Исследование функций с помощью производных. Простроение графиков функций.

§1.Условия постоянства, возрастания и убывания функций

При изучении характера изменения функции и ее графика на первом месте стоит вопрос, при каких условиях функция сохраняет в данном промежутке постоянное значение или меняется монотонно? Для простоты промежуток будем считать сегментом. Напомним, что на  функцию называют возрастающей (убывающей), если для любых  из условия  следует . Если всегда , то  называется постоянной на .  называют неубывающей (невозрастающей) на ,если

Ответ на вопрос дают следующие теоремы.

Теорема 1.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на [а,в], и на (а,в) имеет конечную производную f '(x).

Для того чтобы f(x) была постоянной на [а,в], Н. и Д., чтобы f '(x)=0 на [а,в].

Доказательство.

1. Достаточность

Пусть f '(x)=0 при xÎ(а,в). Возьмем произв. [а,х] где а<х£в. На [а,х] функция f(x) удовлетворяет всем условиям т-мы Лагранжа. Тогда сущ. т.c а<c<х, что f(x)-f(а)=(х-а)*f '(с). Но f '(с)=0 отсюда f(x)=f(а)= const для любого х Î(а,в).

2.Необходимость

Пусть f(x)= С=const для любого х Î(а,в). Но тогда f '(x)=C '=0 на (а,в).

Теорема 2.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на [а,в], и в (а,в) им. конечную произв f '(x). Для того чтобы функция f(x) была неубывающей (невозрастающей) на [а,в], Н. и Д., чтобы для всех xÎ(а,в) было f '(x)³0   ( f '(x)£0).

Д-во проведем для случая неубывающей функции (для невозрастающей сам-но).

1. Достаточность

Пусть f '(x)³0 на [а,в],те для люб. хÎ(а,в).

Возьмем две произвольные точки  и  Î[а,в] при чем а£ < £в. На [ ] функция удовл. всем условиям т-мы Лагранжа, поэтому  С <С< , что f( )-f( )= f '( c )( )³0 отсюда f( )³f( ), что и показывает неубывание f(х) на [а,в].

2.Необходимость.

Пусть f(x) неубывает на [а,в]. Это значит , что для любых точек  и +Dх (считаем Dх>0), принадлежащих [а,в] им место f( +Dх)-f( )³0Þ               f( +Dх)-f( ))/ Dх³0. Но тогда и lim_C®C0 ³0, те f '( )³0, т.к. т. - любая из (а,в), то необходимость тоже доказана.

Теорема 3.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на [а,в] и им конечную производную f '(x) на (а,в).

Для того, чтобы функция у=f(x) была возрастающей (убывающей), достаточно выпол. условия f'(x)>0 (f'(x)<0) для люб. х принад. (а,в).

Доказательство для возрастания аналогичное док-ву достаточности в Т-ме 2, только нестрогое неравенство везде следует заменить на строгое >. (Для убывания аналогично).

Замечание. Из т-мы 3 следует, что строгое возрастание функции вытекает из f'(x)>0.

Наоборот не всегда верно: даже для строго возрастающей функции производная может обращаться в ноль. Те f'(x)³0 только.

Пример: у=х³  возрастает на [-1,1], но в т. х=0 у'(0)=3х² =0. Касательная параллельна оси ох.

Вывод: касательная и к графику возрастающей функции может быть парал. оси ох.

Доказанные теоремы имеют простой геометрический смысл.

Т.к. f'(x) означает угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х то в случае f'(x)>0 касат. к графику наклонена под острым углом к оси ох- кривая возрастает, в случае f'(x)<0 касат. наклонена под тупым углом к ох- кривая убывает. Если f'(x)=0 , то в точке  касат. параллельна оси ох.

Пример: Исследовать на монотонность ф-ю :  - область определения. . Для x<0 <0 – ф-я убывает, для x>0 >0 – ф-я возрастает. 

§2.Экстремумы функций

В первом пункте мы рассмотрели непрерывную на [а,в] ф-ию, явл. монотонной. Пусть теперь на [а,в] определена и непрерывна функция , которая монотонной не является. Тогда обязательно внутри [а,в] найдется точка  ( возможно и несколько) , такая ,что в ней значение f( ) явл. наибольшим или наименьшим по отношению к значениям ее в достаточно малой окрестности этой точки ( -d, +d).

Как видим, такие точки графика явл. вершинами горбов или впадин. Характерно, что с одной стороны т.  в пределах d-окрестности функция возрастает, а с другой убывает (для - наоборот). Для таких точек вводятся специальные опред.

Определение 1. Говорят что функция у=f(x) им. в точке  максимум (минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью ( -d, +d)Î[а,в] , что для всех х из нее выполняется неравенство f(x)£f( ) , (f(x)³f( )).

Обозначают минимум -min, максимум- max. Саму т  назыв. точкой максимума или точкой минимума.

Если сущ. такая окрестность точки, что для х¹  в ней выполняется строгое неравенство f(x)<f( ), (f(x)>f( )), то говорят,что функция им. в т.  собственный max (min), в противном случае - несобственный.

Min и max объединяют одним понятием- экстремум. Само определение экстремума показывает их возможное существование лишь во внутренних точках обл. определения функции и не может сущ. экстремум в граничных точках.

Точки экстремума нельзя смешивать с точками, где функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение для всей области определения функции. Min и max явл. наиб. и наим. значениями функции лишь в достаточно малых окрестностях.

Вполне возможно, что min в одной точке больше max в другой. Так f( )>f( ), хотя в т - Min , а в   - max функции у=f(x).

Однако ,если непрерывная функция им несколько минимумов и максимумов на [а,в], то наибольшее и наименьшее значение функции на [а,в] находится среди них или на концах сегмента. Поэтому нужно уметь находить точки экстремумов.                                         

Делают это спомощью производных.

                 y

                                                             x

Теорема (неоходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая (им. конечную производную) функция у=f(x) имеет экстремум в т. ,то ее производная в этой точке равна 0: f'(x)=0

Доказательство.

Т.к. в т.  функция им. экстремум, то найдется окрестность ( -d, +d), в которой f( ) явл. наибольшим или наименьшим значением функции f(х). Но тогда по т-ме Ферма f'( )=0.

Условие т-мы , действительно, лишь необходимое, оно не явл достаточным. Так для функции у=х³ в т.х0=0 , у'(0)=0, однако экстремума нет, функция монотонно возрастает.

Итак, теорема утверждает, что экстремум может быть у дифференцируемой функции лишь в тех точках, где производная обращается в ноль, но не обязательно в каждой.

Но экстремумы функция может иметь и в точках, где производная не существует вовсе или равна бесконечности.

Пример.

1) f(x)=|x|. Не имеет производной в т. =0 (касательная не сущ-ет вовсе. Однако в т.х0=0 функция имеет min.

2)у=f(x)= =х , у'= , f '(0)=¥. Касательная к графику параллельна оси оу (сама ось oy).