Пример оформления лабораторной работы

Максимизация прибыли мебельного комбината

Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. При этом запас древесно-стружечных плит, досок еловых и березовых 90, 30 и 14 м³ соответственно. Плановый фонд рабочего времени 16800 чел./час.

Исходя, из необходимости выполнить план по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям построить модель, на основе которой можно найти план производства, максимизирующий прибыль.

1. Как изменится план выпуска при увеличении запаса досок еловых на 5 м³?

2. К чему приведет увеличение плана выпуска по тумбочкам на 100 штук?

Решение:

Экономико-математическая модель задачи

Пусть х₁ – количество трельяжей

х₂ – количество трюмо

х₃ – количество тумбочек

Целевая функция – прибыль

Ограничения имеют вид:

Плановый ассортимент, шт.

По запасам древесно-стружечных плит, досок еловых и березовых

т.к  - количество, то ограничение

 –целые.

Информационная модель

Задачу будем решать с помощью прикладной программы Excel. Откроем чистый лист Excel. Введем исходные данные задачи в созданную таблицу. Создадим текстовую форму – таблицу для ввода условий задачи (Рис. 1).

Рис. 1. Таблица для ввода условий задачи

В нашей задаче оптимальные значения вектора Х=(x1, x2, x3) будут помещены в ячейках В3:D3, оптимальное значение целевой функции - в ячейке E9. Ограничения будут помещены в ячейках E11:E14.

Введем формулы для расчета ограничений (Рис.2)

Рис.2 Лист с формулами

    В строке Меню указатель мышки поместить на Сервис. В развернутом меню выбрать команду Поиск решения. В Поиск решения введем направление целевой функции $E$9. Целевая функция равна Максимальному значению. Введем адреса искомых переменных $B$3:$D$3. Добавим ограничения  (Рис. 3).

Рис. 3. Введены все условия задачи

Рис. 4. Ввод параметров

После ввода параметров для решения задачи (Рис. 4) следует нажать кнопку Выполнить. На экране появится сообщение, что решение найдено (Рис. 5)

Рис. 5. Решение получено

    Полученное решение означает, что нужно выпускать 690 трельяжей, 290 трюмо, 1300 тумбочек. При этом получается max прибыль 4286,9 у.е.

2. . Как изменится план выпуска при увеличении запаса досок еловых на 5 м³?

Нужно будет выпускать 693 трельяжей, 292 трюмо, 1300 тумбочек. При этом получается max прибыль 4305,51 у.е.

3. К чему приведет увеличение плана выпуска по тумбочкам на 100 штук?.

Нужно будет выпускать 637 трельяжей, 291 трюмо, 1400 тумбочек. При этом получается max прибыль 4107,85 у.е., прибыль уменьшится.

Вариант 1

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл. 2.3. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Найти оптимальное соотношение количества кормов и численности поголовья лис и песцов.

Таблица 2.3

Вариант 2

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три разных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Вариант 3

Фабрика «GRM pie» выпускает два вида каш для завтрака – «Crun­chy» и «Chewy». Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными.

Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В табл. 2.6 указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта.

Таблица 2.6

Доход от производства 1 т «Crunchy» составляет 150 ф. ст., а от производства «Chewy» – 75 ф. ст. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж. Имеется возможность продать всю произведенную продукцию.

Требуется сформулировать модель линейного программирования, максимизирующую общий доход фабрики за месяц, и реализовать решение этой модели.

Вариант 4

Оливер А. Петерс скоро уйдет на пенсию, и ему предстоит решить, как поступить с единовременным пособием, которое в соответствии с пенсионной программой будет предоставлено ему фирмой. М-р Петерс и его супруга намерены предпринять длительную поездку в Австралию к своей дочери сроком на два года, поэтому любые сделанные в настоящий момент инвестиции будут свободны для использования на данный период. Очевидно, цель м-ра Петерса состоит в максимизации общего дохода от вложений, полученного за двухлетний период.

Мистера Петерса проконсультировали, что наилучшим вариантом вложения инвестиций был бы инвестиционный фонд, и в настоящее время он рассматривает возможность помещения инвестиций в один из таких фондов, состоящий из инвестиций трех типов – А, В и С. Сумма единовременного пособия составит 25000 ф. ст., однако мистер Петерс считает, что нет необходимости вкладывать в данный инвестиционный фонд все деньги; часть из них он намерен перевести на свой счет жилищно-строительного кооператива, который гарантирует ему 9% годовых.

По мнению бухгалтера фирмы, мистеру Петерсу следует попытаться распределить свои инвестиции таким образом, чтобы обеспечить как получение дохода, так и рост капитала. Поэтому ему посоветовали не менее 40% от общей суммы вложить в вариант А и перевести на свой счет. Для обеспечения значительного роста капитала не менее 25% общей суммы денежных средств, вложенных в инвестиционный фонд, необходимо поместить в проект В, однако вложения в В не должны превышать 35% общего объема вложений в инвестиционный фонд ввиду высокой вероятности риска, соответствующей проекту В. Кроме того, для сохранности капитала в проекты А и С следует вложить не менее 50% средств, помещаемых в инвестиционный фонд.

В настоящее время проект А позволяет получать 10% годовых и обеспечивает 1% роста капитала, проект В предполагает рост капитала в 15%; проект С дает 4% годовых и 5%-й рост капитала.

Требуется, учитывая цель м-ра Петерса, сформулировать модель линейного программирования, показывающую, как следует распределить сумму единовременного пособия между различными проектами инвестиций.

Вариант 5

Китайская компания с ограниченной ответственностью по производству гусеничных механизмов выпускает пять сходных друг с другом товаров – А, В, С, D и Е. В табл. 2.7 представлены расходы ресурсов, необходимых для выпуска единицы каждого товара, а также недельные запасы каждого ресурса и цены продажи единицы каждого продукта.

Таблица 2.7

Для максимизации элементов, составляющих прибыль за неделю, следует использовать компьютерный пакет прикладных программ.

Вариант 6

Нефтяная компания «РТ» для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют «РТ» две химические компании А и В. В табл. 2.8 приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Таблица 2.8

Стоимость продукта А – 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В – 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Вариант 7

Администрация компании «Nemesis Company», осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Аббатсфилде и Берчвуде. Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого – расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим (табл. 2.9).

Таблица 2.9

В то же время после слияния завод в Берчвуде должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

После проведения всесторонних переговоров с привлечением руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат выходные пособия следующих размеров:

Квалифицированные рабочие – 2000 ф. ст.;

Неквалифицированные рабочие – 1500 ф. ст.

2. Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере 2000 ф. ст.

3. Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Берчвудского завода доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии должна совпадать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.

Требуется построить модель линейного программирования, в которой определяется, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, связанные с увольнением и переменой места жительства части рабочих. В процессе формализации следует использовать следующие переменные:

S1 – число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде,

S2 – число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде;

U1 – число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде;

U2 – число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде.

Вариант 8

Компания «Bermuda Paint» – частная промышленная фирма, специа­лизирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже табл. 2.10 содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Таблица 2.10

Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного ла­ка – 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.‑ч. в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 ун­циям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможно­сти завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 гал­лонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором ого­варивается минимальный объем производства в день, равный 2000 галло­нов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется построить и решить линейную модель для производст­венной проблемы, с которой столкнулась компания.

Вариант 9

Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудование – имеются в количестве соответственно 80 (чел./дней), 480 (кг) и 130 (станко/час). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 2.12.

Таблица 2.12

Найти оптимальный план выпуска продукции.

Вариант 10

Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов 1 и 2. Один килограмм корма 1 стоит 80 ден. ед. и содержит 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма 2 стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.