ВИЗНАЧЕННЯ ВІДНОШЕННЯ ТЕПЛОЄМНОСТЕЙ ПОВІТРЯ ПРИ ПОСТІЙНИХ ТИСКУ ТА ОБ’ЄМІ РЕЗОНАНСНИМ МЕТОДОМ

Лабораторна робота №7

Мета роботи – вивчення процесу поширення звукової хвилі в повітрі, вимірювання швидкості звуку при різних температурах і визначення відношення теплоємностей

Теоретичні відомості

Пружними хвилями називаються механічні збурення (деформації), що поширюються в пружному середовищі.

Нехай вздовж однорідного циліндричного зразка з площею поперечного перерізу S поширюється пружна поздовжна хвиля. Це означає, що вздовж зразка зі швидкістю υ розповсюджується відносна деформація  (рис.7.1). Виділивши деяку частину зразка, знайдемо густину недеформованого середовища:

,                                                             (7.1)    

де l – довжина виділеної частини зразка.

Стисненню відповідає зростання густини, тому густина в області стиснення

.        (7.2)    

Тут ми враховуємо, що площа поперечного перерізу S зразка не змінюється при поширенні поздовжної хвилі. У формулі (7.2) домножимо чисельник і знаменник на величину (l+Δl):

.

Враховуючи, що Δl²<<l² , одержимо

.

Звідси, враховуючи формулу (7.1), отримаємо

,

або

                                                  .                                             (7.3)    

Розповсюдження збурення являє собою рух області стиснення зі швидкістю υ вздовж зразка. За проміжок часу dt через поперечний переріз пройде ділянка стиснення довжиною . Маса цієї ділянки  або, враховуючи (7.3), .

Маса dm рухається зі швидкістю υ і має імпульс . Ця зміна імпульсу маси dm (оскільки до проходження збурення ця маса була нерухомою) за другим законом Ньютона дорівнює добутку сили пружності, що неї діє, на час цієї дії. Записуючи силу пружності за законом Гука

                                                  ,                                          (7.4)    

одержуємо

де Е – модуль пружності.

Таким чином:

,

звідки

і швидкість розповсюдження поздовжної пружної хвилі

    .                                              (7.5)    

Якщо пружна хвиля поширюється в газі, що знаходиться в гладенькій прямолінійній трубі зі сталим перерізом, то враховуючи, що на відміну від твердих тіл, гази не чинять опору зсуву, в них можуть виникати лише поздовжні хвилі і, відповідно, швидкість розповсюдження пружної хвилі в газі можна обчислити за формулою (7.5).

Визначимо величину Е для газу. Якщо під дією сили F на деякий об’єм газу тиск у ньому зросте на величину ΔР по відношенню до тиску газу Р у незбуреному стані, то, за аналогією з (7.4)

.

Якщо вважати зміни тиску dP і об’єму dV нескінченно малими, то можна записати

                                                              .                                           (7.6)    

де знак мінус означає, що збільшення тиску відповідає зменшенню об’єму.

Нехай у газі поширюється звукова хвиля, що являє собою пружну хвилю малої інтенсивності, здатну викликати відчуття звуку, з частотою від 16 до 20000 Гц. Коливання густини в звуковій хвилі відбуваються настільки швидко, що теплообміну між шарами газу, що мають різні температури, практично не відбувається. Тому процес поширення звукової хвилі в газі можна вважати адіабатичним і до нього можна застосувати рівняння Пуасона для адіабати P×V^g = const. Диференціюючи це рівняння, одержимо

Звідки

.                              (7.7)    

З (7.6) і (7.7) знайдемо

                                                                          .                           (7.8)    

Визначивши Р з рівняння Клапейрона-Мендєлєєва і врахувавши, що густина газу , одержимо

.

Підставимо значення Р в (7.8) і одержимо

                                                                 .                                   (7.9)    

Підставивши співвідношення (7.9) в формулу (7.5), одержимо формулу Лапласа для розрахунку швидкості звуку в газі:

                                                                                                            (7.10)  

з якої випливає

.                            (7.11)  

Таким чином, для визначення відношення теплоємностей газу γ достатньо виміряти його температуру й швидкість розповсюдження звуку υ в цьому газі.

Швидкість звуку при даній температурі може бути визначена резонансним методом. При поширенні хвилі вздовж закритого каналу, вона багатократно відбивається від торців. Звукові коливання, що існуватимуть за цих умов у каналі, будуть результатом накладання цих відбитих хвиль. Якщо довжина каналу L дорівнюватиме цілому числу півхвиль  (тут n – деяке ціле число, а λ – довжина хвилі), то фаза хвилі, що відбилася від торця каналу, повернулась до його початку і знову відбилася, буде збігатися з фазою падаючої хвилі. Такі хвилі підсилюватимуть одна одну, амплітуда коливань при цьому різко зростатиме, тобто утворюватиметься резонанс і в каналі утворюватимуться нерухомі (стоячі) хвилі. При звукових коливаннях шари газу, що прилягають до торців каналу, не зазнаватимуть зміщення. У цих місцях утворяться вузли зміщення, які повторюватимуться через  по всій довжині каналу. Між вузлами розташовуватимуться максимуми зміщення (пучності).

