Выпуклый n-мерный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.

Матрицы.

Матрицей размера м*н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н столбцов. Числа составляющие матрицу называются ее элементами.

Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строк, а из одного столбца – матрицей –столбцом

Матрица называется квадратной, если число ее строк = числу ее столбцов. Элементы матрицы, у которых номера столбца = номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиоганальные элементы квадратной матрицы =0, то матрица назыв диагональной. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы = 1, то матрица назыв единичной матрицей. Матрица любого порядка назыв нулевой, если все ее эл-ты = 0

Операции над матрицами.

1) Умножение матрицы на число. Все эл-ты матрицы умножаем на это число. Произведением матрицы А на число № назыв матрица В=№А.

2) Сложение матриц. Сумма 2х матриц одинакового размера назыв матрица С=А+В, эл-ты которой cij=aij+bij

3) Вычитание. А-В=А+(-1)*В

4) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов 1ой матрицы =числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В назыв такая матрица С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

5) Транспонирование. Переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

6) Возведение в степень. Целой положительной степенью А в степени м (м>1)квадратной матрицы А называется произведение м матриц, равных А.

В матрице А размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m;n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Ранг матрицы– наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы.

Обратная матрица.

Матрица А(-1) называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица.

Теорема: Обратная матрица А(-1)существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А (-1), т.е. А*А (-1)= А(-1)А=Е. Тогда по свойству определителя (определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей) │А*А(-1)│= │А│*│А(-1)│= │Е│=1, т.е. │А│=/0 и │A(-1) =/ 0

Достаточность. Пусть │А│=/ 0.Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка Ẫ, называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы А’, транспонированной к А: ẫij= А’ij=Aji (i=1,n; j=1,n) тогда элементы произведения матриц Ẫ*А=В определяются по правилу умножения матриц: bij = s=1∑n ẫisasj = s=1∑n Asi asj =

|A|      i=j

0 при i=/j

Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали = определителю исходной матрицы. Аналогично доказывается, что произведение А на Ẫ равно той же матрице В:А* Ẫ= Ẫ*А=В. Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу А(-1)= 1/ │А│* Ẫ (│А│<>0) (1)

То произведение А(-1) *А и А*А(-1) равны единичной матрице Е n-ого порядка: А(-1)*А=А*А(-1)= 1/│А│*В=Е

Алгоритм вычисления:

1) находим определитель исходной матрицы. Если │А│=0, то матрица А – вырожденная и обратной матрицы не существует. Если │А│<>0, то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2) Находим матрицу А’, транспонированную к А

3) Находим алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы А’ij=Aij (i=1,n; j=1,n) и составляем из них присоединенную матрицу Ẫ: ẫij= А’ij= Аij

4) Вычисляем обратную матрицу по формуле (1,14)

5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А(-1), исходя из ее определения А*А (-1)= =А(-1)А=Е

Неопределенная система ЛАУ. Базисные.

Неопределённая система линейных алгебраических уравнений имеет бесчисленное множество решений. Придав свободным неизвестным нулевое значение получим решение системы, которое называется базисом.

Если система приведена к единичному базису, то её базисное решение находится сразу. Для этого необходимо положить свободные неизвестные равными нулю, тогда свободные члены определят значения базисных неизвестных.

Чтобы найти все базисные решения системы не возвращаясь вновь к исходной системе, используют преобразование однократного перемещения, основанном на методе Ж. Гаусса.

В любом единичном столбце выбирают отличное от нуля число и выполняют 1 итерацию этого метода, при этом необходимо следить, чтобы преобразования не повторялись.

Число базисных решений не должно превышать число С

Сrn=n!/r!(n-r)!

N – количество неизвестных в системе.

R – ранг матрицы (кол-во уравнений в системе)

Множества. Выпуклые линейные комбинации.

Пусть на плоскости х10х2 заданы две точки А1(х’1х’2) и А2(х’’1х’’2),                    определяющие направленный отрезок А1А2. Выразим координаты произвольной внутренней точки через координаты его концов, векторы А1А и А1А2 параллельны и одинаково направленные: А1А = t(А1А2), 0<=t<=1

A1A2=(x1-x’1;x2-x’2), A1A2=(x’’1-x’1;x’’2-x’2), x1-x’1=t(x’’1-x’1), x2-x’2=t(x’’2-x’2)

x1=(1-t)x’1+tx’’1, 1-t=λ1, t= λ2

x1= λ1x’1+ λ2x’’1, x2= λ1x’2+ λ2x’’2

λ1≥0   λ2≥0, λ1+ λ2=1

учитывая, что координаты точки А являются суммами одноимённых координат точек А1 и А2, умноженных соответственно на числа λ1 и λ 2, окончательно получаем:

А= λ1А1+ λ2А2, λ 1<=0, λ2≥0, λ1+λ2=1

Точка А, для которой выполняются эти условия называется выпуклой линейной комбинацией точек А1 и А2.

При условии λ1=1 и λ2=0 точка А совпадает с началом отрезка А1, λ1=0 λ2=1 – с концом

Таким образом если t пробегает все значения от 0 до1 то точка А описывает отрезок А1А2. Точки А1 и А2 называют угловыми или крайними точками отрезка А1А2. Из определения линейной выпуклой комбинации точек очевидно что угловая точка не может быть представлена как выпуклая линейная комбинация 2 других точек отрезка.

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми 2 своими точками оно содержит и их произвольную линейную выпуклую комбинацию.

Точка выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь 2 других различных точек данного множества.

Выпуклый n-мерный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.

Доказательство. Возьмем для простоты n=2, а в качестве многоугольника – треугольник X1X2X3. Через произвольную точку Х треугольника проведем отрезок Х1Х4. Поскольку точка Х лежит на этом отрезке, то Х=α1Х1 + α4Х4, где α1≥0, α2≥0, α1+α4=1.

Точка Х4 лежит на отрезке Х2Х3, следовательно, Х4= α2Х2+ α3Х3, где α2≥0, α3≥0, α2+α3=1. Подставив значение Х4 в выражение для Х, получим Х= α1Х1 + α4(α2Х2+ α3Х3)= α1Х1 + α2 α4Х2 + α3α4Х3.

Обозначив t1= α1, t2= α2α4, t3= α3α4, получим окончательно X=t1X1+t2X2+t3X3, где t1≥0, t2≥0, t3≥0 и t1+t2+t3=1.

Таким образом, точка Х есть выпуклая линейная комбинация угловых точек треугольника Х1Х2Х3.