулу расчета коэффициента корреляции:

при наличии вычислительной техники расчет производится по формуле:

Ранговый метод

o составить два ряда из парных сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд соответственно х и у. При этом представить первый ряд признака в убывающем или возрастающем порядке, а числовые значения второго ряда расположить напротив тех значений первого ряда, которым они соответствуют

o величину признака в каждом из сравниваемых рядов заменить порядковым номером (рангом). Рангами, или номерами, обозначают места показателей (значения) первого и второго рядов. При этом числовым значениям второго признака ранги должны присваиваться в том же порядке, какой был принят при раздаче их величинам первого признака. При одинаковых величинах признака в ряду ранги следует определять как среднее число из суммы порядковых номеров этих величин

o определить разность рангов между х и у (d): d = х — у

o возвести полученную разность рангов в квадрат (d²)

o получить сумму квадратов разности (Σ d²) и подставить полученные значения в формулу:

13. Схема оценки корреляционной связи по коэффициенту корреляции

14. Вычисление ошибки коэффициента корреляции

o ошибка коэффициента корреляции, вычисленного методом квадратов (Пирсона):

o ошибка коэффициента корреляции, вычисленного ранговым методом (Спирмена):

15. Оценка достоверности коэффициента корреляции,полученного методом ранговой корреляции и методом квадратов

Способ1
Достоверность определяется по формуле:

Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом числа степеней свободы (n — 2), где n — число парных вариант. Критерий t должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности р ≥99%.

Способ2
Достоверность оценивается по специальной таблице стандартных коэффициентов корреляции. При этом достоверным считается такой коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы (n — 2), он равен или более табличного, соответствующего степени безошибочного прогноза р ≥95%.

ЗАДАЧА на применение метода квадратов

Задание: вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). Оценить достоверность связи. Сделать вывод.

Таблица 1

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

Решение.
Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

1. Определить средние величины M_x ряду вариант "х" и М_у в ряду вариант "у" по формулам:
М_х = Σх/n (графа 1) и
М_у = Σу/n (графа 2)

2. Найти отклонение (d_х и d_у) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду "x" и в ряду "у"
d_х = х — М_х (графа 3) и d_y = у — М_у (графа4).

3. Найти произведение отклонений d_x х d_y и суммировать их: Σ d_х х d_у (графа 5)

4. Каждое отклонение d_x и d_у возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду "х" и по ряду "у": Σ d_x² = 982 (графа 6) и Σ d_y² = 51056 (графа 7).

5. Определить произведение Σ d_x² х Σ d_y² и из этого произведения извлечь квадратный корень

6. Полученные величины Σ (d_x x d_y) и √(Σd_x² x Σd_y²) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:

7. Определить достоверность коэффициента корреляции:
1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mr_xy) и критерий t по формулам:

Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р> 99,9%.

2-й способ. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции" (см. приложение 1). При числе степеней свободы (n — 2)=6 - 2=4, наш расчетный коэффициент корреляции r_xу = + 0,99 больше табличного (r_табл = + 0,917 при р = 99%).

Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная: r_ху = + 0,99, р> 99,9%).

ЗАДАЧА на применение рангового метода

Задание: методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:

Обоснование выбора метода: для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд признака "стаж работы в годах" имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод — метод квадратов.

Решение. Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2

1. Каждый из рядов парных признаков обозначить через "х" и через "у" (графы 1—2).

2. Величину каждого из признаков заменить ранговым (порядковым) номером. Порядок раздачи рангов в ряду "x" следующий: минимальному значению признака (стаж до 1 года) присвоен порядковый номер "1", последующим вариантам этого же ряда признака соответственно в порядке увеличения 2-й, 3-й, 4-й и 5-й порядковые номера — ранги (см. графу 3).
Аналогичный порядок соблюдается при раздаче рангов второму признаку "у" (графа 4).
В тех случаях, когда встречаются несколько одинаковых по величине вариант (например, в задаче-эталоне это 12 и 12 травм на 100 работающих при стаже 3—4 года и 5—6 лет, порядковый номер обозначить средним числом из суммы их порядковых номеров. Эти данные о числе травм (12 травм) при ранжировании должны занимать 2 и 3 места, таким образом среднее число из них равно (2 + 3)/2 = 2,5.
Таким образом, числу травм "12" и "12" (признаку) следует раздать ранговые номера одинаковые — "2,5" (графа 4).

3. Определить разность рангов d = (х — у) — (графа 5)

4. Разность рангов возвести в квадрат (d²) и получить сумму квадратов разности рангов Σ d² (графа 6).

5. Произвести расчет коэффициента ранговой корреляции по формуле:

где n — число сопоставляемых пар вариант в ряду "x" и в ряду "у"

6. Определить достоверность коэффициента ранговой корреляции.

1-й способ. Определить ошибку (mр_ху) коэффициента ранговой корреляции и оценить достоверность его с помощью критерия t:

Полученный критерий t = 5,75 соответствует вероятности безошибочного прогноза (р) больше 95 %:
р_ху = - 0,92; mр_ху = ± 0,16; t = 5,75; р> 95%

2-й способ. По таблице "Стандартных коэффициентов корреляции": при числе степеней свободы (n - 2) = 5 - 2 = 3 наш расчетный коэффициент корреляции р_ху = - 0,92 больше табличного 0,878 и меньше 0,933, что соответствует вероятности безошибочного прогноза больше 95% и меньше 98%. Это позволяет считать полученный коэффициент ранговой корреляции достоверным.

Вывод. С вероятностью безошибочного прогноза (р) больше 95% установлено, что чем больше стаж работы, тем меньше частота травм (связь обратная, сильная, достоверная корреляционная: р_ху = - 0,92, p > 95%.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)