Дискретные случайные величины: основные понятия.

Правило Саррюса

Матрица 3-го порядкаА=|a11 a12 a13|

|a21 a22 a23|

                                           |a31 a32 a33|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a23a32a11

4)Система линейных уравнений. Основные понятия.

{a11x1+a12x2+a13x3=b1

{a21x1+a22x2+a23x3=b2

{a31x1+a32x2+a33x3=b3

Несовместная система-если решений не имеет.

Совместная-если имеет хотябы 1 решение.

Если определитель отличен отличен от 0 то система имеет 1 решение.

Если опредделитель=0 система имеет множество решений .

Обратная матрица находится по формуле A^-1 =1А с волной делить на определитель.

5)Метод Гаусса-данный метод основан на последовательном исключении неизвестных переменных. Решение выполняется для расширенной матрицы, то есть с включенным столбцом свободных членов. При этом коэффициенты, состовляющие матрицу, в результате проведенных преобразований образуют ступенчатую или треугольную матрицу. Относительно главной диагонали все коэффициенты матрицы, кроме свободных членов, должны быть приведены к нулю.

6)Методкрамера-применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы не равен нулью.

7)Уравнение прямой на плоскости в зависимости от заданных параметров.

Y=Kx+b-прямая с угловым коэффициентом.

Y=Kx-прямая проходящая через(0:0)

Y-Y0-K(x-x0)-прямая проходящая через точку.

y-y₁/y₂-y₁=x-x₁/x₂-x₁-прямая проходящая через 2 точки.

x/a+y/b=1-прямая изогнутого отрезка.

Ах+Ву+С=0-общее уравнение прямой.

D=|Ax0+By0+C|/корень А²+В²-уравнение длины высоты

Tgфи =|K2-K1|/|1+K2-K1|-угол между двумя прямыми

X_e-Y_e=x/ya+x/yb и все делить на 2-середина орезка.

8.Окружность-это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленной от заданной точки. Эта точка называется центром окружности.

(x-a)²+(y-b)²=R²-уравнение окружности

X²+y²=R²,если (a:b)=(0:0).

9.Эллипс-это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух точек этой же плоскости. Есть постоянная величина-2а.

X²/a²+y²/b²=1-уравнение элипса.

A²-b²=С²-основное соотношение сторон элипса.

E=c/a-эксцинтрисетет.

10.Парабола-геометрическое место точек плоскости, расстояние которых до точки этой плоскости, называемой фокусом, и до прямой, называемой директрисой, равно.

Y=ax²+bx+c- Уравнение параболы.

X=-P/a-уравнение директриссы.

11.Гипербола-геометрическое место точек плоскости разность расстояний которых до двух точек этой же плоскости, есть величина постоянная- а^2. Асимптота-прямая к которой приближаются ветви графика при Х стремящимся в ~(бесконечность).

X²/a²-y²/b²=1-уравнение гиперболы.

a²+b²=c^2-основное соотношение гиперболы.

Функция. Определение функции, задания, свойства.

Функция-математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами из другого множества.

Способы задания функции:

1.графический(срисунком)

2.аналитический(с уравнением)

3.табличный(с таблицей)

4.словесный(с описанием)

Свойства функции:

1. Четность, нечетность.Если при подстановке отрицательного аргумента в функцию она меняет знак, то функция нечетная, следовательно ее график симметричен относительно начала координат, если функция не меняет знак, она четная, график симметричен относительно оси у.

2. Периодичность.Если для любого положительного числа выполняется равенство f(x)=

3. Монотонность(возрастание, убывание функции). Функция называется возрастающей

13.Предел функции в точке. 1 и 2 замечательный предел.

Предел функции в точке

Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в точке x0 (или при х® хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xn¹x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится к числу А

15)1.Найти область определения функции

2.Если есть точки разрыва-найти в них правый м левый пределы. Если хотябы 1 из односторонних пределов=бесконечности или не существует то в исследуемой точке находятся асимптоты.

3.четность/нечетность.

4.С помощью 1ой производной найти экстремумы и интервалы монотонности.

5.С помощью 2ой производной найти точки перегиба графика интервалов выгнутости/вогнутости.

6.Найти наклонную ассимптоту.

7.Найти точки пересечения графика функции с осями

8.Сделать чертеж.

Частные производные функции многих переменных.

При нахождении производной двух переменных берем частные производной

Z=2x²y³-sin4x+e^xcosy

1)z^|x=2y³-4cos4x+cose^xy-const

2)z^|y=2x²3y²+e^xsiny x-const

Cмешанные производныеравны:

Z^||xy=z^||yx

Z^||xy=(-||-)^|yx-const

Z^||yx=(-||-)^|x y-const

Исследование на экстремумы функции 2х переменных.