Швидкість звуку υ пов’язана з частотою коливань ν і довжиною хвилі λ співвідношенням υ = λν,з урахуванням якого умову виникнення резонансу можна записати у вигляді

                                                                 ,                                          (7.12)  

де ν₀ – резонансна частота.

Залежність (7.12) резонансної частоти від номера резонансу n можна перевірити експериментально. Змінюючи частоту коливань при незмінній довжині каналу, необхідно побудувати графік залежності ν₀ = f(n), яка повинна бути лінійною. За кутовим коефіцієнтом цієї залежності  можна визначити швидкість звуку υ, а далі, за формулою (7.11), визначити відношення теплоємностей g.

Експериментальна установка

Для визначення відношення теплоємностей повітря  резонансним методом використовується експериментальна установка ФПТ1-7, загальний вигляд якої показано на рисунку 7.2.

Робочий елемент установки являє собою скляну трубу довжини L, на торцях якої розташовані телефон і мікрофон. Температуру повітря в трубі можна змінювати за допомогою нагрівальної спіралі, навитої на трубу. Потужність нагрівача встановлюється регулятором "Нагрев", розташованим на передній панелі блока приладів 1. Температура повітря в трубі вимірюється напівпровідниковим термометром і реєструється на цифровому індикаторі "Температура". В блоці приладів розташовано генератор звукових коливань, підключений до телефона, який збуджує звукові коливання в трубі. Частота коливань, задана звуковим генератором, регулюється ручками "Грубо" і "Точно" та реєструється на цифровому індикаторі "Частота". Сигнал мікрофона вимірюється міліамперметром – "індикатором резонансу", чутливість якого регулюється ручкою "Усиление". Максимальні значення струму, зареєстровані міліамперметром під час плавної зміни частоти коливань, відповідають появі резонансу в каналі. Довжина труби  L = 51 см.

Рисунок 7.2 Загальний вигляд експериментальної установки ФПТ1-7:

1 – блок приладів; 2 – блок робочого елемента; 3 – стійка; 4 – труба з нагрівачем

Порядок виконання роботи

1. Включити установку тумблером "Сеть" і дати їй прогрітися протягом 10 хв.

2. Ручки "Грубо" і "Точно" встановити в крайні ліве положення. Ручкою "Усиление" відрегулювати чутливість "індикатора резонансу" (стрілка повинна бути приблизно на третині шкали).

3. Плавно збільшуючи за допомогою ручок "Грубо" і "Точно" частоту коливань, заданих звуковим генератором, визначити частоти резонансів в інтервалі частот 600 – 2300 Гц за найбільшим відхиленням стрілки на шкалі "індикатора резонансу". Проводячи вимірювання при зменшенні частоти, переконатися у повторюваності результатів. Результати вимірювань занести до таблиці 7.1.

4. Включити тумблер "Нагрев" і регулятором температури нагріву нагріти повітря в трубі до температури t₂ = 40...45 ⁰С. Після стабілізації температури провести вимірювання згідно з пп. 2-3.

5. Збільшуючи ступінь нагріву, збільшити температуру повітря в трубі до значення t₃ = 55...60 ⁰С. Після стабілізації температури провести вимірювання згідно з пп. 2-3.

6. Регулятор температури нагріву вивести в крайнє ліве положення, виключити тумблер "Нагрев", ручки "Усиление", "Грубо" і "Точно" встановити у крайнє ліве положення, після чого виключити установку тумблером "Сеть".

Таблиця 7.1   

Обробка результатів вимірювань

1. Побудувати графік залежності резонансної частоти від номера резонансу ν₀ = f(n) для кожної з температур і визначити кутові коефіцієнти К_α для кожного графіка.

2. Для кожного значення температури повітря в трубі, використовуючи одержані кутові коефіцієнти К_α, визначити швидкість звуку υ за формулою  та відношення теплоємностей g за формулою (7.11), враховуючи, що молярна маса повітря μ = 29·10^-3 кг/моль.

3. Оцінити похибку результатів вимірювання.

Контрольні запитання

1. Що таке пружна хвиля? Охарактеризуйте процес поширення пружної хвилі в газі.

2. Виведіть формулу швидкості розповсюдження пружної хвилі.

3. Сформулюйте перший закон термодинаміки. Запишіть цей закон для ізобаричного, ізохоричного, ізотермічного й адіабатичного процесів.

4. Виведіть формулу Майера для співвідношення між теплоємностями C_p і C_v.

5. Що таке адіабатичний процес? Чому процес поширення звукової хвилі в газі можна вважати адіабатичним?

6. Виведіть рівняння Пуасона для адіабати.

7. Запишіть рівняння адіабатичного процесу в змінних (P, V), (T, V) i (P, T).

8. Що таке звукова хвиля? Виведіть формулу швидкості звуку в газі.

9. У чому полягає сутність резонансного методу визначення швидкості звуку в газі?

10. Чому при розповсюдженні звуку в закритому каналі можуть утворюватися нерухомі хвилі? За яких умов вони утворюватимуться?

11. Як змінюється швидкість звуку в повітрі при зміні його температури?