Условия для существования экстремума: если дифференция

Z0=f(x;y) имеет экстремум в точке P0(x0;y0) то ее частные производной первого порядка в этой точке=0и частные от точки y=0.

Пусть Р0(х0;уо)-стационарная точка функции Z=f(x0;у0)-стационарная точка функции Z=(x;у), «волна» непрерывные частные производной 1го и 2го порядков в точке Р0(Z^||xx=A,Z^||xy=B,Z^||yy=C), определитель=|AB|=AC-B²

|BC|

-если определитель >0 =>p0(X0;У0) существует экстремум.

-если определитель <0=>в р0 (х0;уо)нет экстремума.

-если А>0, то в р0-min

-если А<0, то в р0-max

Метод наименьших квадратов.

На плоскости Х0У строим точки разветвления некоторого эксперимента характеру расположения точки определяем возможный вид зависимости. На основании наших предположений, выбираем нужную формулу, производим математический анализ, записываем эмпирическую формулу и наносим линию на плоскость Х0У поверх точки эксперементальных данных.

Exy=aEx+bEx²

Ey=na+bExn-кол-во наблюдений.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

F^|(x)=f(x).

Если функция F(x) первообразная на интервале (а;b) от первообразных создают выражение F(x)+e.

геометрический смысл неопределенного интеграла и его свойства:

1)Sdf(x)=f(x)+C

2)SAf(x)dx=ASf(x)dx

3)S(f(x)+-y(x)) dx=Sf(x)dx+-Sq(x)dx

Комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами.

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены: N=n1*n2..nk

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями.

24. Основные понятия теории вероятностей. Классификация событий.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

25. Классическое и статистическое определение вероятности.

Классическое определение. Вероятность события равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов P(A)= m/n

Статистической вероятностьюсобытия А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

26.Теорема сложения и умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей (для независимых событий). Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB)=P(A)*P(B)

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)*Pa(бол)(B)

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: : Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-P(AB).

27. Формулы полной вероятности и Байеса.

Формула Байеса: где P(A) — априорная вероятность гипотезы A ; P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность); P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A; P(B) — вероятность наступления события B.

28. Схема и формула Бернулли. Теорема Пуассона.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Формула Бернулли

Теорема Пуассона. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно m раз приближенно равна

30.Случайные величины: основные понятия.

Случайная величина – это переменная, которая в результате опыта принимает одно из множества возможных значений, неизвестное заранее. Случайные величины будем обозначать заглавными латинскими буквами: X,Y,Z. Возможные значения случайной величины X будем обозначать x1,x2,x3.

Случайная величина называется дискретной, если ее значения можно перенумеровать (пересчитать).

Случайная величина называется непрерывной, если она в результате опыта может принять любое из бесконечного множества действительных значений на некотором промежутке.

Любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Дискретные случайные величины: основные понятия.

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

32. Математическое ожидание случайной дискретной величины и его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений его значений на соответствующие вероятности.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:



2. Постоянный можно выносить за знак математического ожидания:



3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:



4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:



33.Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:



2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:



3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:



4.                                                                                                      

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:



34. Среднее квадратичное отклонение случайной дискретной величины.

Так как дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины X, то это очень неудобно для наглядного представления степени рассеивания случайной величины X. Чтобы устранить этот недостаток, вводится показатель степени рассеивания случайной величины X, имеющий с ней одинаковую размерность. Этот показатель называется средним квадратическим отклонением и определяется:

35. Основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность- большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования. (Пример: все население области, студенты вузов данного города и т.д.)

Выборка (выборочная совокупность) - множество объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Вариационный ряд- статистическое распределение, состоящее из вариант (значений случайной величины) и соответствующих им частот.

Мода – значение случайной величины, которому соответствует наибольшая частота встречаемости. (В приведенном выше примере моде соответствует значение 24 кг, оно встречается чаще других: m = 20).

Медиана – значение случайной величины, которое делит распределение пополам: половина значений расположена правее медианы, половина (не больше) – левее.

Полигон частот- ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1,m1), (x2,m2), ..., или для полигона относительных частот – с координатами (x1,р*1), (x2,р*2), ...

Гистограмма частот- это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных на одной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине интервала, а высота равна или частоте попадания в интервал  или относительной частоте ωi.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

Понятие корреляции.

Корреляция - это один из основных терминов теории вероятности, показывающий меру зависимости между двумя и более случайными величинами. Данная зависимость выражается через коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Чем выше значение коэффициента корреляции, тем больше зависимость между величинами. Корреляция бывает положительной и отрицательной.